結構力學-第8章位移法

第八章位移法§8-2等截面直桿的轉角位移方程§8-3位移法的基本未知量和基本結構§8-4位移法的典型方程及計算步驟§8-5直接由平衡條件建立位移法基本方程§8-6對稱性的利用§8-7有側移的斜柱剛架§8-8溫度變化時的計算§8-1概述§8-1概述位移法：先確定某些位移，再推求內力。圖a所示剛架在荷載F作用下發(fā)生虛線所示變形。略去軸向變形，可將結構分解如圖b、c。思路：將結點1的角位移Z1

作為基本未知量，求出Z1，進而求出各桿內力。需解決的問題：（1）用力法算出單跨超靜定梁在各種外因作用下的內力

（2）確定哪些位移作為基本未知量（3）如何求出這些位移§8-2等截面直桿的轉角位移方程圖a所示兩端固定的等截面梁，兩端支座發(fā)生了位移。取基本結構如圖b。

X3對梁的彎矩無影響，可不考慮，只需求解X1、X2。符號規(guī)定：桿端彎矩以對桿端順時針方向為正；均以順時針方向為正；

△AB以使整個桿件順時針方向轉動為正。力法典型方程為作X1、X2分別等于1時的彎矩圖如圖c、d。由圖e可得βAB—弦轉角，順時針方向為正。解典型方程得§8-2等截面直桿的轉角位移方程令—桿件的線剛度MAB=X1，MBA=X2，可得固端彎矩：單跨梁在荷載作用及溫度變化時產生的桿端彎矩。當單跨梁除支座位移外，還有荷載作用及溫度變化時，其桿端彎矩為轉角位移方程§8-2等截面直桿的轉角位移方程對于一端固定另一端鉸支的等截面梁，設B端為鉸支，則有不是獨立的桿端彎矩桿端剪力§8-2等截面直桿的轉角位移方程§8-3位移法的基本未知量和基本結構基本未知量：結點的角位移、線位移。1、結點的角位移：每一個剛結點有一個獨立的角位移未知量。圖a所示剛架獨立結點角位移數目為2。2、結點的線位移：略去受彎桿件的軸向變形，設彎矩變形是微小的。如圖a，4、5、6點不動，三根柱子長度不變，故1、2、3點均無豎向位移。兩根橫梁長度不變。因而，1、2、3點有相同的水平位移。確定獨立的結點線位移另種一方法把原結構的所有剛結點和固定支座均改為鉸結點→鉸結體系，如圖b。此鉸結體系為幾何不變，原結構無結點線位移。此鉸結體系為幾何可變或瞬變，添加最少的支座鏈桿保證其幾何不變，添加的鏈桿數目既是原結構獨立的結點線位移數目。如圖b，加一個水平支座鏈桿，體系成為幾何不變的?！?-3位移法的基本未知量和基本結構§8-3位移法的基本未知量和基本結構附加剛臂：阻止剛結點的轉動，但不能阻止結點的移動。附加支座鏈桿：阻止結點的線位移。圖a所示剛架，在剛結點1、3處分別加上剛臂，在結點3處加上一根水平支座鏈桿，則原結構的每根桿件都成為單跨超靜定梁。這個單跨超靜定梁的組合體稱為位移法的基本結構。如圖c。§8-3位移法的基本未知量和基本結構圖a所示剛架，結點角位移數目=4（注意結點2）結點線位移數目=2加上4個剛臂，兩根支座鏈桿，可得基本結構如圖b?！?-3位移法的基本未知量和基本結構圖a所示剛架，結點線位移數目=2圖b所示剛架，結點角位移數目=2

結點線位移數目=2§8-4位移法的典型方程及計算步驟圖a所示連續(xù)梁（EI為常數），只有一個獨立結點角位移Z1。在結點B加一附加剛臂得到基本結構。令基本結構發(fā)生與原結構相同的角位移Z1，二者的位移完全一致了。附加剛臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷載引起的）原結構沒有附加剛臂，所以：R1=R11+R1P=0基本結構在荷載和Z1共同作用下的體系稱為基本體系，如圖b?！?-4位移法的典型方程及計算步驟設r11表示Z1=1引起的附加剛臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1?？傻梦灰品ɑ痉匠滔禂底杂身椬骷昂奢d作用下的彎矩圖，如圖a、b。由a圖，取結點B為隔離體，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i由b圖，取結點B為隔離體，由∑MB=0，可得R1P=-24kN·m§8-4位移法的典型方程及計算步驟將r11和R1P代入方程求出結構的最后彎矩圖由疊加法繪制§8-4位移法的典型方程及計算步驟a圖所示剛架，13桿和24桿有側移產生，稱為有側移結構。基本體系如圖b。由圖c、d、e可得§8-4位移法的典型方程及計算步驟r11、r12分別表示Z1=1、Z2=1引起的剛臂上的反力矩。r21、r22分別表示Z1=1、Z2=1引起的鏈桿上的反力。可得位移法典型方程物理意義基本結構在荷載等外因和各結點位移的共同作用下，每一個附加聯系上的附加反力矩和附加反力都應等于零。原結構的靜力平衡條件§8-4位移法的典型方程及計算步驟為求系數和自由項，繪彎矩圖如圖a、b、c?！?-4位移法的典型方程及計算步驟將系數和自由項代入典型方程并求解，可得結構的最后彎矩圖可由疊加法繪制：內力圖校核同力法，略?！?-4位移法的典型方程及計算步驟位移法計算步驟（1）確定基本未知量：獨立的結點角位移和線位移，加入附加聯系得到基本結構。（2）建立位移法的典型方程：各附加聯系上的反力矩或反力均應等于零。（3）繪彎矩圖：基本結構在各單位結點位移和外因作用下，由平衡條件求系數和自由項。（4）解典型方程：求出作為基本未知量的各結點位移。（5）繪制最后彎矩圖：用疊加法?！?-4位移法的典型方程及計算步驟對于具有n個獨立結點位移的結構，可建立n個方程如下主系數：主斜線上的系數rii，或稱為主反力，恒為正值。典型方程副系數：其他系數rij，或稱為副反力，可為正、負或零。rij=rji。每個系數都是單位位移引起的反力或反力矩→結構的剛度系數；位移法典型方程→結構的剛度方程；位移法→剛度法。§8-4位移法的典型方程及計算步驟例8-1試用位移法求圖a所示階梯形變截面梁的彎矩圖。E=常數。解：結構的基本未知量：結點B的角位移Z1、豎向位移Z2，基本體系如圖b。典型方程為設則iAB=3i，iBC=i繪彎矩圖c、d、e。取結點B處的隔離體?！?-4位移法的典型方程及計算步驟代入典型方程解得由§8-4位移法的典型方程及計算步驟例8-2求圖a所示剛架的支座A產生轉角，支座B產生豎向位移。試用位移法繪其彎矩圖，E為常數。解：剛架的基本未知量：結點C的角位移Z1，基本體系如圖b。典型方程為設則§8-4位移法的典型方程及計算步驟繪彎矩圖c、d。取結點C為隔離體。代入典型方程解得由§8-5直接由平衡條件建立位移法基本方程圖a所示剛架用位移法求解時有兩個基本未知量：剛結點1的轉角Z1，結點1、2的水平位移Z2。如圖b，由結點1的力矩平衡條件∑M1=0如圖c，由隔離體的投影平衡條件∑Fx=0設Z1為順時針方向，Z2向右，可得由平衡條件可得Z1、Z2各桿端最后彎矩由轉角位移方程求得?！?-5直接由平衡條件建立位移法基本方程§8-6對稱性的利用圖a所示對稱剛架，可將荷載分解為正、反對稱兩組。在正對稱荷載作用下只有正對稱的基本未知量，如圖b。在反對稱荷載作用下只有反對稱的基本未知量，如圖c。圖b利用對稱性簡化為圖d。圖c利用對稱性簡化為圖e。用位移法求解用力法求解§8-6對稱性的利用圖a所示對稱剛架，可將荷載分解為正、反對稱兩組。在正（反）對稱荷載作用下，基本未知量數目是不同的。如圖b、c。荷載位移法基本未知量數目力法基本未知量數目正對稱3（采用）6反對稱63（采用）§8-6對稱性的利用例8-3試計算圖a所示彈性支承連續(xù)梁，彈性支座剛度梁的EI=常數。解：這是一個對稱結構承受正對稱荷載取一半結構如圖b，基本體系如圖c典型方程為§8-6對稱性的利用繪彎矩圖d、e、g。解得由§8-7有側移的斜柱剛架圖a所示為一具有斜柱的剛架發(fā)生結點線位移的情形。A、D是不動的。B點：當位移很小時，在垂直AB方向上運動。C點：BC桿平移至B’C’’，CC’’=BB’。

C’’在垂直B’C’’方向上運動，作C’’C’垂直于B’C’’。同理，作CC’垂直于DC。

CC’與C’’C’的交點C’即C位移后的位置。在圖b中任選一點O為不動點→極點，AD與O重合。作OB垂直于桿AB；過B作桿BC的垂線；過O作桿CD的垂線，得交點C。AB：代表AB桿的相對線位移BC：代表BC桿的相對線位移CD：代表CD桿的相對線位移結點位移圖§8-7有側移的斜柱剛架例8-4試用位移法計算圖a所示剛架。解：基本體系如圖b所示。典型方程為令其余桿線剛度如圖b及MP圖如圖c、d§8-7有側移的斜柱剛架設則結點位移圖如圖e附加鏈桿上反力的計算如圖g。圖如圖f計算可得由∑MO=0有§8-7有側移的斜柱剛架將系數和自由項代入典型方程，可得疊加原理繪彎矩圖§8-8溫度變化時的計算例8-5繪圖a所示剛架溫度變化時的彎矩圖。各桿的EI=常數，截面為矩形，其高度h=l/10，材料的線膨脹系數為α。解：剛架有一個獨立的結點角位移Z1，一個獨立的結點線位移Z2?；倔w系如圖b所示。典型方程為§8-8溫度變化時的計算及圖如圖c、d§8-8