國培計劃數(shù)學(xué)的魅力

國培計劃班2010年11月16日數(shù)學(xué)的魅力提綱一、數(shù)學(xué)是什么二、數(shù)學(xué)的特點三、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系四、數(shù)學(xué)問題五、數(shù)學(xué)中的美六、數(shù)學(xué)語言

一個人不識字可以生活，但若不識數(shù)就很難生活了！一個國家科學(xué)的進步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量！

----拉奧（A.N.Rao）著名科學(xué)家、X射線的發(fā)現(xiàn)者倫琴在被問到科學(xué)工作者必須具備什么素養(yǎng)時，他回答說：“第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué)?！睌?shù)學(xué)是思維的體操！——蘇聯(lián)科學(xué)家加里寧數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)！恩格斯：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。一、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”或“方法”，也是一種思維模式，即“數(shù)學(xué)方式的理性思維”.在提高一個人的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)新能力方面，數(shù)學(xué)訓(xùn)練的作用，是其他訓(xùn)練難以代替的。一、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，即“數(shù)學(xué)文化”。一、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)不僅是一些知識，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。數(shù)學(xué)素質(zhì)：通俗說法，把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排除或忘掉后，剩下的東西。

例如：從數(shù)學(xué)的角度看問題的出發(fā)點；有條理的思維，嚴(yán)密的思考、求證；簡潔、明晰、準(zhǔn)確地表達；在解決問題、總結(jié)工作時，邏輯推理的意識和能力；對所從事的工作，合理的量化和簡化，周到到地運籌帷幄等。一、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)的哲學(xué)說：數(shù)學(xué)是一種哲學(xué)。亞里士多德:“新的思想家把數(shù)學(xué)與哲學(xué)看作是相同的”。牛頓：“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出來”。一、數(shù)學(xué)是什么“科學(xué)說”：數(shù)學(xué)是精密的科學(xué)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”?！八囆g(shù)說”：“數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)”。“工具說”：“數(shù)學(xué)是其他所有知識工具的源泉”。一、數(shù)學(xué)是什么三個特點：

1.抽象性

2.精確性

3.應(yīng)用的廣泛性二、數(shù)學(xué)的特點1、抽象性第一、數(shù)學(xué)的研究對象本身就是抽象的第二、數(shù)學(xué)抽象的重點在于事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式第三、數(shù)學(xué)的抽象程度大大超過了其他學(xué)科第四、核心數(shù)學(xué)主要處理抽象概念以及概念之間的抽象關(guān)系二、數(shù)學(xué)的特點2、精確性

數(shù)學(xué)的精確性，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)格和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定兩方面。數(shù)學(xué)科學(xué)是依靠邏輯推理展開的，而邏輯推理的嚴(yán)格性是大家公認(rèn)的。所以，只要數(shù)學(xué)推理的前提是正確的，推理的過程又沒有錯誤，那么得到的數(shù)學(xué)結(jié)論一定是確定無疑的。并不是說其他學(xué)科缺乏精確性，而是說，數(shù)學(xué)的這種精確性，是與其他學(xué)科不同的，是其他學(xué)科難以企及的。二、數(shù)學(xué)的特點3、應(yīng)用的廣泛性數(shù)學(xué)高度的抽象性，帶來了應(yīng)用的極其廣泛性。事物越抽象，其外延就越廣泛。華羅庚（1910-1985）先生當(dāng)年說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在。凡是出現(xiàn)“量”的關(guān)系的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量的關(guān)系，量的變化，量的變化關(guān)系，量的關(guān)系的變化等現(xiàn)象都少不了數(shù)學(xué)。二、數(shù)學(xué)的特點二、數(shù)學(xué)的特點第一個例子:哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)

英國天文學(xué)家哈雷（EdmondHalley，1656-1742）通過計算發(fā)現(xiàn)1682年、1607年、1531年出現(xiàn)的彗星有類似的軌道。他判斷這三顆彗星其實是同一顆彗星，彗星的軌道可能不是拋物線而是很扁的橢圓。這樣彗星就會返回太陽系。哈雷預(yù)言上述彗星將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年這顆彗星果然出現(xiàn)了。二、數(shù)學(xué)的特點第二個例子:海王星的發(fā)現(xiàn)

如果把冥王星排除在外的話,海王星是太陽系最遠的行星了。它也是1846年在數(shù)學(xué)計算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家觀察到，1781年發(fā)現(xiàn)的第七個行星--天王星的運動軌道,總是同根據(jù)萬有引力定律計算出來的有一定的偏離,當(dāng)時有人推測,在天王星軌道外還有一個未發(fā)現(xiàn)的行星,是它對天王星的引力引起的偏離.英國劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕天文愛好者勒維列根據(jù)天王星觀測資料,各自獨立地用萬有引力定律計算出來了這顆新行星的軌道,并于1846年9月23日晚,德國的加勒在勒維列的預(yù)演位置發(fā)現(xiàn)了這顆行星,后來命名為海王星。二、數(shù)學(xué)的特點第三個例子:電磁波的發(fā)現(xiàn)電磁波在現(xiàn)代的生產(chǎn)、生活中無處不在，是人們熟知的詞匯，但很少有人知道電磁波的發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上依賴于數(shù)學(xué)。英國物理學(xué)家麥克斯韋（JamesClerkMaxwell,1831-1879）1864年概括了從實驗中總結(jié)的電磁現(xiàn)象規(guī)律，用數(shù)學(xué)方程組的形式表述出來，由此推導(dǎo)出可能存在現(xiàn)在稱為“電磁波”的物質(zhì)，并且應(yīng)該以光速傳播。據(jù)此，他提出了光的電磁理論，把光、電、磁統(tǒng)一起來。24年以后，德國物理學(xué)家赫茲（HeinrichRudolfHertz,1857-1894）用實驗證實了電磁波的存在性，不久，意大利的馬可尼和俄國的波波夫又在此基礎(chǔ)上各自獨立的發(fā)明了無線電報。從此電磁波走進了千家萬戶。中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部有一個“今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”課題的結(jié)題報告，其中說：“數(shù)學(xué)的貢獻在于對整個科學(xué)技術(shù)（尤其是高技術(shù)）水平的推進和提高，對科技人才的培養(yǎng)和滋潤，對經(jīng)濟建設(shè)的繁榮，對全體人民的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的哺育。這四方面的作用是極為巨大的，也是其他學(xué)科不能比擬的。”二、數(shù)學(xué)的特點數(shù)學(xué)的許多高深理論與方法正廣泛深入的滲透到自然科學(xué)的各個領(lǐng)域中。高科技往往在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。事實上，從醫(yī)學(xué)上的CT技術(shù)到印刷排版的自動化，從飛行器的模擬設(shè)計到指紋的識別，從石油勘探的數(shù)據(jù)處理到信息安全技術(shù)等等，在形形色色的技術(shù)背后，數(shù)學(xué)都扮演著十分重要的角色，常常成為解決問題的關(guān)鍵。美國國家自然科學(xué)基金委員會最近指出：當(dāng)代自然科學(xué)的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的趨勢。美國國家研究委員會在一份報告中把數(shù)學(xué)與能源、材料等并列為必須優(yōu)先發(fā)展的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。二、數(shù)學(xué)的特點數(shù)學(xué)已廣泛地應(yīng)用到社會科學(xué)的各個領(lǐng)域。如用數(shù)學(xué)模型研究宏觀經(jīng)濟，用數(shù)學(xué)手段進行社會和市場調(diào)查與預(yù)測，用數(shù)學(xué)理論進行風(fēng)險分析和指導(dǎo)金融投資等等，在許多國家已被廣泛采用，在我國也開始受到重視。在經(jīng)濟和金融的理論研究上，數(shù)學(xué)的地位更加特殊。在諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的獲得者中，數(shù)學(xué)家或有研究數(shù)學(xué)經(jīng)歷的經(jīng)濟學(xué)家占一半以上?？傊?，數(shù)學(xué)在當(dāng)代科學(xué)、文化、社會、經(jīng)濟和國防等諸多領(lǐng)域中的特殊地位是不可忽視的。二、數(shù)學(xué)的特點

數(shù)學(xué)與幾乎所有的領(lǐng)域都有關(guān)系，這一點現(xiàn)在已經(jīng)公認(rèn)。數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物、天文等領(lǐng)域的聯(lián)系，大家都比較了解。實際上，數(shù)學(xué)與教育，數(shù)學(xué)與文學(xué)，數(shù)學(xué)與史學(xué)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟，數(shù)學(xué)與社會學(xué)等學(xué)科都有聯(lián)系。三、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系下面我僅說說數(shù)學(xué)與文學(xué)的聯(lián)系。

用數(shù)學(xué)方法對作品進行寫作風(fēng)格分析、詞匯相關(guān)程度分析和句型頻譜分析例:《紅樓夢》前八十回與后四十回的作者是否相同？1980年6月，在美國威斯康辛大學(xué)召開的國際首屆《紅樓夢》研討會上，來自威斯康辛大學(xué)的華裔學(xué)者陳炳藻先生宣讀了一篇《從詞匯上的統(tǒng)計論〈紅樓夢〉的作者問題》的博士論文，引起了國際紅學(xué)界的關(guān)注和興趣。

三、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系1986年，陳炳藻公開發(fā)表了《電腦在文學(xué)上的應(yīng)用：〈紅樓夢〉與〈兒女英雄傳〉兩書作者》的專著，利用計算機對《紅樓夢》前八十回和后四十回的用字進行了測定，并從數(shù)理統(tǒng)計的觀點出發(fā)，探討《紅樓夢》前后用字的相關(guān)度。他將《紅樓夢》的一百二十回分為三組，每組四十回，并將《兒女英雄傳》作為第四組進行比較，從每組中任意取出八萬字，分別挑出名詞、動詞、形容詞、副詞、虛詞這五組詞匯，運用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，通過計算機程序?qū)@些詞進行編排、統(tǒng)計、比較、處理，進而找出各組相關(guān)程度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)《紅樓夢》前八十回與后四十回的詞匯相關(guān)程度達到78.57%，而《紅樓夢》與《兒女英雄傳》的詞匯相關(guān)程度是32.14%。由此他推斷《紅樓夢》的作者為一個人的結(jié)論。三、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系這個結(jié)論是否被紅學(xué)界所接受，還存在一定的爭論。但這種方法卻給許多人留下深刻的印象。前蘇聯(lián)的著名長篇小說《靜靜的頓河》，也曾有過關(guān)于作者的爭論，有人認(rèn)為該書是肖洛霍夫(M.A.Sholokhov,1905-1984)剽竊了一名無名作者的作品后加工而成。后來，用上述方法類似的數(shù)學(xué)方法，還了肖洛霍夫的清白。三、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系能展示數(shù)學(xué)魅力的有趣數(shù)學(xué)問題很多，這里我舉幾個例子。（1）漁網(wǎng)的幾何規(guī)律你是否知道，用數(shù)學(xué)方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點數(shù)（V），網(wǎng)眼數(shù)（F），邊數(shù)（E）都必須符合下面的公式：

V+F-E=1四、數(shù)學(xué)問題

網(wǎng)，可以是多種多樣的，紛繁復(fù)雜的，但是，他們?nèi)紳M足同樣的規(guī)律，這里，當(dāng)然有其內(nèi)在的本質(zhì)。而用數(shù)學(xué)方法，不但可以表達這種本質(zhì)，還可以證明這種本質(zhì)。你看，數(shù)學(xué)是不是具有某種魅力？

四、數(shù)學(xué)問題事實上，這種規(guī)律在三維的情形，就是多面體的歐拉公式：V+F-E=2這里，V

表示凸多面體的頂點數(shù)，F(xiàn)表示凸多面體的面數(shù)，E表示凸多面體的棱數(shù)。你可能知道多面體的這個歐拉公式，它對任何凸多面體都普遍適用，而上述關(guān)于繩索織網(wǎng)的公式，是歐拉公式在二維時的情形。四、數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)就是有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來復(fù)雜的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出規(guī)律!四、數(shù)學(xué)問題（2）任何一個省會城市至少有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多標(biāo)題中給出的問題在數(shù)學(xué)上是一個存在性問題。對于存在性問題，通常有兩類證明方法：一類是構(gòu)造性證明方法，即把需要證明存在的事物構(gòu)造出來，便完成了證明；一類是純存在性證明，并不具體給出存在的事物，而是完全依靠邏輯的力量，證明事物的存在。上述命題如果采用構(gòu)造性證明的方法，就是一個一個地去數(shù)省會城市中所有人的頭發(fā)根數(shù)，一定可以找到兩個具體的人，他們的頭發(fā)根數(shù)一樣多，便完成了證明。四、數(shù)學(xué)問題這個命題如果采用純存在性證明的方法，則完全是另外一種途徑。我們先形象的介紹一個“抽屜原理”：四個蘋果放在三個抽屜里，則至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果；n個蘋果放在少于n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果?，F(xiàn)在我們來證明這個命題，體會一下抽屜原理的用法。首先介紹一個事實：任何一個人的頭發(fā)根數(shù)都不會多于20萬根。省會城市中的人數(shù)則遠遠大于20萬，例如50萬人?，F(xiàn)在把頭發(fā)根數(shù)為1至頭發(fā)根數(shù)為20萬分別當(dāng)作20萬個抽屜，把50萬人放到20萬個抽屜里，根據(jù)“抽屜原理”，則至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的人。而同一個抽屜里的人，是頭發(fā)根數(shù)一樣多的人。于是便證明了“任何一個省會城市至少存在兩個頭發(fā)根數(shù)一樣多的人”。這就是純存在性的證明方法，這就是數(shù)學(xué)推理的力量！四、數(shù)學(xué)問題

（3）四色問題四色問題也稱為“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國大學(xué)生古色利（FrancisGuthrie）提出。他在為一張英國地圖著色時發(fā)現(xiàn)，為了使任意兩個具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但他證明不了這個猜想。四、數(shù)學(xué)問題

100多年來許多數(shù)學(xué)家對四色問題進行了大量研究，獲得了一系列成果。但都沒有最終證明。直到1972年，美國依利諾大學(xué)的哈肯（W.Haken）和阿佩爾（K.Appel）在前人的基礎(chǔ)上，開始用計算機進行證明。到1976年6月，他們終于獲得成功。他們使用3臺IBM360型超高速電子計算機，耗時1200小時，終于證明了四色猜想。四、數(shù)學(xué)問題

（4）素數(shù)的奧秘“每一個足夠大的偶數(shù)都是兩個素數(shù)的和（簡稱1+1）（“哥德巴赫猜想”）”，“每一個足夠大的奇數(shù)都是三個素數(shù)的和（簡稱1+1+1）”。四、數(shù)學(xué)問題

（1）黃金分割

定義：把任意一線段分割成兩段，使大段/全段=小段/大段(=0.618)，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。設(shè)黃金比為x,不妨設(shè)全段長為1，則大段長為x,小段長為1-x，固有：x/1=(1-x)/x,即：。解得：

x=0.618.五、數(shù)學(xué)中的美11-xx

黃金分割之所以稱為“黃金分割”，“黃金比”之所以稱為黃金比，是比喻這一“分割”和這種“比”在視覺上給人極大的愉悅感，非常難得，如黃金一樣珍貴！“黃金比”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“和諧”。

五、數(shù)學(xué)中的美

（a）人體各部分的

人體是美的，是因為人體的許多部分存在黃金分割、黃金比。肚臍分割頭和腳；印堂穴分割口和頭頂；肘關(guān)節(jié)分割肩和中指，膝蓋分割髖關(guān)節(jié)和足尖等都是黃金分割。五、數(shù)學(xué)中的美

(b)著名建筑物各部分的比如埃及胡夫金字塔塔高（137m）與底邊長（227m）之比為0.629；古希臘巴特農(nóng)神殿，其大理石石柱廊的高度占整個神殿高度的0.618,都是黃金比值的近似值。五、數(shù)學(xué)中的美（c）美觀矩形的寬長比以黃金比為寬長比的矩形稱為黃金矩形，給人和諧、愉悅的美感，常常在建筑、家具中采用。如多數(shù)國家的國旗，均采用接近黃金矩形的矩形。五、數(shù)學(xué)中的美（d）風(fēng)景照片中地平線的位置、人在照片中的位置風(fēng)景照片中的地平線的位置，并不是安排在中間最好，往往安排在黃金分割的位置比較美觀。當(dāng)然有上下兩種安排，都可以構(gòu)成黃金分割。五、數(shù)學(xué)中的美（e）舞臺報幕者的最佳站位在整個舞臺寬度的0.618處較美，小說、戲劇的高潮出現(xiàn)在整個作品的0.618處較好。五、數(shù)學(xué)中的美（2）兔子問題與斐波拉契數(shù)列（a）兔子問題：意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契（L.Fibonacci,1170-1250）在《算盤書》（1202年）中曾經(jīng)收錄一個有趣的民間數(shù)學(xué)問題---兔子問題，敘述如下：設(shè)初生的兔子一個月以后成熟，而一對成熟的兔子每月會生一對兔子。假設(shè)每次生的兔子都是一雌一雄，且所有的兔子都不病不死。那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對成熟兔子呢？五、數(shù)學(xué)中的美五、數(shù)學(xué)中的美

“斐波拉契數(shù)列”也可以定義為：若一個數(shù)列，前兩項都等于1，從第三項起，每一項都是其前兩項的和，則稱該數(shù)列為“斐波拉契數(shù)列”。1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144...五、數(shù)學(xué)中的美自然界中的斐波拉契數(shù)：大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰好是斐波拉契數(shù)，如蘭花、茉莉花、百合花有3個花瓣。五、數(shù)學(xué)中的美蘭花茉莉花百合花毛莨屬植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣等。五、數(shù)學(xué)中的美毛莨翠雀萬壽菊

樹杈的數(shù)目是斐波拉契數(shù)；向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)，松果種子的排列、菜花表面排列的螺線數(shù)等，也都是斐波拉契數(shù)。五、數(shù)學(xué)中的美向日葵松果菜花

（3）圓，三角形內(nèi)角之和

圓是非常美麗的圖形，圓又非常有用，其魅力來自多方面。圓上任何一點到圓心的距離都是定長。這使得車輪能不停的平穩(wěn)轉(zhuǎn)動，使坐在車上的人沒有上下起伏的感覺。另外，無論大圓還是小圓，圓的周長與直徑之比總是一個常數(shù)。而求出這個常數(shù)的近似值，竟成為歷史上數(shù)學(xué)家投入巨大精力解決的難題，并且該近似值的精確度的高低，竟成為一個地域數(shù)學(xué)發(fā)展程度的標(biāo)志，這個常數(shù)后來被稱為圓周率，并記作π。五、數(shù)學(xué)中的美三角形內(nèi)角之和三角形三內(nèi)角之和等于180度；n邊形n個“內(nèi)”角之和等于180乘以（n-2）度；n邊形n個“外”角之和等于360度。

五、數(shù)學(xué)中的美客觀事物都是運動和變化的。在這種運動和變化中，事物的大多性質(zhì)也會隨之變化；但有些性質(zhì)卻相對穩(wěn)定，并不改變，這就是“變中有不變”。這種變中有不變的性質(zhì)，在事物變化時具有相對穩(wěn)定性，說明他反映了事物的某種本質(zhì)，值得我們加以專門的研究。

數(shù)學(xué)家就要有這樣的眼光，善于抓住事物中的“變中有不變”的性質(zhì)，善于抓住事物的本質(zhì)!五、數(shù)學(xué)中的美

在數(shù)學(xué)上，“變中有不變”的性質(zhì)在許多場合出現(xiàn)：如不管直角三角形怎么變，但“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”（及勾股定理）的性質(zhì)不變；線性代數(shù)中向量組中可能有許多向量，但是可以在其中找到“極大線性無關(guān)向量組”，他們可以把向量組中所有其他向量線性表示出來。極大