第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)

§3.1恒定電流的電場(chǎng)（第一部分）§3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度§3.3恒定磁場(chǎng)的基本方程§3.4矢量磁位§3.5磁偶極子§3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程（第二部分）§3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件§3.8標(biāo)量磁位§3.9互感和自感§3.10磁場(chǎng)能量§3.11磁場(chǎng)力第三章恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)1主要內(nèi)容恒定電流的電場(chǎng)的基本特征（第一部分）磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度恒定磁場(chǎng)的基本方程磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程（第二部分）恒定磁場(chǎng)的邊界條件自感與互感的計(jì)算磁場(chǎng)能量與能量密度2第一部分

§3.1恒定電流的電場(chǎng)電流與電流密度的概念和計(jì)算方法電荷守恒定律/歐姆定律/焦耳定律恒定電場(chǎng)的基本方程電動(dòng)勢(shì)、漏電電導(dǎo)及接地電阻的概念和計(jì)算恒定電場(chǎng)的邊界條件靜電比擬法3基本概念電流：電荷在電場(chǎng)作用下定向運(yùn)動(dòng)形成電流，習(xí)慣上規(guī)定正電荷運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)殡娏鞯姆较颉：愣娏鳎喝綦娏鞑浑S時(shí)間變化而變化恒定電場(chǎng)：恒定電流的空間存在的電場(chǎng)4§3.1.1電流密度一、電流強(qiáng)度（標(biāo)量）（A）

單位時(shí)間通過某導(dǎo)線截面的電荷量

i為時(shí)間的函數(shù)，若電荷流動(dòng)的速度不變，稱恒定電流即直流電流二、電流密度（矢量）（A/m2）——體電流密度大小為與正電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度。方向?yàn)檎姾蛇\(yùn)動(dòng)的方向。如圖，設(shè)通過△S的電流為△I，該點(diǎn)處的電流密度為51、體電流密度》與I的關(guān)系》與ρ的關(guān)系2、面電流密度3、線電流密度若電流僅分布在導(dǎo)體表面的一薄層內(nèi)，引入面電流密度如果電流流過一根非常細(xì)的導(dǎo)線時(shí)，引入線電流密度》與ρS的關(guān)系》與I的關(guān)系電流密度動(dòng)態(tài)演示：6§3.1.2電荷守恒定律電荷守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式（電流連續(xù)性方程的積分形式）電流連續(xù)性方程的微分形式恒定電流場(chǎng)的基本方程之一：微分形式：積分形式：

表明：無散，即電流密度矢量線是無起點(diǎn)無終點(diǎn)閉合曲線電荷定恒定律：任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。即任意體積V內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個(gè)體積的電荷增量。7§3.1.3歐姆定律的微分形式電流分類：

傳導(dǎo)電流：指導(dǎo)體中的自由電子或半導(dǎo)體中的自由電荷在電場(chǎng)作用下作定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流。如金屬中、電解液中的電流。

運(yùn)流電流：指帶電粒子在真空中或氣體中運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的電流。如真空管中的電流。歐姆定律微分形式：其中σ為電導(dǎo)率，單位：西門子/米（S/m）恒定電場(chǎng)中，僅理想導(dǎo)體（σ→∞）內(nèi)才有：靜電場(chǎng)中，導(dǎo)體內(nèi)有：歐姆定律積分形式：注意：只適用于傳導(dǎo)電流、電源外部，不適用于運(yùn)流電流8如右圖，考慮一橫截面為S，長度為

，電導(dǎo)率為的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)。該導(dǎo)電媒質(zhì)橫界面S的總電流為：

電場(chǎng)E在長度l方向上產(chǎn)生的電壓降為：

上兩式與式相結(jié)合得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流與電壓的關(guān)系為：

均勻?qū)щ娒劫|(zhì)9常溫下（20攝氏度）材料電導(dǎo)率σ/(S/m)鐵(99.98%)107

黃銅1.56×107

鋁3.55×107

金3.10×107

鉛5.55×107

銅5.80×107

銀6.20×107

硅1.56×10-3

表3-1常用材料的電導(dǎo)率10電動(dòng)勢(shì)：電源：一種將其他形式的能量（機(jī)械的，化學(xué)的，熱的等）轉(zhuǎn)化為電能的裝置。非靜電力：不是由靜止電荷產(chǎn)生的力。例如在電池內(nèi)，非靜電力指的是由化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的使正、負(fù)電荷分離的化學(xué)力。非庫侖場(chǎng)：非靜電力對(duì)電荷的影響等效為一個(gè)非保守電場(chǎng)，只存在電源內(nèi)部。庫侖場(chǎng)：恒定分布的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，保守場(chǎng)，同時(shí)存在電源內(nèi)部和外部。電動(dòng)勢(shì)：電源內(nèi)部搬運(yùn)單位正電荷從負(fù)極到正極時(shí)非靜電力所作的功。電動(dòng)勢(shì)用總電場(chǎng)的回路積分表示：含電源的歐姆定律的微分形式：電池作用原理11§3.1.4焦耳定律(不適用于運(yùn)流電流)焦耳定律：電流產(chǎn)生的熱量跟電流、電阻和通電時(shí)間的關(guān)系。即電流通過導(dǎo)體的熱量跟電流的平方成正比，跟導(dǎo)體的電阻成正比，跟通過時(shí)間成正比。

焦耳定律的微分形式：

證明：當(dāng)導(dǎo)體上電壓為U，電流為I時(shí)，功率為P=UI在導(dǎo)體中，沿電流線方向取長度為⊿l、截面為⊿S的體積元，該體積無消耗的功率為當(dāng)⊿V→0時(shí)，取⊿P/⊿V的極限，得導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)熱功率密度，即或12補(bǔ)充：接地電阻(無線電儀器或電氣裝置中常需接地)接地：將金屬導(dǎo)體埋入地內(nèi)，而將設(shè)備中需要接地的部分與該導(dǎo)體連接。接地體或接地電極：埋在地內(nèi)的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng)。接地電阻：電流由電極流向大地時(shí)所遇到的電阻。當(dāng)遠(yuǎn)離電極時(shí)，電流流過的面積很大，而在接地電極附近，電流流過的面積很小，或者說電極附近的電流密度最大，因此，接地電阻主要集中在電極附近。跨步電壓：人跨一步（約0.8m）的兩腳間的電壓。如果短路，大的電流流入大地時(shí)，接地電極附近地面兩點(diǎn)間電壓可能達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值。13設(shè)經(jīng)引線由O點(diǎn)流入半球形電極的電流為I，則距球心為r處的地中任一點(diǎn)的電流密度為：則電場(chǎng)強(qiáng)度為：由于電流沿徑向一直流出去，直至無窮遠(yuǎn)處所以電極在大地中的電壓為：故得接地電阻為：同理，全球接地電阻接地電導(dǎo)例：求半球形電極的接地電阻14減小接地電阻方法：增大半徑a》采用大塊接地導(dǎo)體》采用若干個(gè)具有一定粗細(xì)，一定長度的導(dǎo)體柱組成的接地系統(tǒng)》采用多根細(xì)長導(dǎo)體輻射狀散開平鋪于地下。增大電導(dǎo)率σ》在接地電極附近的地質(zhì)中灌入鹽液或其他導(dǎo)電液體。結(jié)論：當(dāng)流入地面電流一定，電阻越小，電壓越小，因此為了使人接近接地電極時(shí)更安全，應(yīng)該減小接地電阻。電阻越小，接地儀器設(shè)備的外殼越接近大地的電位15例：如圖一半徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平面與地面重合，已知土壤的導(dǎo)電率為σ=10-2S/m。求：1）接地電阻；2）若有短路電流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向接地點(diǎn)前進(jìn)，前腳距半球中心點(diǎn)的距離為2m，求此人的跨步電壓及土壤的損耗功率解：接地電極的接地電阻為已知流入地中電流為I，則在距求心r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為跨步電壓損耗功率16恒定電流場(chǎng)的基本性質(zhì)：無散無旋場(chǎng)§3.1.5恒定電流場(chǎng)的基本方程（電源外部導(dǎo)體中）微分形式：積分形式：由于恒定電場(chǎng)的旋度為零，可以引入電位在均勻?qū)w內(nèi)部（電導(dǎo)率為常數(shù)），有17在兩種介質(zhì)分界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，電場(chǎng)也會(huì)突變邊界條件：場(chǎng)分量在界面上的變化規(guī)律恒定電流場(chǎng)的邊界條件：分界面兩邊恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)突變所遵循的規(guī)律，稱為靜電場(chǎng)的邊界條件推導(dǎo)恒定電流場(chǎng)邊界條件的依據(jù)是恒定電流場(chǎng)方程的積分形式：§3.1.6恒定電流場(chǎng)的邊界條件18電流密度的法向分量

在分界面上構(gòu)造如圖非常薄的柱形閉合面，由由于h0

又⊿S很小，所以⊿S上電流密度可看成常數(shù)表明：電流密度的法向分量在邊界面兩側(cè)連續(xù)或或19電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量

在分界面上構(gòu)造如右圖狹長回路，由表明：電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在邊界面兩側(cè)是連續(xù)的由于h0

又⊿l很小，所以⊿l上電場(chǎng)強(qiáng)度可看成常數(shù)或或恒定電場(chǎng)的邊界條件動(dòng)態(tài)演示：20分界面上電場(chǎng)的方向分析電場(chǎng)強(qiáng)度經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時(shí)，其方向改變情況1、法線方向上：2、切線方向上：特殊情況：》垂直分界面入射時(shí)：方向不發(fā)生改變，類似光折射》當(dāng)σ1>>σ2

：即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時(shí)，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良導(dǎo)體中，電力線近似垂直于界面，可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面說明：電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量方向在經(jīng)過分界面兩邊時(shí)方向?qū)l(fā)生改變，改變量與媒質(zhì)性質(zhì)有關(guān)21恒定電場(chǎng)（電源外）靜電場(chǎng)（ρ=0的區(qū)域）§3.1.7恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬22恒定電場(chǎng)：靜電比擬法：當(dāng)某一特定的靜電場(chǎng)問題的解已知時(shí)，與其相應(yīng)的恒定電場(chǎng)的解可以通過對(duì)偶量的代換直接得出。利用靜電比擬法，直接由電容得到漏電導(dǎo)靜電場(chǎng)：漏電電導(dǎo)定義：兩個(gè)導(dǎo)體之間的漏電流I與它們之間的電壓U的比值為該導(dǎo)體系統(tǒng)的漏電導(dǎo)，用G表示。而導(dǎo)體與大地之間的漏電阻一般稱為接地電阻。說明：漏電導(dǎo)與形狀、位置、介質(zhì)有關(guān)，與I和U無關(guān)。孤立導(dǎo)體與無窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)體之間存在漏電導(dǎo)。2324常見導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

平行板：其中S：面積，d：距離。

同軸線：

其中L：長度，a，b：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)外半徑平行雙導(dǎo)線：

其中L：長度，D：導(dǎo)線間距，d：導(dǎo)線直徑。同心球：其中a，b：內(nèi)外球半徑。孤立導(dǎo)體：其中a：球半徑。25由靜電比擬法可行常見導(dǎo)體系統(tǒng)的漏電導(dǎo)平行板：其中S：面積，d：距離。

同軸線：

其中L：長度，a，b：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)外半徑平行雙導(dǎo)線：

其中L：長度，D：導(dǎo)線間距，d：導(dǎo)線直徑。同心球：其中a，b：內(nèi)外球半徑。孤立導(dǎo)體：其中a：球半徑。26漏電導(dǎo)的計(jì)算方法

從比擬法出發(fā)，利用C-G和的σ-ε比擬關(guān)系，直接由電容值得到對(duì)應(yīng)的漏電導(dǎo)值。從定義出發(fā)，設(shè)兩導(dǎo)體之間的漏電流I，求U值，得G假定I272829例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a

、外導(dǎo)體內(nèi)半徑b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，求同軸線單位長度的漏電電導(dǎo)。解：漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體，如令沿軸線方向單位長度從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場(chǎng)為兩導(dǎo)體間的電位差為：漏電電導(dǎo)為：30例3-2

一個(gè)同心球電容器的內(nèi)、外半徑為a、b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，求該電容器的漏電電導(dǎo)。解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場(chǎng)為內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為：漏電電導(dǎo)為：3132第二部分恒定電流的磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度恒定磁場(chǎng)的基本方程磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程恒定磁場(chǎng)的邊界條件自感與互感的計(jì)算磁場(chǎng)能量與能量密度33基本概念（高中范疇）恒定磁場(chǎng)：磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化而變化（如恒定電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)）。磁通量：垂直于某一面積所通過的磁力線的多少。磁感應(yīng)強(qiáng)度：大小為穿過單位面積的磁通量。方向?yàn)榇帕€的切線方向。

特斯拉（T）單位太大，工程上常用高斯（G）單位。1G=10-4T。通電導(dǎo)線所受的力：在磁場(chǎng)中垂直于磁場(chǎng)方向的通電導(dǎo)線，所受的磁場(chǎng)力（安培力）F=BIL（左手定則）。34基本概念（高中范疇）（續(xù)）左手定則：伸開左手，使大拇指跟其余四個(gè)手指垂直，并且都跟手掌在一個(gè)平面內(nèi)，把手放入磁場(chǎng)中，讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開的四指指向電流的方向。那么，拇指所指的方向，就是通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中的受力方向。

磁場(chǎng)強(qiáng)度：在任何磁介質(zhì)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小為磁場(chǎng)中某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與同一點(diǎn)的磁導(dǎo)率的比值。方向?yàn)榇帕€的切線方向。35§3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度一、安培定律：描述電流回路間的相互作用力的大小。安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1對(duì)另一載有電流I2的回路C2的作用力為：回路上的電流元矢量μ0為真空中的磁導(dǎo)率Ampere'slaw36二、畢奧—薩伐爾定律：描述回路C1在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度將安培定律改寫為：則回路C1在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：?jiǎn)挝惶厮估?jiǎn)稱特（T）或（Wb/m2）可理解為C1產(chǎn)生磁場(chǎng)，C2在磁場(chǎng)受力37例判斷下列各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小+++38按習(xí)慣“帶撇號(hào)”表示源點(diǎn)，“不帶撇號(hào)”表示場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)：場(chǎng)點(diǎn)：則線電流中：面電流中：體電流中：此三個(gè)公式作用：已知回路的電流分布可求磁感應(yīng)強(qiáng)度39由可得電流元Idl在外磁場(chǎng)B中所受的力為：而已知外磁場(chǎng)B，回路C受到的力為：以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q在外磁場(chǎng)B中受到的力為：以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q在外電磁場(chǎng)(E,B)中受到的力為：洛侖茲力公式40例：一根沿z軸放置長度為2l的直導(dǎo)線通過z方向的電流為I。求其在周圍產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：選擇柱坐標(biāo)系，源點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,z’)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為(ρ,0,z)其中：根據(jù)畢奧-薩伐爾定律：由若導(dǎo)線無限長，則41§3.3

恒定磁場(chǎng)的基本方程§3.3.1磁通連續(xù)性原理

有向曲面S的磁通量：閉合曲面S的磁通量：磁通連續(xù)性原理（積分形式）：表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過任意閉合曲面的通量恒為零。即磁力線是連續(xù)的。磁通連續(xù)性原理（微分形式）：表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)無散場(chǎng)，磁力線是連續(xù)的閉合曲線。42證明磁通連續(xù)性原理以載流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為例由于由于=043單根導(dǎo)線電流§3.3.2安培環(huán)路定律

積分形式：微分形式：

注意：用安培環(huán)路定律求解磁場(chǎng)分布只適用于某些呈軸對(duì)稱分布的磁場(chǎng)的求解表明：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，旋渦源為電流物理意義：磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導(dǎo)率乘以該回路包圍的電流的代數(shù)和。推導(dǎo)用斯托克斯定理多根導(dǎo)線電流分布電流動(dòng)畫演示44§3.3.2安培環(huán)路定律

表明：無散場(chǎng)，磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交，磁力線構(gòu)成閉合回路；有旋場(chǎng)，電流是磁場(chǎng)的旋渦源。總結(jié)：真空中恒定磁場(chǎng)的基本方程積分形式：微分形式：45例：一根沿z軸放置無限長直導(dǎo)線通過z方向的電流為I。用安培環(huán)路定律求其在周圍產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取圓柱坐標(biāo)系，由對(duì)稱性可知，磁感應(yīng)線是圓心在軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為ρ的積分路徑C，依安掊環(huán)路定律與前面解法相比：用安培環(huán)路定律求解對(duì)稱分布的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)要簡(jiǎn)單得多46例3-5

半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取圓柱坐標(biāo)系，z軸與導(dǎo)體中軸線重合。由對(duì)稱性可知，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)體中軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為r的積分路徑C，依安掊環(huán)路定律得而當(dāng)r≤a時(shí)當(dāng)r>a時(shí)47例：內(nèi)、外半徑分別為a、b的無限長中空導(dǎo)體圓柱，導(dǎo)體內(nèi)沿軸向有恒定的均勻傳導(dǎo)電流，體電流密度為導(dǎo)體磁導(dǎo)率為μ。求空間各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對(duì)稱分布，取圓柱坐標(biāo)系，依安掊環(huán)路定律得在r<a區(qū)域：在a≤r≤b

區(qū)域：在r>b

區(qū)域：48§3.4

矢量磁位（磁矢位）一、矢量磁位的引入二、庫侖規(guī)范引入矢量磁位的意義：引入輔助函數(shù)，可通過間接求解方法求解空間磁場(chǎng)分布，簡(jiǎn)化電磁問題求解。要求：磁感應(yīng)強(qiáng)度與矢量磁位滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量Ф的梯度后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)的矢量磁位單位：特斯拉·米(T·m或Wb/m)若則對(duì)于有：049而上式表明：是性質(zhì)不同的兩種矢量場(chǎng)，這意味著滿足庫侖規(guī)范條件：必須引入新的限定條件，對(duì)矢量磁位進(jìn)行限定，這種新引入的限定條件稱為庫侖規(guī)范。由亥姆霍茲定理可知：矢量場(chǎng)的性質(zhì)由其散度和旋度確定，對(duì)于矢量磁位，其旋度已確定(等于磁感應(yīng)強(qiáng)度)，只須對(duì)其散度進(jìn)行限定即可唯一確定。在恒定磁場(chǎng)中一般采用庫侖規(guī)范條件，即令注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件50三、矢量磁位的求解矢量磁位滿足的方程由矢量恒等式：應(yīng)用庫侖規(guī)范磁矢位的拉普拉斯方程：泊松方程在直角坐標(biāo)系中，可以寫成對(duì)各個(gè)分量的運(yùn)算，即▽2為矢量拉普拉斯算符51寫成矢量形式：體電流：面電流：線電流：磁通計(jì)算公式：寫成分量形式：對(duì)矢量磁位的說明：》矢量磁位的方向與電流密度矢量的方向相同》引入矢量磁位可以大大簡(jiǎn)化磁場(chǎng)的計(jì)算52例3-6

求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位解：取圓柱坐標(biāo)系，磁矢位只有z分量。當(dāng)l>>z時(shí)當(dāng)l>>r時(shí)53當(dāng)l→∞時(shí)，上式為無窮大。這是因?yàn)楫?dāng)電流分布在無限區(qū)域時(shí)，不能把無窮遠(yuǎn)處作為磁矢位的參考點(diǎn)，而以上的計(jì)算均基于磁矢位的參考點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。實(shí)際上，當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時(shí)，一般指定一個(gè)磁矢位的參考點(diǎn)，就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0

處為磁矢位的零點(diǎn)時(shí)，可得出利用上式，用圓柱坐標(biāo)旋度公式，可求出54補(bǔ)充：

建立非齊次方程直接求解法若已知空間電流密度矢量分布，則可建立方程：直接求解法在理論上可以求出空間磁場(chǎng)分布，但計(jì)算十分復(fù)雜，很難得出解析解，因此一般不采用此法小結(jié)：求解磁場(chǎng)的方法》場(chǎng)源積分法（畢奧-薩伐爾定律）》非齊次方程直接求解法》安培環(huán)路定律》通過矢量磁位間接求解05556§3.5

磁偶極子磁偶極子定義：一個(gè)載流的小閉和圓環(huán)稱為磁偶極子。解釋：永久磁針的兩端分別存在正磁荷和負(fù)磁荷。定義式為：磁矩：大小為電流環(huán)的面積與電流的乘積方向與環(huán)路的法線方向一致。證實(shí)：在磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)研究中已證實(shí)，一微小的永久磁針周圍的磁場(chǎng)分布與微小電流環(huán)周圍的磁場(chǎng)分布相同。對(duì)偶：磁偶極子及其磁場(chǎng)與電偶極子及其電場(chǎng)是對(duì)偶的57載流圓環(huán)磁矢位本問題的電流分布具有對(duì)稱性，所以磁矢位在球面坐標(biāo)系中只有Ф分量，并只是r和θ的函數(shù)。故將場(chǎng)點(diǎn)選取在xoz平面。式中：58又：如果r>>a，則所以：積分后得出59球面坐標(biāo)系中求旋度得60電偶極子磁偶極子2、存在對(duì)偶關(guān)系。比較：1、在遠(yuǎn)離偶極子處，磁偶極子和電偶極子的場(chǎng)分布是相同的，但在偶極子附近，二者場(chǎng)分布不同。引申：磁力線是閉合的，電力線是間斷的。61§3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程磁介質(zhì)的分類：順磁質(zhì)：磁介質(zhì)中磁場(chǎng)增強(qiáng)μr>1

如：錳，鋁，氧氣，氮?dú)狻勾刨|(zhì)：磁介質(zhì)中磁場(chǎng)減弱μr<1

如：銅，銀，氯氣，氫氣…鐵磁質(zhì)：磁介質(zhì)中磁場(chǎng)顯著增強(qiáng)μr>>1

如：鐵，鎳，鈷…現(xiàn)在將一個(gè)長螺線管通電流I0，造成一個(gè)均勻磁場(chǎng)B0，將磁介質(zhì)充滿磁場(chǎng)（保持電流不變）。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：各種磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)有的減弱，有的加強(qiáng)。均勻各向同性介質(zhì)充滿磁場(chǎng)所在空間時(shí)，有：磁介質(zhì)定義：磁場(chǎng)作用下磁化，并影響磁場(chǎng)分布的物質(zhì)62§3.6.1磁化強(qiáng)度磁介質(zhì)磁化的有關(guān)概念：分子電流及磁矩》電子繞核運(yùn)動(dòng)，形成分子電流》分子電流將產(chǎn)生微觀磁場(chǎng)》分子電流的磁特性可用分子磁矩表示順磁質(zhì)的磁化》磁化前，分子磁矩取向雜亂無章，磁介質(zhì)宏觀上無任何磁特性》外加磁場(chǎng)時(shí)：大量分子的分子磁矩取向與外加磁場(chǎng)趨于一致，宏觀上表現(xiàn)出磁特性。磁化現(xiàn)象：磁介質(zhì)在外磁場(chǎng)作用下，產(chǎn)生感應(yīng)磁矩，產(chǎn)生二次磁場(chǎng)，疊加于原場(chǎng)之上，使磁場(chǎng)發(fā)生變化。磁化結(jié)果使介質(zhì)中合成磁場(chǎng)可能減弱，也可能增強(qiáng)。磁化現(xiàn)象動(dòng)態(tài)顯示63磁化強(qiáng)度描述介質(zhì)磁化的程度，等于單位體積內(nèi)的分子磁矩，即若△V內(nèi)每個(gè)分子的磁矩相同，單位體積內(nèi)分子數(shù)為N§3.6.2磁化電流磁介質(zhì)被磁化后，內(nèi)部和表面會(huì)出附加電流，稱這種電流為磁化電流（束縛電流）體磁化電流：內(nèi)部出現(xiàn)的附加電流面磁化電流：表面出現(xiàn)的附加電流磁化電流動(dòng)態(tài)顯示媒質(zhì)表面外法向6465證明：體積元為△V的磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁矢位為全部磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁矢位為利用恒等式利用恒等式66例3-7

半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱，磁化強(qiáng)度為M0,求磁化體電流和磁化面電流。解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸與磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。在界面z=0上在界面z=L上在界面r=a上67§3.6.3磁場(chǎng)強(qiáng)度在磁介質(zhì)中，將真空中的安培環(huán)路定律修正為：由于將上式改寫為：令：真空中與磁介質(zhì)中統(tǒng)一形式的安培環(huán)路定律積分形式：微分形式：磁場(chǎng)強(qiáng)度（輔助物理量）單位為A/m68§3.6.4磁導(dǎo)率各向同性/各向異性；線性/非線性；均勻/非均勻?qū)τ诰€性各向同性的磁介質(zhì)：μr：介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率根據(jù)與的關(guān)系可將磁介質(zhì)分為：

本構(gòu)關(guān)系：和的關(guān)系，表示磁介質(zhì)的磁化特性χm為磁化率，為無量綱量，順磁質(zhì)為正，抗磁質(zhì)為負(fù)μ：介質(zhì)的磁導(dǎo)率鐵磁材料：的關(guān)系是非線性的，并且的單值函數(shù)，會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象69磁滯現(xiàn)象：指鐵磁物質(zhì)磁化狀態(tài)的變化總是落后于外加磁場(chǎng)的變化，在外磁場(chǎng)撤消后，鐵磁質(zhì)仍能保持原有的部分磁性O(shè)BHACDB...EF.HCBs.BrHs.初始磁化曲線Br剩磁.HsBs.

飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度矯頑力HC磁滯回線70§3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程微分形式：積分形式：磁矢位的微分方程：在介質(zhì)中同樣定義磁矢位：

在線性均勻各向同性介質(zhì)中，采用庫侖規(guī)范：基本性質(zhì)：無散場(chǎng)。磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交。有旋場(chǎng)。電流是磁場(chǎng)的旋渦源，磁力構(gòu)成閉合回路。71例3-8

同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，外半徑為c，設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域解：如無特別聲明，對(duì)良導(dǎo)體（不包括鐵等磁性物質(zhì)）一般取磁導(dǎo)率μ0

，因同軸線無限長，則其磁場(chǎng)沿軸線無變化，該磁場(chǎng)只有Φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。當(dāng)r≤a時(shí)當(dāng)a<r≤b時(shí)當(dāng)b<r≤c時(shí)當(dāng)r>c時(shí)，全為零72總結(jié)：靜態(tài)場(chǎng)性質(zhì)靜電場(chǎng)的基本方程（真空中和介質(zhì)中）積分形式：微分形式：靜電場(chǎng)基本性質(zhì)：有散無旋場(chǎng)恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)的基本方程（真空中和介質(zhì)中）積分形式：微分形式：恒定電流場(chǎng)基本性質(zhì)：無散無旋場(chǎng)73恒定磁場(chǎng)的基本方程（真空中和介質(zhì)中）恒定磁場(chǎng)基本性質(zhì)：無散有旋場(chǎng)微分形式：積分形式：例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì)=0=0=000=074§3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件在兩種介質(zhì)分界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，磁場(chǎng)將發(fā)生突變磁場(chǎng)的邊界條件：分界面兩邊磁場(chǎng)突變所遵循的規(guī)律，稱為磁場(chǎng)的邊界條件推導(dǎo)磁場(chǎng)邊界條件的依據(jù)是磁場(chǎng)方程的積分形式75磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量

在分界面上構(gòu)造如圖非常薄的柱形閉合面，由由于h0

又⊿S很小，所以⊿S上磁感應(yīng)強(qiáng)度可看成常數(shù)表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在邊界面兩側(cè)連續(xù)或76磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量

在分界面上構(gòu)造如右圖狹長回路，由表明：磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在通過邊界面時(shí)不連續(xù)由于h0

又⊿l很小，所以⊿l上磁場(chǎng)強(qiáng)度可看成常數(shù)或由由77分界面上磁場(chǎng)的方向分析磁場(chǎng)強(qiáng)度經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時(shí)，其方向改變情況1、法線方向上：2、切線方向上：特殊情況：》垂直分界面入射時(shí)：方向不發(fā)生改變，類似光的折射》若媒質(zhì)1為鐵磁質(zhì)，媒質(zhì)2為空氣，即μ1>>μ2

，即只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在鐵磁質(zhì)表面，磁場(chǎng)方向與表面垂直說明：磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度方向在經(jīng)過分界面兩邊時(shí)方向?qū)l(fā)生改變，改變量與媒質(zhì)性質(zhì)有關(guān)若78恒定磁場(chǎng)的邊界條件動(dòng)態(tài)演示79808182§3.8標(biāo)量磁位磁標(biāo)位的定義：：磁場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù)（簡(jiǎn)稱標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位）單位為A（安培）。磁標(biāo)位的拉普拉斯方程：磁標(biāo)位表示磁場(chǎng)邊界條件：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)83§3.9互感和自感一、磁鏈（magneticfluxlinkage）的定義：磁鏈即為總磁通，用Ψ表示說明1：如果回路由N匝線圈繞成，則磁鏈為各匝磁通之和。對(duì)于密繞線圈，可近似認(rèn)為各匝的磁通相等，有Ψ=NΦ，Φ為單匝線圈磁通說明2：在線性各向同性媒質(zhì)中，穿過任意電流回路的磁通量與回路電流強(qiáng)度成正比，那么磁鏈也與回路電流成正比。二、自感（self-inductance）的定義：回路的磁鏈和回路電流之比，用L表示84說明1：回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。說明2：若回路導(dǎo)線直徑較粗，則Li回路內(nèi)自感，導(dǎo)體內(nèi)部磁場(chǎng)與部分電流交鏈形成Le回路外自感，導(dǎo)體外部磁場(chǎng)與全部回路電流交鏈形成一般回路導(dǎo)線內(nèi)自感較小，可忽略三、互感（mutualinductance）的定義：兩個(gè)彼此靠近的回路C1和C2，回路C1的磁場(chǎng)在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈為Ψ12，則回路C1對(duì)C2的互感為：說明：回路互感僅與兩回路的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)、相對(duì)位置和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。同理回路C2對(duì)C1的互感為：85互感為正互感為負(fù)Ψ11：I1在C1中磁鏈；Ψ21：I2在C1中磁鏈Ψ12：I1在C2中磁鏈；Ψ22：I2在C2中磁鏈互感的正負(fù)：在同一個(gè)線圈中自身電流和另一線圈電流產(chǎn)生的磁鏈方向相同，為正，反之，為負(fù)。若Ψ11和Ψ21有相同的方向；或Ψ12和Ψ22有相同的方向，互感為正，反之為負(fù)。86諾伊曼公式：給出兩個(gè)簡(jiǎn)單回路間互感計(jì)算方法諾伊曼公式：提供了求互感的一般方法，但實(shí)際應(yīng)用起來常導(dǎo)致復(fù)雜的積分，一般不用此公式。表明：》互感僅與兩回路的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)、相對(duì)位置和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。

》兩回路間互感相等M12=M21，即互感具有互易性87對(duì)于自感，諾伊曼公式變?yōu)椋嚎汕笸庾愿械闹Z伊曼公式若兩上線元重合，R=0，積分趨于無窮大，由于忽略了回路導(dǎo)線的截面所致因此用諾伊曼公式計(jì)算自感必段考慮導(dǎo)線的橫截面積其中：表明：回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。一般不用此公式計(jì)算外自感88小結(jié)：穿過回路的磁鏈?zhǔn)怯苫芈飞淼碾娏鳟a(chǎn)生的，則磁鏈與電流的比值稱為自感自感取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導(dǎo)率如果穿過回路的磁鏈?zhǔn)怯善渌芈冯娏魉a(chǎn)生，則磁鏈與產(chǎn)生磁鏈的電流之比稱為互感互感的大小不僅取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，還與兩個(gè)回路的相互位置有關(guān)電感的計(jì)算方法：從定義出發(fā)，設(shè)兩回路電流為I1和I2

，求出相應(yīng)的磁通鏈，得到外自感和互感