《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課件

第十講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)回歸課本1.對(duì)數(shù)概念(1)定義:一般地,對(duì)于指數(shù)式ab=N,把數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).(2)對(duì)數(shù)性質(zhì)①零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù),即N>0;②1的對(duì)數(shù)為0,即loga1=0(a>0且a≠1);③底的對(duì)數(shù)等于1,即logaa=1(a>0且a≠1).(3)對(duì)數(shù)恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).(4)常用對(duì)數(shù):通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記為lgN.(5)自然對(duì)數(shù):以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù),N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記作lnN.2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么4.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),它的定義域?yàn)?0,+∞),值域?yàn)镽.5.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=logaxa>10<a<1圖象性質(zhì)定義域:(0,+∞)值域:R過(guò)點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)0<x<1時(shí),y>0在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱6.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.考點(diǎn)陪練練1.已知函數(shù)數(shù)的的定定義域?yàn)闉镸,g(x)=ln(x+1)的定義域域N,則M∩N=()A.{x|x>-1}B.{x|-1<x<1}C.{x|x<1}D.?解析:要使函數(shù)數(shù)f(x)有意義,則必須有有1-x>0,即x<1,所以f(x)的定義域域?yàn)閧x|x<1};要使函數(shù)數(shù)g(x)有意義,則必須有有x+1>0,x>-1,所以g(x)的定義域域?yàn)閧x|x>-1}.所以M∩N={x|-1<x<1},故選B.答案:B2.設(shè)a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),則m,n,p的大小關(guān)關(guān)系為()A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n解析:因?yàn)?a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;又a2+1-2a=(a-1)2,則a2+1>2a>0.因?yàn)閍>1,所以函數(shù)數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函函數(shù),所以loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故選B.答案:B3.下列四個(gè)個(gè)數(shù)中最最大的是是( )答案:D解析:①若a>1,則f(x)=logax在[2,+∞]上是增函函數(shù),且當(dāng)x≥2時(shí),f(x)>0.由|f(x)|>1得f(x)>1,即logax>1.∵當(dāng)x∈[2,+∞∞)時(shí),logax>1恒成立,∴l(xiāng)oga2>1,∴l(xiāng)oga2>logaa,∴1<a<2.②若0<a<1,則f(x)=logax在[2,+∞)上是減函函數(shù),且當(dāng)x≥2時(shí),f(x)<0.∴由|f(x)|>1得-f(x)>1,∴f(x)<-1,即logax<-1.∵當(dāng)x∈[2,+∞∞)時(shí),logax<-1恒成立,答案:C評(píng)析:在對(duì)數(shù)函函數(shù)中如如果底數(shù)數(shù)含有字字母,通常把底底數(shù)與1比較大小小,進(jìn)行分類類討論.答案:C類型一對(duì)對(duì)數(shù)的的運(yùn)算解題準(zhǔn)備備:對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)簡(jiǎn)求值問(wèn)問(wèn)題的常常見思路路:一是將對(duì)對(duì)數(shù)的和和?差?積?商?冪轉(zhuǎn)化為為對(duì)數(shù)真真數(shù)的積積?商?冪;二是將式式子化為為最簡(jiǎn)單單的對(duì)數(shù)數(shù)的和?差?積?商?冪,合并同類類項(xiàng)后再再進(jìn)行運(yùn)運(yùn)算,解題過(guò)程程中,要抓住式式子的特特點(diǎn),靈活使用用運(yùn)算法法則.[分析]關(guān)于對(duì)數(shù)數(shù)運(yùn)算的的題目,往往需要要利用對(duì)對(duì)數(shù)的運(yùn)運(yùn)算性質(zhì)質(zhì)?對(duì)數(shù)恒等等式?換底公式式等進(jìn)行行變形和和求解.類型二對(duì)對(duì)數(shù)函函數(shù)的圖圖象解題準(zhǔn)備備:對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)的圖象象:經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),且圖象都都在第一一?四象限;都以y軸為漸近近線(當(dāng)0<a<1時(shí),圖象向上上無(wú)限接接近y軸;當(dāng)a>1時(shí),圖象向下下無(wú)限接接近y軸);對(duì)于相同同的a,函數(shù)f(x)=logax與g(x)=的圖象關(guān)關(guān)于x軸對(duì)稱.[分析]在同一坐坐標(biāo)系下下畫出y=2x與y=logax的圖象,數(shù)形結(jié)合合求解.類型三對(duì)對(duì)數(shù)函函數(shù)的性性質(zhì)解題準(zhǔn)備備:利用對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)的的性質(zhì)可可以比較較對(duì)數(shù)的的大小,解對(duì)數(shù)不不等式,也可以求求與對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)有有關(guān)的函函數(shù)的定定義域和和值域,還可以判判斷對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)與與其他函函數(shù)復(fù)合合以后的的函數(shù)的的單調(diào)性性.【典例3】已知函數(shù)數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)區(qū)間;(2)是否存在在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值值為0?若存在,求出a的值;若不存在在,說(shuō)明理由由.[分析]由f(1)=1求出a的值,然后根據(jù)據(jù)復(fù)合函函數(shù)的單單調(diào)性求求單調(diào)區(qū)區(qū)間;根據(jù)對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)的的性質(zhì)和和二次函函數(shù)的最最值求a的值.[解](1)∵f(1)=1,∴l(xiāng)og4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,這時(shí)f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,函數(shù)定義域?yàn)闉?-1,3).令g(x)=-x2+2x+3.則g(x)在(-∞,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,又y=log4x在(0,+∞)上遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間是(-1,1),遞減區(qū)間是(1,3).(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)數(shù)a使f(x)的最小值為0,則h(x)=ax2+2x+3應(yīng)有最小值1,因此應(yīng)有[反思感悟]研究復(fù)合函數(shù)數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性(最值)時(shí),應(yīng)先研究其定定義域,分析復(fù)合的特特點(diǎn),結(jié)合函數(shù)u=f(x)及y=logau的單調(diào)性(最值)情況確定函數(shù)數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性(最值).類型四 對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)的綜合合問(wèn)題解題準(zhǔn)備:對(duì)于指?對(duì)數(shù)函數(shù)的綜綜合應(yīng)用,不僅重視指?對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)在在的綜合聯(lián)系系,還要重視函數(shù)數(shù)與其他知識(shí)識(shí)的綜合滲透透,以及在實(shí)際問(wèn)問(wèn)題中的應(yīng)用用.【典例4】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).(1)求k的值;(2)設(shè)g(x)=log4(a?2x-a),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只只有一個(gè)公共共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[分析]由偶函數(shù)的定定義建立關(guān)于于k的方程求出k的值;對(duì)于(2),可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)應(yīng)方程只有一一個(gè)實(shí)數(shù)解的的問(wèn)題進(jìn)行求求解.[反思感悟]本題的求解主主要體現(xiàn)了函函數(shù)與方程思思想的應(yīng)用,這種思想方法法是高考的熱熱點(diǎn),在求解函數(shù)問(wèn)問(wèn)題?方程問(wèn)題中非非常有用.錯(cuò)源一 錯(cuò)用用對(duì)數(shù)運(yùn)算性性質(zhì)造成變形形不等價(jià)【典例1】作出函數(shù)y=2log4x-2的圖象.[剖析]錯(cuò)解因?yàn)殄e(cuò)用用了對(duì)數(shù)的性性質(zhì),在函數(shù)式變形形過(guò)程中出現(xiàn)現(xiàn)了錯(cuò)誤,函數(shù)的變形過(guò)過(guò)程不是等價(jià)價(jià)變形,即原函數(shù)y=2log4x-2的定義域是x≠0的全體實(shí)數(shù),值域是y>0.函數(shù)的定義域是x≠0,值域是y≠0,而在變形中函函數(shù)y=2log2x-1的定義域是x>0,值域是y>0,因而原函數(shù)的的圖象顯然是是錯(cuò)誤的.錯(cuò)源二 忽視視真數(shù)大于0[剖析]錯(cuò)誤的原因在在于忽視了原原式中的三個(gè)個(gè)對(duì)數(shù)式隱含含的條件,x>0,y>0,x-2y>0,所以x>2y>0,所以x=y不成立.[正解]因?yàn)閘gx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,因?yàn)閤>0,y>0,x-2y>0,所以x=y應(yīng)舍去,所以x=4y,技法一 快速速解題(特例法)[另解切入點(diǎn)]y=f(x)的圖象與y=ax的圖象關(guān)于直直線y=x對(duì)稱,故f(x)=logax,可以寫出g(x),注意0<a<1和a>1兩種情況的討討論.[解析]解法一:由題意知,f(x)=logax,故g(x)=logax(logax+loga2-1).令t=logax,則h(t)=t2+(loga2-1)t.[答案]D[方法與技巧]解法一是由復(fù)復(fù)合函數(shù)的增增減性討論的的,解法二利用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)討論,但都要考慮0<a<1和a>1兩種情況.而快解是賦值值,這種方法快,但有時(shí)不一定定能很快找到到要取的特殊殊值.技法二 等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)化思想【