第11章 彎曲應(yīng)力

第11章彎曲應(yīng)力§11-1平面彎曲的概念及實(shí)例彎曲：舉例說明：我們?cè)诩蚁匆路?，總是要拿到?yáng)光下去曬，在這種情況下，我們都是在有陽(yáng)光的地方拉一根鐵絲（或繩子），在沒有鐵絲或繩子的情況下，一般都喜歡在兩個(gè)建筑物之間橫上一根竹桿用來涼衣服。這些繩子或竹桿在沒有掛上衣物之前都保持在水平位置（它的軸線自然也是一條水平直線）。當(dāng)我們把衣服掛上去之后，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)原來為直線的軸線變成了曲線，這種形式的變形我們就稱為彎曲變形。

再如我們書中所舉的火車輪軸的例子，也是一樣的情況。2、定義：當(dāng)通過桿件軸線的縱向平面內(nèi)作用一對(duì)等值、反向的力偶時(shí)，桿件的軸線由原來的直線變?yōu)榍€，這種形式的變形就稱為彎曲。3、梁：以彎曲為主要變形的桿件，我們通常稱之為梁。①軸線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。②有對(duì)稱平面的梁稱為對(duì)稱梁，沒有對(duì)稱平面的梁稱為非對(duì)稱梁工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例5、非對(duì)稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。FqFAFB縱向?qū)ΨQ面4、平面彎曲（對(duì)稱彎曲）一般情況下，工程中受彎桿件的橫截面都至少有一個(gè)通過幾何形心的對(duì)稱軸，因而整個(gè)桿件都有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。如下圖，當(dāng)作用于桿件的外力都在這個(gè)縱向?qū)ΨQ平面上時(shí)，可以想象到，彎曲變形后的軸線也將是位于這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的一條曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲變形，簡(jiǎn)稱為平面彎曲。目錄§11-2彎曲正應(yīng)力純彎曲橫力彎曲FSxFFxMFaFalaF①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；1、梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)縱向?qū)ΨQ面bdacabcdMM②縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；③橫向線與縱向線變形后仍正交。④橫截面高度不變。11-2-1實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察與分析2.平面假設(shè)：梁在變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，并仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞截面內(nèi)的某一軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，這就是彎曲變形的平面假設(shè)。對(duì)上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行判斷和推理，我們就可以得出如下的結(jié)論：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。3.單向受力假設(shè)：平面假設(shè)

梁在純彎曲時(shí)，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對(duì)稱軸的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。中性軸根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)區(qū)，中間必有一層縱向無長(zhǎng)度改變的過渡層，稱為中性層。中性層中性軸中性層與橫截面的交線就是中性軸。中性層中性軸Me

Me

11-2-2正應(yīng)力公式的推導(dǎo)（一）幾何方面表面變形情況縱線彎成弧線，靠近頂面的縱線縮短，而靠近底面的縱線則伸長(zhǎng)；橫線仍為直線，并與變形后的縱線保持正交，只是橫線間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。mabmanbnMe

Me

mmnnaabbr——中性層的曲率半徑CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb（二）物理方面——單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律不計(jì)擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)s<sp，且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有即直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。zOyzdAsdAyx（三）靜力關(guān)系：從式

可知：我們雖然知道了正應(yīng)力的分布規(guī)律，但因曲率半徑

和中性軸的位置尚未確定，所以仍不能求出正應(yīng)力，因此我們還有必要考慮靜力平衡關(guān)系。如圖所示：橫截面上的微內(nèi)力可組成一個(gè)與橫截面垂直的空間平行力系，這樣的平行力系可簡(jiǎn)化成三個(gè)內(nèi)力的分量：N——平行于x軸的軸力N

MZ——對(duì)Z軸的力偶矩

My——對(duì)y軸的力偶矩z(中性軸)ysdAdAyxzOM圖6—6其中：由左半部分平衡可得：中性層通過截面形心。

由于y軸是橫截面的對(duì)稱軸，故自然滿足。

由

(6—3)

其中：

是梁軸線變形后的曲率，EIz是梁的抗彎剛度。上式即是純彎曲時(shí)，梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。（四）討論：1.梁的上下邊緣處，彎曲正應(yīng)力達(dá)到最大值，分別為：

式中：Wz——抗彎截面模量對(duì)矩形和圓形截面的抗彎截面模量。[注：各種型鋼的抗彎截面模量可從型鋼表中查到]矩形：

(6—4)

圓形：

(6—5)

若梁的橫截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，其最大拉壓應(yīng)力并不相等，這時(shí)應(yīng)分別進(jìn)行計(jì)算。2.橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律：

smaxsmaxMsminMsmin3.公式適用范圍：①適用于線彈性范圍——正應(yīng)力小于比例極限sp；②適用于平面彎曲下的純彎曲梁；③橫力彎曲的細(xì)長(zhǎng)梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大，但此時(shí)公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即：目錄中性軸

z

為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)稱為彎曲截面系數(shù)yzzybh中性軸

z

不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)Ozyyt，maxyc，maxⅡ.純彎曲理論的推廣橫力彎曲時(shí)：1、由于切應(yīng)力的存在梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。彈性力學(xué)的分析結(jié)果：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁（l/h>5），純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。Fl4lF§11-3常用截面的慣性矩、平行移軸公式

一、基本概念1.靜矩（或一次矩）OxdAyyxC——微面積對(duì)y軸的靜矩——微面積對(duì)x軸的靜矩——整個(gè)平面圖形對(duì)y軸的靜矩——整個(gè)平面圖形對(duì)x軸的靜矩2.形心坐標(biāo)公式常用單位：m3或mm3。數(shù)值：可為正、負(fù)或0。3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系推論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。1.組合截面的靜矩根據(jù)靜矩的定義：整個(gè)平面圖形對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：二、討論：2.組合截面的形心坐標(biāo)公式組合截面靜矩組合截面面積組合截面的形心坐標(biāo)公式為：11-3-1常用截面的慣性矩1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）所以O(shè)xyyxrdA例11-1：試計(jì)算矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條則dA=bdy同理yhCxdyyb簡(jiǎn)單截面的慣性矩計(jì)算⑴矩形截面⑵圓形截面zybhyzd§11-3-2平行移軸公式1.平行移軸公式推導(dǎo)左圖是一面積為A的任意形狀的平面，c為其形心，xcyc為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為xy,形心c在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：注：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。例11—2：求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。（1）求形心坐標(biāo)解：xyb(y)ycCdxcy（2）求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：

例11—3：求圖示平面圖形對(duì)y軸的慣性矩Iy解：例11-4圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作彎矩圖如上，2、查型鋼表得56號(hào)工字鋼3、求正應(yīng)力為

12.521166560za或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的

12.521166560za§11-4梁的切應(yīng)力11-4-1矩形梁橫截面上的切應(yīng)力推導(dǎo)思路：近似方法不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計(jì)算公式的分析過程分離體的平衡橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)橫截面上彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式1、兩點(diǎn)假設(shè):

（1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切應(yīng)力互等定理一、矩形截面梁mmnnq(x)F1

F2

xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)mnnmm'n'yzyBAA1sdAy1橫截面上縱向力不平衡意味著縱截面上有水平剪力，即有水平切應(yīng)力分布。面積AA1mm'對(duì)中性軸z的靜矩而橫截面上縱向力的大小為mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx縱截面上水平剪力值為要確定與之對(duì)應(yīng)的水平切應(yīng)力t‘還需要補(bǔ)充條件。mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx窄高矩形截面梁橫截面上彎曲切應(yīng)力分布的假設(shè)：(1)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；(2)橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。根據(jù)切應(yīng)力互等定理推得：(1)t'沿截面寬度方向均勻分布；(2)在dx微段長(zhǎng)度內(nèi)可以認(rèn)為t'

沒有變化。m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx根據(jù)前面的分析mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx即又由兩式得其中：FS→橫截面上的剪力；Iz

→整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩；b

→與剪力垂直的截面尺寸，此時(shí)是矩形的寬度；矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式zyyy1

→橫截面上求切應(yīng)力的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩矩形橫截面上彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律zyyy1

t沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2)同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0)；(3)上下邊緣處（y=±h/2)，切應(yīng)力為零。tmaxzyOtmax11-4-2工字形截面梁1、腹板上的切應(yīng)力xydhzOdbtydAxzyOsA*dxtt'腹板與翼緣交界處中性軸處zyOtmaxtmintmax2、翼緣上的切應(yīng)力a、因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣處平行于y軸的切應(yīng)力為零；b、計(jì)算表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)的剪力(1)平行于y軸的切應(yīng)力可見翼緣上平行于y軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。xydhzOdbty(2)垂直于y軸的切應(yīng)力dht1t1'xydhzOdbth即翼緣上垂直于y軸的切應(yīng)力隨按線性規(guī)律變化。且通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max11-5-1梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件由于smax處t=0或極小，并且不計(jì)由橫向力引起的擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可按單向應(yīng)力狀態(tài)來建立：材料的許用彎曲正應(yīng)力中性軸為橫截面對(duì)稱軸的等直梁§11-5梁的強(qiáng)度條件拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為強(qiáng)度條件：注：有時(shí)

并不發(fā)生在彎矩最大的截面上，而根截面的形狀有關(guān)。拉壓強(qiáng)度相等材料：拉壓強(qiáng)度不等材料：強(qiáng)度條件的作用：a、強(qiáng)度校核:b、截面設(shè)計(jì):c、確定梁的許可荷載:例11-5圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa。試選擇工字鋼的號(hào)碼。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力為作彎矩圖如上。281375單位：kN·m2、根據(jù)強(qiáng)度條件確定截面尺寸與要求的Wz相差不到1%，可以選用。查型鋼表得56b號(hào)工字鋼的Wz比較接近要求值例11-6跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強(qiáng)度。解：根據(jù)截面最為合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即得截面對(duì)中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280d梁上的最大彎矩于是最大壓應(yīng)力為即梁滿足強(qiáng)度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例11-7圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。

解：1、梁的支反力為zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

據(jù)此作出梁的彎矩圖如下發(fā)生在截面C發(fā)生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、計(jì)算最大拉、壓正應(yīng)力可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由B截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度條件則B、C截面都要考慮。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力考慮截面B：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考慮截面C：因此梁的強(qiáng)度由截面B上的最大拉應(yīng)力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/411-5-2梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般tmax發(fā)生在FS,max所在截面的中性軸處，該位置s=0。不計(jì)擠壓，則tmax所在點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力對(duì)等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上smax所在點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁上任意點(diǎn)G和H→平面應(yīng)力狀態(tài)，若這種應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)需校核強(qiáng)度時(shí)不能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行，而必須考慮兩者的共同作用（強(qiáng)度理論）。Csmax

DsmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GtsHts橫力彎曲梁的強(qiáng)度條件：強(qiáng)度足夠確定截面尺寸驗(yàn)證設(shè)計(jì)截面時(shí)Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2例11-8跨度為6m的簡(jiǎn)支鋼梁，是由32a號(hào)工字鋼在其中間區(qū)段焊上兩塊100103000mm的鋼板制成。材料均為Q235鋼，其[]=170MPa，[]=100MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。解1、計(jì)算反力得F1F2

50kN50kN50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010FS(kN)xM(kN·mm)x75252575112.5150112.5F1F2

50kN50kN50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010最大彎矩為F1F2

50k