萬有引力與航天 第四節(jié) 高中物理總復習

1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成

，與它們之間的距離r的

成反比．2．公式：F＝

，其中G＝

N·m2/kg2叫引力常量3．適用條件：公式適用于

間的相互作用．也適用于兩個質量分布均勻的球體間的相互作用，但此時r是

間的距離，一個均勻球體與球外一個質點的萬有引力也適用，其中r為球心到

間的距離．6.67×10－11平方正比質點兩球心質點第4講萬有引力與航天自主學習1．應用萬有引力定律分析天體運動的方法

把天體運動看成是

運動，其所需的向心力由天體間的萬有引力提供．

應用時可根據(jù)實際情況選用適當?shù)墓竭M行分析和計算．勻速圓周三個近似近地衛(wèi)星貼近地球表面運行，可近似認為做勻速圓周運動的半徑等于地球半徑；在地球表面隨地球一起自轉的物體可近似認為其重力等于地球對它的萬有引力；天體的運動軌道可近似看作圓軌道．自主學習2．關于同步衛(wèi)星的五個“一定”(1)軌道平面一定：軌道平面與

共面．(2)周期一定：與地球自轉周期

，即T＝24h.(3)角速度一定：與地球自轉的角速度．(4)高度一定：由

(R＋h)得同步衛(wèi)星離地面的高度

h＝≈3.6×107m.(5)速度一定：v＝＝3.1×103m/s.赤道平面相同相同宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度7.9這是發(fā)射繞地球做圓周運動衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物體繞

運行(環(huán)繞速度)第二宇宙速度11.2這是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物體繞

運行(脫離速度)第三宇宙速度16.7這是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，若v≥16.7km/s，物體將脫離

在宇宙空間運行(逃逸速度)地球太陽太陽系自主學習(1)三種宇宙速度均指的是發(fā)射速度，不能理解為環(huán)繞速度．(2)第一宇宙速度既是最小發(fā)射速度，又是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度．1．萬有引力和重力的關系

萬有引力對物體的作用效果可以等效為兩個力的作用，一個是重力mg，另一個是物體隨地球自轉需要的向心力F向，如圖4－4－1所示，可知：

(1)地面上的物體的重力隨緯度的增大而增大．故重力加速度g從赤道到兩極逐漸增加．

(2)在兩極：重力等于萬有引力，重力加速度最大．核心要點突破(3)在赤道：F萬＝F向＋mg故mg＝

－mRω2(4)由于地球的自轉角速度很小，地球的自轉帶來的影響很小，一般情況下認為：

＝mg，故GM＝gR2，這是萬有引力定律應用中經常用到的“黃金代換”．(5)距地面越高，物體的重力加速度越小，距地面高度為h處的重力加速度為

g′＝，其中R為地球半徑，g為地球表面的重力加速度．2．萬有引力定律的基本應用

(1)基本方法：把天體(或人造衛(wèi)星)的運動看成是勻速圓周運動，其所心力由

提供．

(2)“萬能”連等式

其中gr為距天體中心r處的重力加速度．萬有引力1．兩種加速度——衛(wèi)星的向心加速度和隨地球自轉的向心加速度的比較衛(wèi)星的向心加速度物體隨地球自轉的向心加速度產生萬有引力萬有引力的一個分力(另一分力為重力)方向指向地心垂直指向地軸大小a＝g′＝(地面附近a近似為g)a＝

，其中r為地面上某點到地軸的距離變化隨物體到地心距離r的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小核心要點突破2.兩個半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的比較

衛(wèi)星的軌道半徑是天體的衛(wèi)星繞天體做圓周運動的圓的半徑， 所以r＝R＋h.當衛(wèi)星貼近天體表面運動時，h≈0， 可近似認為軌道半徑等于天體半徑．3．兩種周期——自轉周期和公轉周期的比較

自轉周期是天體繞自身某軸線運動一周的時間，公轉周期是衛(wèi)星繞中心天體做圓周運動一周的時間．一般情況下天體的自轉周期和公轉周期是不等的，如：地球自轉周期為24小時，公轉周期為365天．但也有相等的，如月球，自轉、公轉周期都約為27天，所以地球上看到的都是月球固定的一面，在應用中要注意區(qū)別．1．如何推導出第一宇宙速度？由于在人造衛(wèi)星的發(fā)射過程中，火箭要克服地球的引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，故人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度對應將衛(wèi)星發(fā)射到近地表面運行，此時發(fā)射時的動能全部轉化為繞行的動能而不需要轉化為重力勢能．根據(jù)論述可推導如下：

km/s或mg＝

，v1＝＝7.9km/s.核心要點突破2．兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的比較

(1)不同高度處的人造衛(wèi)星在圓軌道上運行速度即環(huán)繞速度v環(huán)繞＝，其大小隨半徑的增大而減小．但是，由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，增大勢能，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，此時v發(fā)射>v環(huán)繞．

(2)人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度應是衛(wèi)星發(fā)射到近地表面運行，此時發(fā)射動能全部作為繞行的動能而不需要轉化為重力勢能．此速度即為第一宇宙速度，此時v發(fā)射＝v環(huán)繞．1．假如一做圓周運動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增加到原來的2倍，仍做圓周運動，則(

)A．根據(jù)公式v＝ωr可知衛(wèi)星運動的線速度將增大到原來的2倍B．根據(jù)公式F＝可知衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的1/2C．根據(jù)公式F＝

可知地球提供的向心力將減小到原來的1/4D．根據(jù)上述B和C中給出的公式可知，衛(wèi)星運行的線速度將減小到原來的解析：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的向心力由地球對衛(wèi)星的萬有引力提供，有

，得v＝，所以當軌道半徑加倍時，引力變?yōu)樵瓉淼?，速度變?yōu)樵瓉淼谋?，故選項C、D正確．答案：CD互助診斷2．2009年2月11日，俄羅斯的“宇宙-2251”衛(wèi)星和美國的“銥-33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805km處發(fā)生碰撞．這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片，繞地球運動的軌道都是圓，甲的運動速率比乙的大，則下列說法中正確的是(

)A．甲的運動周期一定比乙的長B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大互助診斷解析：根據(jù)公式T＝2π可知：A選項不對；再根據(jù)公式v＝可知：B不對；由于甲離地球較近，故向心加速度較大，所以C不對，D對．答案：D3．我國正在自主研發(fā)“北斗二號”地球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，此系統(tǒng)由中軌道、高軌道和同步衛(wèi)星等組成，可將定位精度提高到“厘米”級，會在交通、氣象、軍事等方面發(fā)揮重要作用．已知三種衛(wèi)星中，中軌道衛(wèi)星離地最近，同步衛(wèi)星離地最遠，則下列說法中正確的是(

)A．中軌道衛(wèi)星的線速度小于高軌道衛(wèi)星的線速度

B．中軌道衛(wèi)星的角速度小于同步衛(wèi)星的角速度

C．若一周期為8h的中軌道衛(wèi)星，某時刻在同步衛(wèi)星的正下方，則經過24h仍在該同步衛(wèi)星的正下方

D．高軌道衛(wèi)星的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度、互助診斷

解析：由v＝知，A選項錯誤；由ω＝知，B選項錯誤；若中軌道衛(wèi)星周期為8h，則24h后，中軌道衛(wèi)星完成3個周期，仍在原來的位置，同步衛(wèi)星的周期是24h，也回到原來的位置，C選項正確；由向心加速度公式

a＝知，D選項錯誤．答案：C4．世界首個用于探測太陽系外類地行星的“開普勒”號太空望遠鏡發(fā)射升空，在銀河僻遠處尋找宇宙生命．假設該望遠鏡沿半徑為R的圓軌道環(huán)繞太陽運行，運行的周期為T，萬有引力恒量為G.僅由這些信息可知(

)A．“開普勒”號太空望遠鏡的發(fā)射速度要大于第三宇宙速度

B．“開普勒”號太空望遠鏡的發(fā)射速度要大于第二宇宙速度

C．太陽的平均密度

D．“開普勒”號太空望遠鏡的質量互助診斷

解析：考查天體運動中相關的計算．要探測太陽系外類地行星，發(fā)射速度要大于第二宇宙速度，這樣才能掙脫地球對它的吸引，A錯B對；題目所給的量不能算出太陽的半徑，也就不能算出太陽的平均密度，C錯；在算式中，“開普勒”號太空望遠鏡的質量被約去，沒有辦法計算，D錯．本題難度中等．答案：B5．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響．

(1)推導第一宇宙速度v1的表達式；

(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行周期T.互助診斷

解析：(1)設衛(wèi)星的質量為m，地球的質量為M在地球表面附近滿足

得GM＝R2g ①衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力

②①式代入②式，得到v1＝.(2)考慮①式，衛(wèi)星受到的萬有引力為F＝

③由牛頓第二定律F＝

④③④式聯(lián)立解得T＝.答案：(1)

(2)

【例1】“嫦娥一號”于2009年3月1日下午4時13分成功撞月，從發(fā)射到撞月歷時433天，標志我國一期探月工程圓滿結束．其中，衛(wèi)星發(fā)射過程先在

近地圓軌道繞行3周，再長途跋涉進入近月圓軌道繞月飛行．若月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的1/6，月球半徑為地球半徑的1/4，根據(jù)以上信息得(

)思維拓展

A．繞月與繞地飛行周期之比為

B．繞月與繞地飛行周期之比為

C．繞月與繞地飛行向心加速度之比為1∶6D．月球與地球質量之比為1∶96

解析：由

可得月球與地球質量之比：，D正確．由于在近地及近月軌道中，“嫦娥一號”運行的半徑分別可近似為地球的半徑與月球的半徑，由

，可得：，A正確．

由可得：，C正確．答案：ACD1．兩條線索

(1)萬有引力提供向心力F引＝F向．

(2)重力近似等于萬有引力提供向心力．2．兩組公式

(gr為軌道所在處重力加速度)3．應用實例

(1)天體質量M、密度ρ的估算測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T，由

，

，R為天體的半徑．當衛(wèi)星沿天體表面繞天體運行時，r＝R，則

.(2)衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑R的關系①由

得

知：r越大，v越小．②由

得

知：r越大，ω越小．③由

得

知：r越大，T越大．1－12008年9月27日“神舟七號”宇航員翟志剛順利完成出艙活動任務，他的第一次太空行走標志著中國航天事業(yè)全新時代的到來(如圖4－4－2所示)．“神舟七號”繞地球做近似勻速圓周運動，其軌道半徑為r，若另有一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑為2r，則可以確定(

)圖4－4－2A．衛(wèi)星與“神舟七號”的加速度大小之比為1∶4B．衛(wèi)星與“神舟七號”的線速度大小之比為1∶C．翟志剛出艙后不再受地球引力D．翟志剛出艙任務之一是取回外掛的實驗樣品，假如不小心實驗樣品脫手，則它做自由落體運動

解析：加速度計算公式為a＝，所以衛(wèi)星和“神舟七號”的加速度之比為1∶4，A選項正確；線速度計算公式為v＝，所以衛(wèi)星和“神舟七號”的線速度之比為1∶，B選項正確；翟志剛出艙后依然受到地球的引力，引力提供其做勻速圓周運動所需的向心力，C選項錯誤；實驗樣品脫手后，依然做勻速圓周運動，相對飛船靜止，D選項錯誤．答案：AB1－2近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經相繼在火星上著陸，正在進行著激動人心的科學探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達式為(k為某個常數(shù))(

)A．ρ＝B．ρ＝kTC．ρ＝kT2D．ρ＝

解析：本題考查天體密度的計算問題．火星的近地衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即

，則火星的密度為

,

令k＝，則ρ＝，故D選項正確．答案：D【例2】火星的質量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為(

)A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g

解析：在星球表面有

，故火星表面的重力加速度

故B正確． 答案：B思維拓展星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法設天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則

若物體距星體表面高度為h，則重力mg′＝

，即g′＝g.2－1英國《新科學家(NewScientist)》雜志評選出了2008年度世界8項科學之最，XTEJ1650-500雙星系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半徑R約45km，質量M和半徑R的關系滿足(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數(shù)量級為(

)A.108m/s2B.1010m/s2C．1012m/s2D.1014m/s2

解析：星球表面的物體滿足mg＝

，即GM＝R2g，由題中所給條件推出GM＝

，則GM＝R2g＝

，代入數(shù)據(jù)解得g＝1012m/s2，C正確．答案：C【例3】

我國成功發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥一號”．設該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質量約為地球質量的，月球的半徑約為地球半徑的，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為(

)A．0.4km/sB．1.8km/sC．11km/sD．36km/s思維拓展

解析：設地球質量、半徑分別為M、R，月球質量、半徑分別為M′、r，則M′＝，r＝R.在星體表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質量為m0，則：，即GM＝gR2；在月球表面，滿足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝

，地球表面的第一宇宙速度v1＝＝7.9km/s，在月球表面，有v′=＝答案：B(1)解決此類題的關鍵：要明確衛(wèi)星的第一宇宙速度等于最大環(huán)繞速度．(2)解決萬有引力定律的應用問題，盡管題目很多，但其基本方法是不變的，即把天體的運動看成圓周運動，萬有引力提供向心力．3－1北京時間2007年11月7號上午8點24分，在北京航天飛行控制中心的控制下，嫦娥一號衛(wèi)星主發(fā)動機點火成功，工作10分鐘后，發(fā)動機正常關機，嫦娥一號進入距月球表面約200公里的圓軌道．設月球半徑約為地球半徑的1/4，月球質量約為地球質量的1/81，不考慮月球自轉的影響，據(jù)此完成下列問題．(地球表面處的重力加速度g取10m/s2)，地球半徑R＝6400km，＝1.4計算結果保留兩位有效數(shù)字)(1)在月球上要發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則最小發(fā)射速度多大？(2)嫦娥一號衛(wèi)星在距月球表面約200公里繞月做勻速圓周運動的速度大小約為多少？

解析：(1)設地球、月球質量分別為M、M1,半徑分別為R、R1；衛(wèi)星質量為m，在地球、月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度分別為v、v1；在地球附近由