大學(xué)物理剛體的轉(zhuǎn)動

1、剛體的運動平動：剛體在運動中，其上任意兩點的連線始終保持平行。5-1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述轉(zhuǎn)動：對點、對軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動）定軸轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運動，其圓心都在一條固定不動的直線（轉(zhuǎn)軸）上。各質(zhì)元的線量一般不同（因為半徑不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動。轉(zhuǎn)軸剛體在討論問題時可以忽略由于受力而引起的形狀和體積的改變的理想模型。物體內(nèi)任意兩點間的距離都保持不變?？梢詫⑽矬w簡化為剛體的兩種情況：1）物體不變形。2）物體各部分間相對活動范圍很小(此時物體的變形顯得并不重要)。第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動2.定軸轉(zhuǎn)動的角量描述轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運動用角量最方便。既平動又轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動5-2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律(一)、力對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動平面(2)轉(zhuǎn)動平面(1)方向如圖對mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fisini=miait外力矩內(nèi)力矩(二)、轉(zhuǎn)動定律zOrifiFimiii兩邊乘以riait=ri對所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令J＝∑miri2J(或I）為剛體對于定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量用M表示合外力矩則有M＝J只與剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律（第二轉(zhuǎn)動定律）剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積?！艶isini+∑fisini

=(∑miri2)∑Fisini

=（∑miri2）M＝J與地位相當(dāng)m反映質(zhì)點的平動慣性，

J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性(三)、轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀實質(zhì)與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的只有前兩個因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個質(zhì)元的矢徑。力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。J＝∑miri2剛體定軸轉(zhuǎn)動的第一轉(zhuǎn)動定律：如果剛體不受到力矩作用，剛體將保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動狀態(tài)平衡狀態(tài)即若M＝0

則=0，ω=C若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。ROdm2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。3、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx平行軸定理前例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2。可見：推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：J＝JC＋md2。這個結(jié)論稱為平行軸定理。右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L、圓半徑為R）(四)、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例１、一個質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時的速度和此時滑輪的角速度。mg解：例2、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？F0解：飛輪制動時有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr例3、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時，重力矩為：XOdmgdmx重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。mgCdmgXOdmxc5-3剛體轉(zhuǎn)動的動能定理（一）、力矩的功稱為力矩的功。力矩作功是力作功的角量表達式xOPd(二)、轉(zhuǎn)動動能剛體上所有質(zhì)元的動能之和為：(三)、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能變化的原因可以用力矩做功的效果來解釋。上式即為：合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量。定軸轉(zhuǎn)動的動能定理(四)、剛體的重力勢能hhihcxOmCm一個質(zhì)元：整個剛體：一個不太大的剛體的重力勢能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所具有的勢能。對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機械能守恒。例１、一個質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時的速度和此時滑輪的角速度。解：據(jù)機械能守恒定律：上次的例題另解如下：5-4

角動量角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量（動量矩）Om1.用叉積定義角動量vrma角動量方向角動量大小方向用右手螺旋法規(guī)定mOOm質(zhì)量為m的質(zhì)點做圓周運動時對圓心的角動量質(zhì)點的動量p和矢徑r不互相垂直2.直角系中角動量的分量式二、力對定點的力矩質(zhì)點的角動量定理o方向用右手螺旋法規(guī)定1.力對定點的力矩2.直角系中力矩的分量式*微分公式角動量定理3.質(zhì)點的角動量定理*直角系中角動量定理的分量式(質(zhì)點對軸的角動量定理)（*質(zhì)點對軸的角動量守恒定律)沖量矩三、角動量守恒定律----->m開普勒第二定律行星對太陽的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。這個結(jié)論也叫等面積原理。行星受力方向與矢徑在一條直線（中心力），故角動量守恒。若渦旋星系四、剛體的角動量角動量守恒定律(一)、剛體的角動量質(zhì)點對點的角動量為：剛體上的一個質(zhì)元,繞固定軸做圓周運動角動量為：所以剛體繞此軸的角動量為：(二)、剛體的角動量定理轉(zhuǎn)動定律沖量矩（角沖量）表示合外力矩在t0t時間內(nèi)的累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的增量。角動量定理單位：牛頓·米·秒J改變時(三)、角動量守恒定律

M=0的原因，可能F＝0；r=0;F∥r.在定軸轉(zhuǎn)動中還有M≠0，但它與軸平行，即Mz=0,對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時，物體的角動量保持不變。應(yīng)用角動量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體。2、轉(zhuǎn)動慣量可變的物體。例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質(zhì)量為M.解:以f代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：因,由兩式得v0vmM請問:子彈和棒的總動量守恒嗎?為什么?總角動量守恒嗎?若守恒,其方程應(yīng)如何寫?例3、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的