2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 圓綜合壓軸題 解答題專(zhuān)題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸題》解答題專(zhuān)題訓(xùn)練（附答案）1．如圖．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD．以CD為直徑作⊙O，分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．過(guò)點(diǎn)N作⊙O的切線交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠BEN＝90°．（2）若AB＝10，請(qǐng)?zhí)羁眨孩馘沤覱E，ON，當(dāng)NE＝時(shí)，四邊形OEBN是平行四邊形；②連接DM，DN，當(dāng)AC＝時(shí)，四邊形CMDN為正方形．2．如圖，以AB為直徑的半圓中，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C在圓上，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，且CD＝OB．連接AD，分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，與⊙O交于點(diǎn)G，若∠ABC＝45°．（1）求證：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切線．（2）求的值．3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，點(diǎn)D為半徑OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)F在線段PE上，且PF＝CF．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）連接AP與⊙O相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝2∠PAC，求證：AB＝BP；（3）在（2）的條件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的長(zhǎng)．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．（1）判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）求證：△FBD∽△FDA．（3）若DF＝4，BF＝2，求⊙O的半徑長(zhǎng)．6．如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)O點(diǎn)作OF⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連接CG．（1）判斷CG與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：2OB2＝BC?BF；（3）如圖2，當(dāng)∠DCE＝2∠F，DG＝2.5時(shí)，求DE的長(zhǎng)．7．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，且AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：∠B＝∠C；（2）如圖2，點(diǎn)E在上，連接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求證：∠CAE＝2∠ACE；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AE＝5，AB＝13，求AF的長(zhǎng)．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，點(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MB為半徑作圓交BC于點(diǎn)D，（1）若圓M與AC相切，如圖1，求圓的半徑；（2）若AM＝2MB，連接AD，如圖2．①求證：AD與圓M相切；②求陰影部分的面積．9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，D是AB上的一點(diǎn)，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求證：EC是⊙O的切線；（2）求證：△OAC∽△ECF；（3）若BD＝4，BC＝8，圓的半徑OB＝5，求EC的長(zhǎng)．10．如圖，已知以BC為斜邊的Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DB，DC．（1）求證：ED為⊙O的切線；（2）求證：BC2＝2ED?FC；（3）若tan∠ABC＝2，AD＝，求BC的長(zhǎng)．11．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是弧AC上一點(diǎn)，連接BD、AD，BD交AC于點(diǎn)M，∠BMC＝∠BAD．（1）如圖1，求證：BD平分∠ABC；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DF∥AC；（3）如圖3，在（2）的條件下，BC是⊙O的直徑，連接DC，AM＝1，DC＝，求四邊形BFDC的面積．12．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，P為弧AD上一點(diǎn)．（1）如圖1，連接AC、PC、PA，求證：∠APC＝∠ACD；（2）如圖2，連接PB，PB交CD于E，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：FE＝PF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，且∠PAE＝∠F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PF，垂足為G，若PG＝6，，求BH的長(zhǎng)．13．如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱(chēng)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．14．如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)E，作直徑CD，過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB．（1）求證：AC平分∠FAB．（2）求證：BC2＝CE?CP．（3）當(dāng)AB＝4時(shí)，求劣弧BC長(zhǎng)度（結(jié)果保留π）．15．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，OF⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，連接CE，BD是⊙O的切線與OE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D．（1）求證：∠D＝∠AEC；（2）求證：CE2＝EH?EA；（3）若⊙O的半徑為5，，求FH的長(zhǎng)．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接AB，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑作⊙Q交BD于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)AE交x軸于點(diǎn)F，連接DF．（1）求線段AE的長(zhǎng)；（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值．（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值．17．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC上，以AD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于點(diǎn)G，連接DF．（1）求證：△DEF∽GDF；（2）求證：BC是⊙O的切線；（3）若cos∠CAE＝，DF＝10，求線段GF的長(zhǎng)．18．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，過(guò)圓心O的直線PF⊥AB于D，交⊙O于E，F(xiàn)，PB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接AP，AF．（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）求證：AC2＝4OD?OP；（3）若BC＝6，，求AC的長(zhǎng)．19．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝10．C是弧AB上一點(diǎn)，連接AC，BC，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為E、F．（1）求證：四邊形CEPF是正方形；（2）當(dāng)sinA＝時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，圖中陰影部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出y的最大值．20．問(wèn)題提出（1）如圖①，△ABC為等邊三角形，若AB＝2，則△ABC的面積為．問(wèn)題探究（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD交BC邊于點(diǎn)E．若AD＝1，求圖中陰影部分的面積．問(wèn)題解決（3）如圖③，是某公園的一個(gè)圓形施工區(qū)示意圖，其中⊙O的半徑是4米，公園開(kāi)發(fā)部門(mén)計(jì)劃在該施工區(qū)內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)四邊形綠化區(qū)域ABCD，連接AC、BD，現(xiàn)準(zhǔn)備在△ADC區(qū)域種植花卉供游人欣賞．按設(shè)計(jì)要求，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)都在圓上，∠ADB＝∠BDC＝60°．設(shè)BD的長(zhǎng)為x米，△ADC的面積為y平方米．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照設(shè)計(jì)要求，為讓游人有更好的觀賞體驗(yàn)，△ADC花卉區(qū)域的面積越大越好，那么請(qǐng)求出花卉區(qū)域△ADC面積的最大值．參考答案1．（1）證明：如圖，連接ON，DN，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CND＝∠DNB＝90°，∵NE是⊙O的切線，∴∠ONE＝90°，∴∠BNE＝∠OND，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠ODN＝∠BNE，∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠BCD+∠ODN＝90°，∴∠B+∠BNE＝90°，∴∠NEB＝90°；（2）解：①∵四邊形OEBN是平行四邊形，∴BE＝ON＝，∵E為BD的中點(diǎn)，∴N為BC的中點(diǎn)，∴NE為△BCD的中位線，∴NE∥CD，且NE＝CD＝．故答案為：；②∵四邊形CMDN為正方形，∴∠MCD＝∠MDC＝45°，∠CMD＝90°，∴MC＝MD＝CD，∵AD＝DC，∴M是AC的中點(diǎn)，AC＝2MC＝CD，∴CD＝AB＝5，∴AC＝5．故答案為：5．2．（1）證明：①∵CD∥AB，∴∠FAB＝∠D，∵∠AFB＝∠DFC，∴△ABF∽△DCF；②∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCO＝∠AOC＝90°，∵OC是半圓的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB交OC于H，設(shè)圓的半徑為2a，∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，∴CE＝OE＝a，AE＝DE，由勾股定理得：AE＝＝a，∴AD＝2a，∵△ABF∽△DCF，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∴EF＝，∵CD是⊙O的切線，∴DC2＝DG?DA，即（2a）2＝DG?2a，解得：DG＝，∴FG＝a﹣﹣＝，∴＝＝．3．（1）證明：連接OC，∵PF＝FC，OC＝OB，∴∠PCF＝∠CPF，∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠PDB＝90°，∴∠CPF+∠OBC＝90°，∴∠PCF+∠OCB＝90°，∴∠FCO＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切線．（2）證明：連接BG，∵，∴∠PAC＝∠PBG，∵∠PBA＝2∠PAC，∴∠PBA＝2∠PBG，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AGB＝∠PGB＝90°，∴∠APB＝∠PAB，∴AB＝BP；（3）解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝BP＝5，∴PC＝2，∵∠PDA＝∠PCA＝90°，PA＝PA，∠APB＝∠PAB，∴△APC≌△APD（AAS），∴AD＝PC＝2，PD＝AC＝4，∠PAC＝∠APD，∴AE＝PE，設(shè)DE＝x，AE＝PE＝4﹣x，在Rt△AED中，AD2+DE2＝AE2，即22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴EP＝4﹣x＝，∵∠PEC＝90°﹣∠EPC，∠FCE＝90°﹣∠PCF，即∠PEC＝∠FCE，∴EF＝CF＝PF，∴CF＝．4．解：（1）直線AF與⊙O相切．理由如下：連接OC，∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA為圓O的半徑，∴AF為圓O的切線；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E為AC中點(diǎn)，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC?CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴陰影部分的面積為S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．5．（1）證明：連接OD，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∵OD是半徑，∴EF與⊙O相切．（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵OD⊥DE，∴∠FDB+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠BAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA；（3）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則AB＝2r，∵△FBD∽△FDA，∴，∵DF＝4，BF＝2，∴，∴r＝3．6．解：（1）CG與⊙O相切，理由如下：如圖1，連接CO，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∵OC是圓的半徑，∴CG與⊙O相切；（2）證明：∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴，即BO?AB＝BC?BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC?BF；（3）由（1）知GC＝GE＝GF，∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，∵∠DCE＝∠AOD＝45°，∴∠EGC＝45°，又∵∠OCG＝90°，∴△OCG為等腰直角三角形，∴GC＝OC，OG＝OC，∴OD+DG＝OC，即OC+2.5＝OC，解得OC＝，∵GF＝GE＝GC＝OC，∴DE＝GE﹣DG＝OC﹣DG＝．7．（1）證明：∵AD⊥BC，AD過(guò)圓心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）證明：連接BE，設(shè)∠ACE＝α，則∠ACB＝3α，∴∠ABC＝∠ACB＝3α，∵∠ABE＝∠ACE＝α，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α，∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，在CG上截取GH＝AG，連接EH，∴EH＝AE＝5，∴∠AHE＝∠EAH＝2α，∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH，∴CH＝EH＝5，∵AC＝AB＝13，∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8，∴AG＝GH＝4，∴CG＝4+5＝9，在Rt△AEG中，EG＝＝＝3，在Rt△CEG中，CE＝＝＝3，∵，∴，∴．8．解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，∵圓M與AC相切，∴MN＝MB，∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，∴AB＝12，設(shè)MN＝MB＝R．∴AM＝12﹣R，∵∠ACB＝90°，MN⊥AC，∴MN∥BC，∴∠B＝∠AMB＝30°，∴，∴，解得R＝24﹣36．（2）①連接DM，由題意可知MB＝MD，∴∠B＝∠MDB＝30°，∴∠AMD＝60°，∵AM＝2MB，∴AM＝2MD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠BAC＝60°，∴△AMD∽△ABC，∴∠ADM＝∠ACB＝90°，∴AD與圓M相切；②∵AB＝12，AM＝2MB，∴BM＝4，AM＝8，∵∠ADM＝90°，∴AD＝＝4，∴S陰影部分＝4．9．（1）證明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切線；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF；（3）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝．10．（1）證明：如圖1，連接OD．∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°．∵AD平分∠BAC，∴．∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥ED，又∵OD為半徑，∴ED為⊙O的切線；（2）證明：由（1）可得△BCD為等腰直角三角形．∵DE∥BC，∴∠E＝∠ABC＝∠ADC，∠BDE＝∠DBC＝∠DCB＝45°．∴△BED∽△FDC，∴，即BD2＝DE?FC，又，∴BC2＝2ED?FC；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∴∠CDG+∠ADC＝90°，∠DGC＝∠DAG＝45°．又∵∠ADB+∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠GDC，∵DB＝DC，∠BAD＝∠DGC＝45°，∴△ABD≌△GCD（AAS），∴AB＝CG．∵∠DAG＝45°，∠ADG＝90°，∴△ADG為等腰直角三角形，∴AB+AC＝AG＝AD＝＝3，∵tan∠ABC＝2，∴設(shè)AB＝x，則AC＝2x．∴3x＝3，∴x＝1．即AB＝1，AC＝2．∴BC＝＝＝．11．（1）證明：∵∠BMC＝∠BAD，又∵∠BMC＝∠BAC+∠ABD，∠BAD＝∠BAC+∠DAM，∴∠ABD＝∠DAC，又∵弧DC＝弧DC，∴∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）證明：連接OA、OB、OD，OD交AC于點(diǎn)N，∵FD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OD是⊙O的半徑，∴OD⊥FD，∴∠FDO＝90°，又∵∠AOD＝2∠ABD，∠DOC＝2∠DBC，∠ABD＝∠CBD，∴∠AOD＝∠COD，又∵AO＝CO，∴ON⊥AC，∴∠ANO＝90°，∴∠ANO＝∠FDO，∴AC∥FD；（3）解：連接OD，交AC于N，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠FAC＝180°﹣∠BAC＝90°，又∵∠ANO＝∠FDN＝90°，∴四邊形ANDF是矩形，∴AF＝DN，∠F＝90°，又∵ON⊥AC，∴AN＝CN，∴設(shè)MN＝a，則AN＝CN＝MN+AM＝a+1，∴CM＝MN+CN＝2a+1，在Rt△MDC中，cos∠ACD＝，在Rt△NDC中，cos∠ACD＝，∴，解得a1＝﹣（舍去），a2＝1，∴MN＝1，CN＝a+1＝2，∴DN＝AF＝＝，又∵M(jìn)N＝AM＝1，∠AMB＝∠NMD，∠BAM＝∠MND＝90°，∴△BAM≌△DNM（AAS），∴BA＝ND＝，∴BF＝AB+AF＝2，∴AN＝FD＝a+1＝2，∴BD＝＝2，∴S△BFD＝，S△DBC＝BD?CD＝＝3，∴S四邊形BFDC＝S△BFD+S△BDC＝2．12．（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴，∴∠ACD＝∠DC，∵，∴∠APC＝∠ADC，∴∠APC＝∠ACD；（2）證明：連接OP，∵PF是⊙O的切線，∴OP⊥PF，即∠EPF+∠OPE＝90°，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠HEB+∠HBE＝90°，∵∠PEF＝∠HEB，∴∠PEF＝∠FPE，∴FE＝PF；（3）解：過(guò)E作EM⊥PF，垂足為M，∵AG⊥PF，∴∠GAP+∠GPA＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠GPA+∠EPM＝90°，∵∠AGP＝∠EMP＝90°，∴△GPA∽△MEP，∴，∵∠PAE＝∠F，∴tan∠PAE＝tan∠F，則，∵，∴，∴MF＝PG＝6，設(shè)PM＝x，∵PE2﹣PM2＝EF2﹣FM2，∴，解得：x1＝﹣10，x2＝4，即PM＝4，∴EM＝＝8，∵，即，∴PA＝3，∵CD⊥AB，AB是直徑，∴∠BHE＝∠APB＝90°，∴∠HEB＝∠BAP，∵∠MPE＝∠HEB，∴tan∠PAB＝，即，∴PB＝6，∴BE＝PB﹣PE＝2，∵sin∠HEB＝，即，∴BH＝4．13．（1）證明：連接OC，如圖1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半徑，∴直線AC是⊙O的切線；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等邊三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于點(diǎn)H，則DH＝，如圖2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，CE⊥AB于點(diǎn)K，如圖3，∵BD為⊙O的直徑，CK＝，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE?tan60°＝＝3，②∵點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴當(dāng)CE最大時(shí)，CF取得最大值，∴當(dāng)CE為直徑，即CE＝2時(shí)，CF最大，最大值為2．14．（1）證明：連接AC，BC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠F＝90°，∴AF∥OC，∴∠FAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OAC，∴CA平分∠FAB．（2）證明：∵CD是直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠CBP＝90°，∵CE⊥OB，∴∠CEB＝∠CBP＝90°，∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴∠PCB＝∠CAB，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠BCE，∴∠PCB＝∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴，∴BC2＝CE?CP；（3）解：，設(shè)CF＝3a，CP＝4a，∵BC2＝CE?CP＝3a?4a＝12a2，∴BC＝2a，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴△COB是等邊三角形，∵AB＝4，∴OB＝BC＝2，∴劣弧BC的長(zhǎng)＝＝π．15．（1）證明：∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，∵BC⊥OD，∴∠D+∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠D，∵∠AEC＝∠ABC，∴∠D＝∠AEC；（2）證明：連接AC，如圖所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2＝EH?EA；（3）解：連接BE，過(guò)O作OG⊥BE于G，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半徑為5，∴AB＝10，∵cos∠BCE＝，∴cos∠BAE＝＝，∴AE＝8，∴BE＝＝＝6，∵，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH?EA，∴EH＝，在Rt△BEH中，BH＝．∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BG＝3，∴OG＝＝＝4，∴BF?OE，∴BF＝，∴HF＝BH﹣BF＝．16．解：（1）∵點(diǎn)A（0，8），∴AO＝8，∵AD是⊙Q的直徑，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD，∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS），∴AE＝AO＝8；（2）∵∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴△CAB∽△CDF，∴，又∵∠ABE＝∠FDE，∠AEB＝∠FED∴△DEF∽△BEA，∴，∴EF＝2AE＝16；（3）設(shè)BO＝x，則AB＝x+4，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：82+x2＝（x+4）2，解得：x＝6，∴OB＝BE＝6，AB＝10，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BFA＝∠AFC，∴△BFA∽△AFC，∴；設(shè)EF＝m，則AF＝8+m，BF＝（8+m），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴62+m2＝[（8+m）]2，解得：m＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝．17．（1）證明：如圖1，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（2）證明：如圖2，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE為半徑，∴BC是⊙O的切線；（3）解：如圖3，連接OF、AF，∵AD為直徑，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD為等腰直角三角形，∵DF＝10，OA＝OD∴AD＝DF＝×10＝20，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝10，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD?cos∠CAE＝20×＝10，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝10+OG，∴10+OG＝GF，∴OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝102+（GF﹣10）2，解得：GF＝或（不符合題意，舍去），∴線段GF的長(zhǎng)為．18．（1）證明：連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵OA為圓的半徑，∴直線PA為⊙O的切線；（2）證明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴，∴OA2＝OD?OP，又∵AC＝2OA，∴AC2＝4OD?OP；（3）解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3，設(shè)AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得，（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合題意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O的直徑，∴AC＝2OA＝10．∴AC的長(zhǎng)為10．19．（1）證明：∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，∴四邊形PECF是矩形，∵CP平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，∴四邊形CEPF是正方形；（2）解：∵sinA＝，AB＝10，∴，∴BC＝8，∴AC＝＝＝6，∴tanA＝，設(shè)PE＝CE＝m，則AE＝6﹣m，∴tanA＝，∴m＝，∴PC＝PE＝；（3）解：∵四邊形CEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴將△APE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如圖所示：則A′、F、B三點(diǎn)共線，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（10﹣x），∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣+5x，∵y＝﹣+5x＝﹣，∴x＝5時(shí)，y有最大值為．20．解：（1）如圖①，AD⊥BC，∵△ABC為等邊三角形，