萬有引力與航天 第四節(jié) 高中物理總復(fù)習(xí)

1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成

，與它們之間的距離r的

成反比．2．公式：F＝

，其中G＝

N·m2/kg2叫引力常量3．適用條件：公式適用于

間的相互作用．也適用于兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，但此時r是

間的距離，一個均勻球體與球外一個質(zhì)點的萬有引力也適用，其中r為球心到

間的距離．6.67×10－11平方正比質(zhì)點兩球心質(zhì)點第4講萬有引力與航天自主學(xué)習(xí)1．應(yīng)用萬有引力定律分析天體運動的方法

把天體運動看成是

運動，其所需的向心力由天體間的萬有引力提供．

應(yīng)用時可根據(jù)實際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M行分析和計算．勻速圓周三個近似近地衛(wèi)星貼近地球表面運行，可近似認(rèn)為做勻速圓周運動的半徑等于地球半徑；在地球表面隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體可近似認(rèn)為其重力等于地球?qū)λ娜f有引力；天體的運動軌道可近似看作圓軌道．自主學(xué)習(xí)2．關(guān)于同步衛(wèi)星的五個“一定”(1)軌道平面一定：軌道平面與

共面．(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期

，即T＝24h.(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度．(4)高度一定：由

(R＋h)得同步衛(wèi)星離地面的高度

h＝≈3.6×107m.(5)速度一定：v＝＝3.1×103m/s.赤道平面相同相同宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度7.9這是發(fā)射繞地球做圓周運動衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物體繞

運行(環(huán)繞速度)第二宇宙速度11.2這是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物體繞

運行(脫離速度)第三宇宙速度16.7這是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，若v≥16.7km/s，物體將脫離

在宇宙空間運行(逃逸速度)地球太陽太陽系自主學(xué)習(xí)(1)三種宇宙速度均指的是發(fā)射速度，不能理解為環(huán)繞速度．(2)第一宇宙速度既是最小發(fā)射速度，又是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度．1．萬有引力和重力的關(guān)系

萬有引力對物體的作用效果可以等效為兩個力的作用，一個是重力mg，另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力F向，如圖4－4－1所示，可知：

(1)地面上的物體的重力隨緯度的增大而增大．故重力加速度g從赤道到兩極逐漸增加．

(2)在兩極：重力等于萬有引力，重力加速度最大．核心要點突破(3)在赤道：F萬＝F向＋mg故mg＝

－mRω2(4)由于地球的自轉(zhuǎn)角速度很小，地球的自轉(zhuǎn)帶來的影響很小，一般情況下認(rèn)為：

＝mg，故GM＝gR2，這是萬有引力定律應(yīng)用中經(jīng)常用到的“黃金代換”．(5)距地面越高，物體的重力加速度越小，距地面高度為h處的重力加速度為

g′＝，其中R為地球半徑，g為地球表面的重力加速度．2．萬有引力定律的基本應(yīng)用

(1)基本方法：把天體(或人造衛(wèi)星)的運動看成是勻速圓周運動，其所心力由

提供．

(2)“萬能”連等式

其中g(shù)r為距天體中心r處的重力加速度．萬有引力1．兩種加速度——衛(wèi)星的向心加速度和隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度的比較衛(wèi)星的向心加速度物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度產(chǎn)生萬有引力萬有引力的一個分力(另一分力為重力)方向指向地心垂直指向地軸大小a＝g′＝(地面附近a近似為g)a＝

，其中r為地面上某點到地軸的距離變化隨物體到地心距離r的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小核心要點突破2.兩個半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的比較

衛(wèi)星的軌道半徑是天體的衛(wèi)星繞天體做圓周運動的圓的半徑， 所以r＝R＋h.當(dāng)衛(wèi)星貼近天體表面運動時，h≈0， 可近似認(rèn)為軌道半徑等于天體半徑．3．兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的比較

自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線運動一周的時間，公轉(zhuǎn)周期是衛(wèi)星繞中心天體做圓周運動一周的時間．一般情況下天體的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期是不等的，如：地球自轉(zhuǎn)周期為24小時，公轉(zhuǎn)周期為365天．但也有相等的，如月球，自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)周期都約為27天，所以地球上看到的都是月球固定的一面，在應(yīng)用中要注意區(qū)別．1．如何推導(dǎo)出第一宇宙速度？由于在人造衛(wèi)星的發(fā)射過程中，火箭要克服地球的引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，故人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度對應(yīng)將衛(wèi)星發(fā)射到近地表面運行，此時發(fā)射時的動能全部轉(zhuǎn)化為繞行的動能而不需要轉(zhuǎn)化為重力勢能．根據(jù)論述可推導(dǎo)如下：

km/s或mg＝

，v1＝＝7.9km/s.核心要點突破2．兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的比較

(1)不同高度處的人造衛(wèi)星在圓軌道上運行速度即環(huán)繞速度v環(huán)繞＝，其大小隨半徑的增大而減?。?，由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，增大勢能，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，此時v發(fā)射>v環(huán)繞．

(2)人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度應(yīng)是衛(wèi)星發(fā)射到近地表面運行，此時發(fā)射動能全部作為繞行的動能而不需要轉(zhuǎn)化為重力勢能．此速度即為第一宇宙速度，此時v發(fā)射＝v環(huán)繞．1．假如一做圓周運動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增加到原來的2倍，仍做圓周運動，則(

)A．根據(jù)公式v＝ωr可知衛(wèi)星運動的線速度將增大到原來的2倍B．根據(jù)公式F＝可知衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的1/2C．根據(jù)公式F＝

可知地球提供的向心力將減小到原來的1/4D．根據(jù)上述B和C中給出的公式可知，衛(wèi)星運行的線速度將減小到原來的解析：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供，有

，得v＝，所以當(dāng)軌道半徑加倍時，引力變?yōu)樵瓉淼?，速度變?yōu)樵瓉淼谋?，故選項C、D正確．答案：CD互助診斷2．2009年2月11日，俄羅斯的“宇宙-2251”衛(wèi)星和美國的“銥-33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805km處發(fā)生碰撞．這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片，繞地球運動的軌道都是圓，甲的運動速率比乙的大，則下列說法中正確的是(

)A．甲的運動周期一定比乙的長B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大互助診斷解析：根據(jù)公式T＝2π可知：A選項不對；再根據(jù)公式v＝可知：B不對；由于甲離地球較近，故向心加速度較大，所以C不對，D對．答案：D3．我國正在自主研發(fā)“北斗二號”地球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，此系統(tǒng)由中軌道、高軌道和同步衛(wèi)星等組成，可將定位精度提高到“厘米”級，會在交通、氣象、軍事等方面發(fā)揮重要作用．已知三種衛(wèi)星中，中軌道衛(wèi)星離地最近，同步衛(wèi)星離地最遠(yuǎn)，則下列說法中正確的是(

)A．中軌道衛(wèi)星的線速度小于高軌道衛(wèi)星的線速度

B．中軌道衛(wèi)星的角速度小于同步衛(wèi)星的角速度

C．若一周期為8h的中軌道衛(wèi)星，某時刻在同步衛(wèi)星的正下方，則經(jīng)過24h仍在該同步衛(wèi)星的正下方

D．高軌道衛(wèi)星的向心加速度小于同步衛(wèi)星的向心加速度、互助診斷

解析：由v＝知，A選項錯誤；由ω＝知，B選項錯誤；若中軌道衛(wèi)星周期為8h，則24h后，中軌道衛(wèi)星完成3個周期，仍在原來的位置，同步衛(wèi)星的周期是24h，也回到原來的位置，C選項正確；由向心加速度公式

a＝知，D選項錯誤．答案：C4．世界首個用于探測太陽系外類地行星的“開普勒”號太空望遠(yuǎn)鏡發(fā)射升空，在銀河僻遠(yuǎn)處尋找宇宙生命．假設(shè)該望遠(yuǎn)鏡沿半徑為R的圓軌道環(huán)繞太陽運行，運行的周期為T，萬有引力恒量為G.僅由這些信息可知(

)A．“開普勒”號太空望遠(yuǎn)鏡的發(fā)射速度要大于第三宇宙速度

B．“開普勒”號太空望遠(yuǎn)鏡的發(fā)射速度要大于第二宇宙速度

C．太陽的平均密度

D．“開普勒”號太空望遠(yuǎn)鏡的質(zhì)量互助診斷

解析：考查天體運動中相關(guān)的計算．要探測太陽系外類地行星，發(fā)射速度要大于第二宇宙速度，這樣才能掙脫地球?qū)λ奈?，A錯B對；題目所給的量不能算出太陽的半徑，也就不能算出太陽的平均密度，C錯；在算式中，“開普勒”號太空望遠(yuǎn)鏡的質(zhì)量被約去，沒有辦法計算，D錯．本題難度中等．答案：B5．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．

(1)推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達式；

(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行周期T.互助診斷

解析：(1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M在地球表面附近滿足

得GM＝R2g ①衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力

②①式代入②式，得到v1＝.(2)考慮①式，衛(wèi)星受到的萬有引力為F＝

③由牛頓第二定律F＝

④③④式聯(lián)立解得T＝.答案：(1)

(2)

【例1】“嫦娥一號”于2009年3月1日下午4時13分成功撞月，從發(fā)射到撞月歷時433天，標(biāo)志我國一期探月工程圓滿結(jié)束．其中，衛(wèi)星發(fā)射過程先在

近地圓軌道繞行3周，再長途跋涉進入近月圓軌道繞月飛行．若月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的1/6，月球半徑為地球半徑的1/4，根據(jù)以上信息得(

)思維拓展

A．繞月與繞地飛行周期之比為

B．繞月與繞地飛行周期之比為

C．繞月與繞地飛行向心加速度之比為1∶6D．月球與地球質(zhì)量之比為1∶96

解析：由

可得月球與地球質(zhì)量之比：，D正確．由于在近地及近月軌道中，“嫦娥一號”運行的半徑分別可近似為地球的半徑與月球的半徑，由

，可得：，A正確．

由可得：，C正確．答案：ACD1．兩條線索

(1)萬有引力提供向心力F引＝F向．

(2)重力近似等于萬有引力提供向心力．2．兩組公式

(gr為軌道所在處重力加速度)3．應(yīng)用實例

(1)天體質(zhì)量M、密度ρ的估算測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T，由

，

，R為天體的半徑．當(dāng)衛(wèi)星沿天體表面繞天體運行時，r＝R，則

.(2)衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑R的關(guān)系①由

得

知：r越大，v越?。谟?/p>

得

知：r越大，ω越小．③由

得

知：r越大，T越大．1－12008年9月27日“神舟七號”宇航員翟志剛順利完成出艙活動任務(wù)，他的第一次太空行走標(biāo)志著中國航天事業(yè)全新時代的到來(如圖4－4－2所示)．“神舟七號”繞地球做近似勻速圓周運動，其軌道半徑為r，若另有一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑為2r，則可以確定(

)圖4－4－2A．衛(wèi)星與“神舟七號”的加速度大小之比為1∶4B．衛(wèi)星與“神舟七號”的線速度大小之比為1∶C．翟志剛出艙后不再受地球引力D．翟志剛出艙任務(wù)之一是取回外掛的實驗樣品，假如不小心實驗樣品脫手，則它做自由落體運動

解析：加速度計算公式為a＝，所以衛(wèi)星和“神舟七號”的加速度之比為1∶4，A選項正確；線速度計算公式為v＝，所以衛(wèi)星和“神舟七號”的線速度之比為1∶，B選項正確；翟志剛出艙后依然受到地球的引力，引力提供其做勻速圓周運動所需的向心力，C選項錯誤；實驗樣品脫手后，依然做勻速圓周運動，相對飛船靜止，D選項錯誤．答案：AB1－2近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進行著激動人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎(chǔ)．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達式為(k為某個常數(shù))(

)A．ρ＝B．ρ＝kTC．ρ＝kT2D．ρ＝

解析：本題考查天體密度的計算問題．火星的近地衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即

，則火星的密度為

,

令k＝，則ρ＝，故D選項正確．答案：D【例2】火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為(

)A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g

解析：在星球表面有

，故火星表面的重力加速度

故B正確． 答案：B思維拓展星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法設(shè)天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則

若物體距星體表面高度為h，則重力mg′＝

，即g′＝g.2－1英國《新科學(xué)家(NewScientist)》雜志評選出了2008年度世界8項科學(xué)之最，XTEJ1650-500雙星系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半徑R約45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數(shù)量級為(

)A.108m/s2B.1010m/s2C．1012m/s2D.1014m/s2

解析：星球表面的物體滿足mg＝

，即GM＝R2g，由題中所給條件推出GM＝

，則GM＝R2g＝

，代入數(shù)據(jù)解得g＝1012m/s2，C正確．答案：C【例3】

我國成功發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥一號”．設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，月球的半徑約為地球半徑的，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為(

)A．0.4km/sB．1.8km/sC．11km/sD．36km/s思維拓展

解析：設(shè)地球質(zhì)量、半徑分別為M、R，月球質(zhì)量、半徑分別為M′、r，則M′＝，r＝R.在星體表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質(zhì)量為m0，則：，即GM＝gR2；在月球表面，滿足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝

，地球表面的第一宇宙速度v1＝＝7.9km/s，在月球表面，有v′=＝答案：B(1)解決此類題的關(guān)鍵：要明確衛(wèi)星的第一宇宙速度等于最大環(huán)繞速度．(2)解決萬有引力定律的應(yīng)用問題，盡管題目很多，但其基本方法是不變的，即把天體的運動看成圓周運動，萬有引力提供向心力．3－1北京時間2007年11月7號上午8點24分，在北京航天飛行控制中心的控制下，嫦娥一號衛(wèi)星主發(fā)動機點火成功，工作10分鐘后，發(fā)動機正常關(guān)機，嫦娥一號進入距月球表面約200公里的圓軌道．設(shè)月球半徑約為地球半徑的1/4，月球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/81，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，據(jù)此完成下列問題．(地球表面處的重力加速度g取10m/s2)，地球半徑R＝6400km，＝1.4計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(1)在月球上要發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則最小發(fā)射速度多大？(2)嫦娥一號衛(wèi)星在距月球表面約200公里繞月做勻速圓周運動的速度大小約為多少？

解析：(1)設(shè)地球、月球質(zhì)量分別為M、M1,半徑分別為R、R1；衛(wèi)星質(zhì)量為m，在地球、月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度分別為v、v1；在地球附近由