專題三概率、隨機(jī)變量及其分布列題型及解題方法匯總

專題三概率、隨機(jī)變量及其分布列練真題析考情（笑使?？迹┚氄骖}析考情（笑使常考）考什叢、學(xué)什叢［練真題?考什么］（2018?全國卷II）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）1A-1211A-121CC.151D-18（2017?全國卷I）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）1A-4B.11A-4B.1C.2D.（2018?全國卷I）下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為n,其余部分記為ni.在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自1,11,111的概率分別記為p1,p2,p3,則（）A.p1=p2 B.p1=p3 c.p2=p3 D.p1=p2+p3（2016?全國卷I）某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）

1A31A31 2B.2 C.3（2016?全國卷II）從區(qū)間［0,1］隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1,x2,…，xn,y1,y2,…，yn構(gòu)成n個數(shù)對（x1,y1）,（x2,y2）,…，（xn,yn）,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率n的近似值為（）4n4nA.一m2n 4m 2mBm C.~ D-~（2018?全國卷III）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D（X）=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=( )A.A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3［析命題?學(xué)什么］考情展示2018年考情展示2018年2017年2016年卷I卷n卷III卷I卷n卷III卷I卷n卷IIIT10,T20T8T8T4Tn,T19T18T3,T19T8,T18T51.對概率的考查既有大題也有小題，選擇題或填空題出現(xiàn)在第3?8題或第13題的位置，主要考查幾何概率，難度一般.命題分2.概率統(tǒng)計的解答題多在第18或19題的位置，多以交匯性的形式考查，交匯命題分點有兩種：一是圖表（頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、總體密度曲線、等高條形圖等）擇一與隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差相交匯考查；二是圖表（頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、總體密度曲線、等高條形圖等）擇一與回歸分析或獨(dú)立性檢驗相交匯考查.析典例破疑難（師金總晴）展現(xiàn)律，尋方法?考點一析典例破疑難（師金總晴）展現(xiàn)律，尋方法?考點一【例1】每次抽取1張古典概型與幾何概型⑴從分別標(biāo)有1,2,…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）C5.9（2）折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛心”活動中，會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，

G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB,CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分的概率為.規(guī)律方法.利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)，這常常用到排列、組合的有關(guān)知識.⑵對于較復(fù)雜的題目計數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏..幾何概型的適用條件及應(yīng)用關(guān)鍵(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.「對點訓(xùn)練」.5個車位分別停放了A,B,C,D,E5輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再按A,B,C,D,E的次序停入這5個車位，則在A車停入了B車原來的位置的條件下，停放結(jié)束后恰有1輛車停在原來位置上的概率是()3 3A-8B-401C-61D-12.在區(qū)間0,%上任選兩個數(shù)x和》則yvsinx的概率為()A.=n22

D-1—A.=n2?考點二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗命題角度一：條件概率【例2】某險種的基本保費(fèi)為〃(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234三5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險次數(shù)01234三5概率0.300.150.200.200.100.05⑴求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；⑵若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.命題角度二：事件的相互獨(dú)立性【例3】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為2,3，4.乙JI"(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.命題角度三：獨(dú)立重復(fù)試驗的概率【例4】某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為不和p. 49 (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為50,求p的值；(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率.規(guī)律方法1．條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率P(AB)~P^).2．相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)XP(B).3．獨(dú)立重復(fù)試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Cnpk(1—p)n—k,k=0,1,2,…，n.一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X=k)=Ckpkqn-k，其中0Vp<1,p+q=1,k=0,1,2,…，n，稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X?B(n,p)，且E(X)=np,D(X)=np(1—p).「對點訓(xùn)練」一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每輪游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每輪游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得一200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為2,且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．(1)設(shè)每輪游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三輪游戲，至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是多少？?考點三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【例5】（2018?南寧二中、柳州高中第二次聯(lián)考）交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險每年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為〃元，在下一年續(xù)保時，實行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，保費(fèi)與車輛發(fā)生有責(zé)任道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生有責(zé)任交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表：交強(qiáng)險浮動因素和浮動比率表類型浮動因素浮動比率A上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車在下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌同型號車的投保類型的頻率代替該品牌同型號一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（1）按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》中汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)

定，〃=950.某同學(xué)家里有一輛該品牌同型號車且車齡剛滿三年，記X為該車在

第四年續(xù)保時的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字）（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌同型號的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基準(zhǔn)保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)并銷售一輛事故車虧損5000元，購進(jìn)并銷售一輛非事故車盈利10000元．①若該銷售商購進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．規(guī)律方法1．離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì)(Dpi三0(i=1,2,…，n)；(2)p1+p2H Hpn=1.2．期望公式E(X)=x1P1+x2p2n Hxnpn.3．期望的性質(zhì)(1)E(aXHb)=aE(X)Hb；⑵若X?B(n,p)，則E(X)=np.4．方差公式D(X)=1x1—E(X)Lp1+lx2—E(X?.p2+???+1—E(X??p,標(biāo)準(zhǔn)差為"D西.5．方差的性質(zhì)(1)D(aX+b)=a2D(X)；(2)若X?B(n,p)，貝ID(X)=np(1~p).「對點訓(xùn)練」(2018.福州四校聯(lián)考)某知名品牌汽車深受消費(fèi)者喜愛，但價格昂貴.某汽車經(jīng)銷商推出A,B,C三種分期付款方式銷售該品牌汽車，并對近期100位采用上述分期付款方式付款的客戶進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下的柱狀圖.已知從A,B,C三種分期付款銷售中，該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車1輛所獲得的利潤分別是1萬元、2萬元、3萬元.現(xiàn)甲、乙兩人從該汽車經(jīng)銷商處，采用上述分期付款方式各購買此品牌汽車一輛.以這100位客戶所采用的分期付款方式的頻率估計1位客戶采用相應(yīng)分期付款方式的概率.(1)求甲、乙兩人采用不同分期付款方式的概率；(2)記X(單位：萬元)為該汽車經(jīng)銷商從甲、乙兩人購車中所獲得的利潤，求X的分布列與期望.專題三概率、隨機(jī)變量及其分布列（答案）練真題析考情（笑使?？迹┛际踩恕鰧W(xué)什叢

［練真題?考什么］.解析：不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個，從這10個素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，有C?0=45種情況，其和等于30的情況有3 3 1種，則所求概率等于45=元.故選C.答案：c.解析：設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,其中黑色部n分和白色部分關(guān)于正方形的中心對稱，則黑色部分的面積為2,所以在正方形內(nèi)n2n.,隨機(jī)取一點，此點取自黑色部分的概率P=不==萬，故選B.TOC\o"1-5"\h\z2X2 8答案:B.解析：不妨設(shè)BC=5,AB=4,AC=3,則4ABC的三邊所圍成的區(qū)域I的面積S1=2X3X4=6,\o"CurrentDocument". .一五I的面積S1=2X3X4=6,區(qū)域111的面積S=_x5—S=25--6，區(qū)域11的3 212） 1 8面積S=

2-X22+-x（口22 212）所以S1=S2>S3,由幾何概型的概率公式可知p1=p2>p3,故選A.答案：A.解析：解法一：7:30的班車小明顯然是坐不到的.當(dāng)小明在8:00之前到達(dá)，或者8:20之后到達(dá)，他等車的時間將不超過10分鐘，故所求概率為10+104010+1040=2.故選B.解法二：當(dāng)小明到達(dá)車站的時刻超過8:00,但又不到8:20時，等車時間將超過10分鐘，其他時刻到達(dá)車站時，等車時間將不超過10分鐘，故等車時間201不超過10分鐘的概率為1—而=2.答案:B

.解析：如圖，數(shù)對（知yi）（i=1,2,…，n）表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)（包括邊界），兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓（陰影部分）內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得兀m=1=兀=4m.故選c.n 12 n答案：C.解析：由題知X?B(10,p)，則D(X)=10XpX(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又???尸(X=4)<P(X=6),即C40p4(1-p)6<C%p6(1-p)40(1-p)2Vp20p>0.5,???p=0.6,故選B.答案:B析典例破疑難（而看片我規(guī)律，尋方法?考點一古典概型與幾何概型【例1］［解析］（1）解法一：9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取，545所以p（第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù)）=9義8=我，一 一 455p（第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù)）=9義8=章所以P（抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同）=巳+巳=5.18 18 9解法二：依題意，得p（抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同）=5X4=9.故選C.(2)設(shè)AB=2,則BG=1,AG=-..；5,故多邊形AEFGHID的面積S=術(shù)X\,''5X2+2X2X2=12;陰影部分為兩個對稱的三角形，其中/EAB=90°—NGAB,故陰影部分的面積S=2X2AE?AB?sinZEAB=2X1AE?AB-cosNGAB=2X2乙 乙 乙X2X#X255=4,故所求概率P=3.［答案］(1)C(2)3

「對點訓(xùn)練」1.解析：若C停在原來位置上，則剩下三輛車都不停在原來位置上，有393 ,種可能，D,E同理，因此共有9種方法，故所求概率為耳=8.故選A.答案：A2.2.解析：在區(qū)間上任選兩個數(shù)x和y，則(x,y)表示的點所占區(qū)域如圖，其中陰影內(nèi)的點滿足.n2 、 .y<sinx,區(qū)域的面積為彳，陰影部分的面積為?，((x,y)表示的點所占區(qū)域如圖，其中陰影內(nèi)的點滿足.n2 、 .y<sinx,區(qū)域的面積為彳，陰影部分的面積為?，(J2sinxdx=Jcosx)0口 4 ,2=1,所以所求概率為二.故選C.0 兀2答案：C?考點二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗命題角度一：條件概率【例2］［解］(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1時，事件A發(fā)生，故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.⑵設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3時，事件B發(fā)生，故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),認(rèn), P(AB)P(B)0.153故P(BIA尸P(A)=P(A)=q35=T1. 3因此所求概率為言命題角度二：事件的相互獨(dú)立性［例3］［解］(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=1、P(X=0)=1、1--義1--義1--1———,

4P(X=1)=1 ( 1、—義1-1*1--+1--X-義1-1+1--義1--義二二42411 ,P(X=2)P(X=2)=1-—x-x-+-x1--x-+-x-x1--1111P(x=3)=2義3X4=24.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111424424⑵設(shè)y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=, 111,11111P(Y=0>P(Z=1)+P(Y=1)?P(Z=0)=4X24+24X4=48,所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為非.48命題角度三：獨(dú)立重復(fù)試驗的概率【例4］［解］（1）設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件。，那么1一— 1 49 1P(C)=1-1Q,P=50，解得P=5.⑵設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D.“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中發(fā)生k次故障”為事件Dk.則D=D0+D］，且D0,D1互斥.依題意，得P括0）(1\=依題意，得P括0）(1\=C01-—P(D)=1310所以P(D)=P(D0)+P(D1)=1729243 24300011000—250.所以系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為243250.數(shù)的概率為243250.「對點訓(xùn)練」解：（1）X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意，有P根據(jù)題意，有P（X=10）=C1x32_3=一,8P(X=20)=C2X3P(X=100P(X=100)=C3X1 130X1-I2JP(X=-200)=C0x31 1\X1-I2J所以X的分布列為X1020100—200P33118888⑵設(shè)“第，輪游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件4(=123),皿 … 1則P(AJ=P(A2)=P(A3)=P(X=—200)=8.所以，“三輪游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1 1 5111— = 512512因此，玩三輪游戲至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是511因此，玩三輪游戲至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是511512.?考點三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【例5］［解］(1)由題意可知，X的可能取值為0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a.11P11P(X=0.9a)=6,P(X=0.8a)=五,11TOC\o"1-5"\h\zP(X=0.7a)=12,P(X=a)=3,P(X=1.1a)

JL乙 J所以X的分布列為X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP111111612123412所以E(X)=0.9aX6+0.8aX*+0.7aX*+aX1+1.1aX4+1.3aX*=942(元).TOC\o"1-5"\h\z11.9a11305 =942(元).12 12⑵①