人教版數(shù)學九年級一輪復習專題訓練：三角形綜合（四）

人教版數(shù)學九年級一輪復習專題訓練：三角形綜合（四）1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點D為斜邊AB的中點，ED⊥AB，交邊BC于點E，點P為射線AC上的動點，點Q為邊BC上的動點，且運動過程中始終保持PD⊥QD．（1）求證：△ADP～△EDQ；（2）設AP＝x，BQ＝y(tǒng)．求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（3）聯(lián)結(jié)PQ，交線段ED于點F．當△PDF為等腰三角形時，求線段AP的長．2．如果三角形的兩個內(nèi)角差為90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．（1）若△ABC是“準直角三角形”，∠C＞90°．①若∠A＝60°，則∠B＝°；②若∠A＝20°，則∠B＝°．（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，點D在AC邊上，若△ABD是“準直角三角形”，求CD的長．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，CD＝CB，∠ABD＝∠BCD，AB＝5，BD＝6，且△ABC是“準直角三角形”，求△BCD的面積．3．已知點C是AB上的一個動點．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，當點C在線段AB上運動時，過點C作DC⊥AB，垂足為點C，過點A作EA⊥AB，垂足為點A，且DC＝AB，AE＝BC．①△ABE與△CDB全等嗎？請說明理由；②連接DE，試猜想△BDE的形狀，并說明理由；③DC＝AE+AC是否成立？（填“成立”或“不成立”）．（2）類比探究如圖2，當點C在線段AB的延長線上時，過點C作DC⊥AB，垂足為點C，過點A作EA⊥AB，垂足點A，且DC＝AB，AE＝BC．試直接寫出△BDE的形狀為；此時線段DC、AE和AC之間的數(shù)量關系為（直接寫出結(jié)論，不用說明理由）．4．在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點M．（1）如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC與BD的數(shù)量關系為；②∠AMB的度數(shù)為；（2）如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；②求∠AMB的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，當∠CAB＝30°，且點C與點M重合時，請直接寫出OD與OA之間存在的數(shù)量關系．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為直線BC上一動點（不與點B，C重合），在AD的右側(cè)作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）當D在線段BC上時，①求證：△BAD≌△CAE．②請判斷點D在何處時，AC⊥DE，并說明理由．（2）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為28°，求∠ADB的度數(shù)．6．【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結(jié)論：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應用】（3）如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關系．7．（1）如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三點在同一直線上，求證：∠BDC＝90°；（2）如圖2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且∠BDC＝90°，求證：∠ADB＝45°；（3）如圖3，等邊△ABC中，D是△ABC外一點，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度數(shù)；②DA，DB，DC之間的關系．8．在學習全等三角形知識時、數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進行了如下操作：（1）如圖1、兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此時BD和CE的數(shù)量關系是；（2）如圖2、兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖3，已知△ABC，請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，D為BC上一點，連接AD，過點C作CE⊥AD于點E．（1）如圖1，過點B作BF⊥BC交CE的延長線于點F，求證：△ACD≌△CBF；（2）如圖2，若D為BC的中點，CE的延長線交AB于點M，連接DM，求證：∠BDM＝∠ADC；（3）在（2）的條件下，若AE＝4，CE＝2，直接寫出CM的長．10．如圖，在△ABC中．（1）如圖①，分別以AB、AC為邊作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD；①猜想BE與CD的數(shù)量關系是；②若點M，N分別是BE和CD的中點，求∠AMN的度數(shù)；（2）如圖②，若分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于點P，連接AP，請直接寫出∠APC與α的數(shù)量關系11．已知△ABC和△DEC都為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）當n＝60時，①如圖1，當點D在AC上時，請直接寫出BE與AD的數(shù)量關系：；②如圖2，當點D不在AC上時，判斷線段BE與AD的數(shù)量關系，并說明理由；（2）當n＝90時，①如圖3，探究線段BE與AD的數(shù)量關系，并說明理由；②當BE∥AC，AB＝3，AD＝1時，請直接寫出DC的長．12．如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線．求證：△ABD是“準直角三角形”．（2）關于“準直角三角形”，下列說法：①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，則△ABC是準直角三角形；②若△ABC是“準直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“準直角三角形”一定是鈍角三角形．其中，正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）（3）如圖②，B、C為直線l上兩點，點A在直線l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一點，且△ABP是“準直角三角形”，請直接寫出∠APB的度數(shù)．13．已知，如圖AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如圖1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度數(shù)；（2）如圖1，請?zhí)骄烤€段EF和線段AD有何數(shù)量關系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，設EF交AB于點G，交AC于點R，延長FC，EB交于點M，若點G為線段EF的中點，且∠BAE＝70°，請?zhí)骄俊螦CB和∠CAF的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．14．如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D為BC邊中點，連接AF，且A、F、E三點恰好在一條直線上，EF交BC于點H，連接BF，CE．（1）求證：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之間的數(shù)量關系，并證明；（3）若CH＝2，AH＝4，請直接寫出線段AC，AE的長．15．點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設運動時間為t秒．（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎：若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ，①當t＝2秒時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；②當PQ⊥BC時，則t＝秒．（直接寫出結(jié)果）16．（1）如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，點E為BC的中點，AB＝5，AC＝7，求線段DE的長；（2）如圖2，△ABC和△BDE均是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，點E在邊長BC上，點F為AE的中點，連接DF，請判斷線段DF、CE關系并證明．

參考答案1．（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠DEQ+∠B＝90°，∴∠A＝∠DEQ，又∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，∴∠EDQ＝∠ADP，∴△ADP∽△EDQ；（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵點D為斜邊AB的中點，∴AD＝BD＝AB＝5，∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△EDB∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，解得：ED＝，EB＝，由（1）得：△ADP∽△EDQ，∴＝，即＝＝，解得：EQ＝x，∴BQ＝BE﹣EQ＝﹣x，即y＝﹣x，∵AP≥0，∴x≥0，∵BQ≥0，∴﹣x≥0，∴x≤，∴y＝﹣x（0≤x≤）；（3）解：由（1）得：△ADP～△EDQ，∴＝＝，∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴tan∠QPD＝＝＝＝tanB，∴∠QPD＝∠B，又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠BDQ，∴△PDF∽△BDQ，∴△PDF為等腰三角形時，△BDQ也為等腰三角形，①若DQ＝BQ，過Q作QG⊥BD于G，如圖所示：則DG＝BG＝BD＝，∵cosB＝＝＝＝，∴＝，解得：x＝，即AP＝；②若BQ＝BD，則﹣x＝5，解得：x＝，即AP＝；③若DQ＝DB，則∠B＝∠DQB，∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝2∠B+∠BDQ＜180°，此種情況舍去；綜上所述，當△PDF為等腰三角形時，線段AP的長為或．2．解：（1）①當∠C﹣∠A＝90°時，則∠C＝150°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝﹣30°（不合題意舍去），當∠C﹣∠B＝90°，則∠C＝∠B+90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝30°，∴∠B＝15°，綜上所述：∠B＝15°，故答案為15°；②當∠C﹣∠A＝90°時，則∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°，當∠C﹣∠B＝90°，則∠C＝∠B+90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝70°，∴∠B＝35°，綜上所述：∠B＝50°或35°，故答案為50或35；（2）當∠BDA﹣∠DBA＝90°時，如圖1，過點D作DH⊥AB于H，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∵∠BDA﹣∠DBA＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°，∴∠DBA＝∠DBC，又∵DH⊥AB，DC⊥BC，∴DH＝DC，∵sinA＝＝，∴DH＝AD＝DC，∴DC＝AC＝，當∠BDA﹣∠A＝90°時，∵∠BDA﹣∠A＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴，∴，∴CD＝，綜上所述：CD＝或；（3）如圖2，過點C作CF⊥BD于F，CE⊥AB，交AB的延長線于E，設∠ABD＝∠BCD＝2x，∵BC＝CD，CF⊥BD，∴∠CBD＝∠CBE＝90°﹣x，BF＝DF＝3，又∵CF⊥BD，CE⊥AB，∴CE＝CF，又∵BC＝BC，∴Rt△BCE≌Rt△BCF（HL），∴BE＝BF＝3，當∠ABC﹣∠ACB＝90°時，又∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BCE，∴∠BCA＝∠BCE，由（2）可知：＝，設AC＝5a，CE＝3a，則AE＝4a＝8，∴a＝2，∴CE＝6＝CF，∴S△BCD＝×6×6＝18，當∠ABC﹣∠BAC＝90°，又∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BCE，∴∠BAC＝∠BCE，又∵∠E＝∠E＝90°，∴△BCE∽△CAE，∴，∴CE＝2，∴S△BCD＝×6×2＝6，綜上所述：△BCD的面積為18或6．3．解：（1）①結(jié)論：△ABE≌△CDB．理由：∵DC⊥AB，EA⊥AB，∴∠DCB＝∠A＝90°，在△ABE與△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（SAS）．②結(jié)論：△BDE是等腰直角三角形；∵△ABE≌△CDB∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC+∠ABE＝90°，∴∠DBC＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．③成立．理由：∵△ABE≌△CDB，∴CD＝AB，AE＝BC，∴CD＝AB＝AC+BC＝AC+AE．故答案為成立．（2）△BDE是等腰直角三角形．理由：∵DC⊥AB，AE⊥AB∴∠EAB＝∠DCB＝90°在△ABE與△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（SAS），∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，∵∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．∵△ABE≌△DBC，∴AE＝BC，AB＝CD，∴AC＝AB+BC＝CD+AE．故答案為：等腰直角三角形，AC＝AE+DC．4．解：（1）如圖1所示，①∵∠AOB＝∠COD∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD∴∠BOD＝∠AOC在△BOD和△AOC中∴△BOD≌△AOC（SAS）∴AC＝BD故答案為：AC＝BD，②∵△BOD≌△AOC∴∠OBD＝∠OAC∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+ABM＝140°∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，∴∠AMB＝40°故答案為：40°；（2）如圖2所示，①AC＝BD，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，∴△BOD≌△AOC（SAS）∴BD＝AC②∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA＝90°，又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°；（3）如圖3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠CAB＝30°，∵C，M重合，∴B，C，D共線，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝OC，由（2）得△BOD≌△AOC（SAS）∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB由勾股定理得：AC＝＝AB∴CD＝AC﹣BC＝AB∴OC＝×OA∴OD＝OC＝OA．如圖4，同上易求得OD＝OC＝OA綜上所述，OD＝OA或OD＝OA．5．（1）①證明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）．②當AC⊥DE時，∵AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，∴BD＝CD，∴當點D在BC中點時，或AD⊥BC時，AD⊥BC；（2）解：當CE∥AB時，則有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，①如圖1：此時∠BAD＝28°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣28°﹣60°＝92°．②如圖2，此時∠ADB＝28°，③如圖3，此時∠BAD＝28°，∠ADB＝60°﹣28°＝32°．④如圖4，此時∠ADB＝28°．綜上所述，滿足條件的∠ADB的度數(shù)為28°或32°或92°．6．（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，①正確，∠ADB＝∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正確，在OB上取一點F，使OF＝OC，連接CF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正確，連接AF，要使OC＝OE，則有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．7．（1）證明：如圖1，設BD與AC交于點F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ACD+∠CFD＝90°，∴∠BDC＝90°；（2）如圖2，過A作AE⊥AD交BD于E，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°；（3）①如圖3，在AD的下方作∠DAE＝60°，AE交BD于E點，與（2）同理△ABE≌△ACD，∴AE＝DA，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°；②∵BE＝DC，∴DB＝BE+DE＝DA+DC．8．解：（1）因為∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，故答案為：△AEC，BD＝CE；（2）BD＝CE且BD⊥CE；理由如下：因為∠DAE＝∠BAC＝90°，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，因為∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，即∠DBC+∠ECB＝90°，所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，所以BD⊥CE，綜上所述：BD＝CE且BD⊥CE；（3）如圖3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；因為△ABD和△ACE是等邊三角形，所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，所以∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，所以△ACD≌△AEB（SAS），所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝60°，所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．9．（1）證明：∵BF⊥BC，CE⊥AD，∴∠AEC＝∠CBF＝∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ACE＝∠BCF+∠ACE＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）證明：過點B作BF⊥BC交CE的延長線于點F，如圖2所示：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴∠ADC＝∠F，CD＝BF，∵D為BC的中點，∴CD＝BD，∴BD＝BF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠FBM＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBM＝∠FBM，又∵BM＝BM，∴△BDM≌△BFM（SAS），∴∠BDM＝∠F，∴∠BDM＝∠ADC；（3）解：連接DF，如圖3所示：∵CE⊥AD，AE＝4，CE＝2，∴BC＝AC＝＝＝2，由（2）得：BD＝BF，CD＝BD＝BC＝，△BDM≌△BFM，∴DM＝FM，AD＝＝＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，∵∠DBF＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝，∴EF＝＝＝3，設DM＝FM＝x，則EM＝3﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴EM＝3﹣＝，∴CM＝CE+EM＝2+＝．10．解：（1）①BE＝CD，理由如下：∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，∴∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，故答案為：BE＝CD；②連接AN，如圖①所示：由①得：△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，∵點M，N分別是BE和CD的中點，∴BM＝DN，又∵AD＝AB，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，∴∠BAM+∠BAN＝∠DAN+∠BAN，即∠MAN＝∠BAD＝60°，∴△AMN為等邊三角形，∴∠AMN＝60°；（2）∠APC＝，理由如下：過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如圖②所示：同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，∵AM⊥CD，AN⊥BE，∴PA平分∠DPE，∴∠APE＝∠DPE，又∵∠EPC+∠ACD＝∠CAE+∠AEB，∴∠EPC＝∠CAE＝α，∴∠DPE＝180°﹣α，∴∠APE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝90°﹣α+α＝90°+α．11．解：（1）①當n＝60時，△ABC和△DEC均為等邊三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，又∵BE＝BC﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案為：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：當點D不在AC上時，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BE＝AD，理由如下：當n＝90時，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，在等腰直角三角形ABC中：＝，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，，∴△DCA∽△ECB，∴，∴BE＝，②DC＝5或，理由如下：當點D在△ABC外部時，設EC與AB交于點F，如圖所示：∵AB＝3，AD＝1由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，又∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CFA，∴△EFB∽△CFA，∴＝＝，∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，∴BF＝＝，在Rt△EBF中：EF＝＝＝，又∵CF＝3EF＝3×＝，∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC?cos45°＝5×＝5．當點D在△ABC內(nèi)部時，過點D作DH⊥AC于H∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，∴CD＝＝＝，綜上所述，滿足條件的CD的值為5或．12．（1）證明：如圖①中，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABD，∴2∠ABD+∠A＝90°，∴△ABD是“準直角三角形”．（2）解：①∵∠B＝70°，∠C＝10°，∴∠B+2∠C＝90°，∴△ABC是“準直角三角形”．故①正確．②∵三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”，∴α+β＜90°，∴三角形的第三個角大于90°，∴三角形有多少鈍角三角形，∴顯然△ABC不符合條件，故②錯誤，③正確．②中已經(jīng)證明．故答案為①③．（3）解：如圖②中，當∠AP1B＝10°，∠AP2B＝40°，∠AP3B＝110°，∠AP4B＝20°時，△ABP滿足條件，是“準直角三角形”．13．（1）解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝63°，∴∠EAB＝54°，∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，∴∠FAC＝36°；（2）EF＝2AD；理由如下：延長AD至H，使DH＝AD，連接BH，如圖1所示：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA（SAS），∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF（SAS），∴EF＝AH＝2AD；（3）；理由如下：由（2）得，AD＝EF，又點G為EF中點，∴EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF，∴∠AEG＝∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD（SAS），∴∠EAG＝∠ABC＝70°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，∴∠BAC+∠CAF＝55°，∴∠BAC＝55°﹣∠CAF，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝1