《走向清華北大》高考總復習 函數(shù)與方程課件

第十二講函數(shù)與方程回歸課本1.函數(shù)的零點(1)對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.(2)方程f(x)=0有解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.2.二分法(1)對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.(2)給定精確度ε,用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下:1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε.2)求區(qū)間(a,b)的中點x1.3)計算f(x1),a.若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點;b.若f(a)f(x1)<0,則令b=x1,(此時零點x0∈(a,x1));c.若f(x1)f(b)<0,則令a=x1,(此時零點x0∈(x1,b)).4)判斷是否達到精確度ε:即若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復2)~4).考點陪練1.(2010·天津)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是

( )A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理,知函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi),選C.答案:C2.(2010·江蘇鹽城)方程log4x+x=7的解所在區(qū)間是

( )A.(1,2) B.(3,4)C.(5,6) D.(6,7)解析:構(gòu)造函數(shù)F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log46-1>0,F(x)在(5,6)內(nèi)有零點,即log4x+x=7在(5,6)內(nèi)有解,故選C.答案:C解析:因為f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,所以在(1,2)內(nèi)f(x)無零點,A錯誤;又f(3)=ln3- 0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)內(nèi)至少有一個零點.答案:B4.若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍圍是()A.a<1 B.a>1C.a≤1 D.a≥1解析:由方程x2+2x+a=0的判別式小小于0可得a>1.答案:B5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些些連續(xù)整數(shù)數(shù)之間沒有有根( )A.-2與-1之間B.-1與0之間C.0與1之間D.1與2之間解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)內(nèi)均有根.故只有C選項符合題題意.答案:C類型一函函數(shù)零點存存在性的判判斷與方法法解題準備:函數(shù)零點個個數(shù)的判定定有下列幾幾種方法:(1)直接求零點點:令f(x)=0,如果能求出出解,則有幾個解解就有幾個個零點.(2)零點存在性性定理:利用該定理理不僅要求求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)的的曲線,且f(a)?f(b)<0,還必須結(jié)合合函數(shù)的圖圖象和性質(zhì)質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函函數(shù)有多少少個零點.(3)畫兩個函數(shù)數(shù)圖象,看其交點的的個數(shù)有幾幾個,其中交點的的橫坐標有有幾個不同同的值,就有幾個不不同的零點點.【典例1】判斷下列函函數(shù)在給定定區(qū)間上是是否存在零零點.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈∈[1,8];(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];(4)f(x)=-x,x∈∈(0,1).[解](1)∵∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上存在零點點.(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,∴f(-1)·f(2)<0,∴f(x)=x3-x-1在區(qū)間[-1,2]上存在零點點.(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log2(x+2)-x在區(qū)間[1,3]上存在零點點.(4)畫出f(x)=-x的圖象如圖圖所示.由圖象可知知,f(x)=-x在(0,1)內(nèi)的圖象與與x軸沒有交點,故f(x)=-x在區(qū)間(0,1)上不存在零零點.[反思感悟]判斷函數(shù)在在某個區(qū)間間上是否存存在零點,要根據(jù)具體體題目靈活活處理.當能直接求求出零點時時,就直接求出出進行判斷斷;當不能直接接求出時,可根據(jù)零點點存在性定定理;當用零點存存在性定理理也無法判判斷時可畫畫出圖象判判斷.類型二二二分法求方方程的近似似解解題準備:1.用二分法求求函數(shù)的零零點時,最好是利用用表格,將計算過程程所得到各各個區(qū)間?中點坐標?區(qū)間中點的的函數(shù)值等等置于表格格中,可清楚地表表示出逐步步縮小零點點所在區(qū)間間的過程,有時也可利利用數(shù)軸來來表示這一一過程;2.在確定方程程近似解所所在的區(qū)間間時,轉(zhuǎn)化為求方方程對應函函數(shù)的零點點所在的區(qū)區(qū)間,找出的區(qū)間間[a,b]長度盡可能能小,且滿足f(a)?f(b)<0.【典例2】求函數(shù)f(x)=x3+2x2-3x-6的一個為正正數(shù)的零點點(誤差不超過過0.1).[分析]由于要求的的是函數(shù)的的一個正數(shù)數(shù)零點,因此可以考考慮確定一一個包含正正數(shù)的閉區(qū)區(qū)間[m,n],且f(m)·f(n)<0,如計算出f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可取區(qū)區(qū)間[1,2]作為計算的的初始區(qū)間間(當然選取(0,2)也是可以的的).[解]∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0,∴存在x∈(1,2),使f(x)=0.用二分法逐逐次計算,列表如下:∵最后一個區(qū)區(qū)間端點精精確到0.1的近似值都都是1.7,∴所求的正數(shù)數(shù)零點是1.7.[反思感悟]用二分法求求函數(shù)零點點的近似值值,首先要選好好計算的初初始區(qū)間,這個區(qū)間既既要包含所所求的根,又要使其長長度盡量小小;其次要依據(jù)據(jù)給定的精精確度,及時檢驗所所得區(qū)間的的端點的近近似值(精確到給定定的精確度度)是否相等,以決定是停停止計算還還是繼續(xù)計計算.類型三函函數(shù)零點的的應用解題準備:由于函數(shù)的的零點與函函數(shù)的圖象象以及相應應方程的根根都有密切切的關(guān)系,因此我們通通過研究函函數(shù)的零點點問題,可討論方程程根的分布布問題,解不等式,也可以作出出相應的函函數(shù)的圖象象,討論函數(shù)的的性質(zhì).我們在解決決有關(guān)問題題時,一定要充分分利用這三三者的關(guān)系系,觀察?分析函數(shù)的的圖象,找函數(shù)的零零點,判斷各區(qū)間間上函數(shù)值值的符號,使問題得以以解決.【典例3】已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍圍;(2)確定m的取值范圍圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異異實根.[分析](1)g(x)=m有零點,可以分離參參數(shù)轉(zhuǎn)化為為求函數(shù)最最值.(2)利用圖象求求解.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.∴其對稱軸x=e,f(x)max=m-1+e2.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩兩個交點.必須有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1.即g(x)-f(x)=0有兩個相異異實根.∴m的取值范圍圍是(-e2+2e+1,+∞).[反思感悟]在解答有關(guān)關(guān)函數(shù)零點點的綜合問問題時,常利用方程程思想或利利用函數(shù)構(gòu)構(gòu)造法,并結(jié)合數(shù)形形結(jié)合的思思想來解決決此類問題題.錯源一函函數(shù)零點定定理使用不不當致誤【典例1】函數(shù)f(x)=mx2-2x+1有且僅有一一個正實數(shù)數(shù)的零點,則實數(shù)m的取值范圍圍是()A.(-∞∞,1]B.(-∞,0]∪{1}C.(-∞∞,0)∪∪{1}D.(-∞,1)[剖析]解本題易出出現(xiàn)的錯誤誤是分類討討論片面?函數(shù)零點定定理使用不不當.如忽視了對對m=0的討論,這樣就會出出現(xiàn)誤選C的錯誤.[正解]當m=0時,x=為函數(shù)的零零點;當m≠0時,若Δ=0,即m=1時,x=1是函數(shù)唯一一的零點,若Δ≠0,顯然x=0不是函數(shù)的的零點,這樣函數(shù)有有且僅有一一個正實數(shù)數(shù)零點等價價于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一個正根根一個負根根,即mf(0)<0,即m<0.故選B.[答案]B[評析]函數(shù)的零點點定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是是一條連續(xù)續(xù)的曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也是方程f(x)=0的根,我們稱這個個結(jié)論為函函數(shù)的零點點定理.函數(shù)的零點點有“變號零點”和“不變號零點點”,如本題中的的x=1就是函數(shù)的的“不變號零點點”,對于“不變號零點點”,函數(shù)的零點點定理是“無能為力”的,在解決函數(shù)數(shù)的零點問問題時要注注意這個問問題.錯源二“極值點”與“零點”關(guān)聯(lián)不清【典例2】若函數(shù)f(x)=x3-3x+a有3個不同的零點點,則實數(shù)a的取值范圍是是()A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,-1)D.(1,+∞)[錯解]由題意知方程程x3-3x+a=0有3個根,∴a的取值范圍為為(1,+∞),故選D.[剖析]本題的錯誤在在于不能將函函數(shù)零點問題題與導數(shù)的應應用聯(lián)系起來來求解,不能從極值的的角度分析函函數(shù)的圖象,因此找不到解解題的突破口口.[正解]函數(shù)f(x)有3個不同的零點點,即其圖象與x軸有3個不同的交點點,因此只需f(x)的極大值與極極小值異號即即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,則x=±1,故極值為f(-1)和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2,所以應有(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2),選A.[答案]A技法 確定方方程根的個數(shù)數(shù)的三種方法法一?利用函數(shù)的周周期性【典例1】設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞∞)上滿足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2005,2005]上的根的個數(shù)數(shù),并證明你的結(jié)結(jié)論.[解題切入點]對于(1)可用特殊化策策略求解,對于(2)可據(jù)條件首先先求出函數(shù)的的周期,利用其周期適適當分段結(jié)合合題設(shè)條件確確定.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有兩根,從而可知y=f(x)在[0,2000]上有400個根,在[2000,2005]上有兩根,在[-2000,0]上有400個根,在[-2005,-2000]上沒有根,所以函數(shù)y=f(x)在[-2005,2005]上有802個根.[答案]C[方法與技巧]如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象不間間斷,并且有f(a)?f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點