大學物理：第 22 章 量子力學基礎

第22章量子力學基礎22.1實物粒子的波動性22.2波函數(shù)及統(tǒng)計解釋22.3不確定性關系第22章量子力學基礎22.4薛定諤方程22.6薛定諤方程的應用22.5力學量算符的本征值問題22.7氫原子量子理論§22.8電子的自旋泡利不相容原理光具有波粒二象性，那么實物粒子是否也應具有波粒二象性？或實物粒子具有波動性嗎？一、德布羅意物質波假設德布羅意（L.V.deBroglie1892-1986，法國）從光具有波粒二象性出發(fā)，認為實物粒子也應具有波動性。1924年11月在巴黎大學提交的博士論文中提出：22.1

實物粒子的波動性“我們因而傾向于假定，任何運動物體都伴隨著一個波動，而且不可能把物體的運動跟波的傳播拆開?！边@種波既不是機械波也不是電磁波，稱為物質波或德布羅意波。具有能量E和動量p的實物粒子所聯(lián)系的波的頻率和波長有關系：在答辯會上有人問：“這種波怎樣用實驗來證實呢？”德布羅意答：“可以從電子在晶體上散射這樣的實驗中檢查到這樣的波?！彪m然后來的實驗驗證由戴維孫和革末完成了，但當時純粹是理論推測。朗之萬把德布羅意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”盡管此假說的有待實驗檢驗，但愛因斯坦還是推薦德布羅意取得了博士學位。[例22-1]估算:

m=1g，v=1cm/s的實物粒子的波長粒子對應的波長太小，波動性無法表現(xiàn)出來！對于電子，m=9.110-31

kg，設加速電壓為U相當于晶格常數(shù)量級，通過類似于晶體對X射線的衍射，可以實現(xiàn)晶體對電子的衍射。[例22-2]德布羅意把物質波假設用于氫原子認為：如果電子在經(jīng)典的圓軌道上運動，它對應于一個環(huán)形駐波，滿足——玻爾量子化條件德布羅意用物質波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。二、物質波的實驗驗證貝耳電話公司實驗室的戴維遜和革末研究電子在鎳單晶上的衍射（1927）。電子槍1.戴維遜—革末實驗（C．J．Davisson，1881－1958；L．H．Germer，1895－1971）實驗裝置示意圖假如電子具有波動性，應滿足布喇格公式

此時電表中應出現(xiàn)最大的電流。探測器Id若固定角，改變加速電壓，會多次出現(xiàn)電流極大若固定角，改變加速電壓，會多次出現(xiàn)電流極大I實驗結果:2.G.P.湯姆遜實驗1927年英國物理學家G.P.湯姆遜做了電子通過金多晶薄膜的衍射實驗1929年德布洛意獲諾貝爾物理獎。1937年戴維遜與G.P.湯姆遜獲諾貝爾物理獎。3.約恩遜實驗1961年C.J?nsson運用銅箔中形成的2-5條細縫得到了電子的多縫干涉圖樣。1930年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩(Stern)、和他們的同事們證實了普通原子具有波動性。后來實驗又驗證了質子、中子等實物粒子都具有波動性。4.其它實驗三、微觀粒子波動性的應用1933年，德國的E.Ruska和Knoll等人研制成功第一臺電子顯微鏡。1982年，IBM的G.Binnig和H.Rohrer研制成功第一臺隧道掃描顯微鏡（STM）。魯斯卡：電子物理領域的基礎研究工作，設計出世界上第一臺電子顯微鏡，1986諾貝爾物理學獎1986諾貝爾物理學獎賓尼：設計出掃描式隧道效應顯微鏡1986諾貝爾物理學獎羅雷爾：設計出掃描式隧道效應顯微鏡END22.2波函數(shù)及統(tǒng)計解釋一、波函數(shù)既然粒子具有波動性，應該有描述波動性的函數(shù)——波函數(shù)。奧地利物理學家薛定諤（E．Schr?dinger）1925年提出用波函數(shù)Ψ(r,t)描述粒子運動狀態(tài)。按德布羅意假設：能量E、動量p的“自由粒子”沿x方向運動對應的物質波應為“單色平面波”：——0為待定常數(shù)或由關系數(shù)可將波函數(shù)改寫為若粒子為三維自由運動，波函數(shù)可表示為波函數(shù)的物理意義是什么？粒子的什么性質在波動？二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋對應粒子波動性的波函數(shù)做為一個重要的新概念登上量子力學舞臺后，其本身的物理意義卻模糊不清，使許多物理學家感到迷惑不解而大傷腦筋。愛因斯坦為了解釋光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的強度解釋為光子出現(xiàn)的幾率密度。玻恩(M．Born，1882－1970)在這個觀念的啟發(fā)下，馬上將其推廣到Ψ函數(shù)上：|Ψ|2必須是電子（或其它粒子）的幾率密度”

。1954年，玻恩獲諾貝爾物理獎。（

,t）的物理意義在于：波函數(shù)的模的平方（波的強度）代表時刻t、在空間點處，單位體積元中微觀粒子出現(xiàn)的概率。不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無直接的物理意義。有意義的是對單個粒子，給出粒子的概率分布密度；對N個粒子，給出粒子數(shù)的分布密度。在時刻t、空間

點處，體積元dV

中發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率為：對N

粒子系，在體積元dV中發(fā)現(xiàn)的粒子數(shù)為說明：1.讓入射電子幾乎一個一個地通過單縫隨著電子數(shù)增大，逐漸形成衍射圖樣——衍射圖樣來源于“單個電子”所具有的波動性——統(tǒng)計規(guī)律。底片上出現(xiàn)一個一個的點子，開始時點子無規(guī)則分布——說明電子具有“粒子性”，但不滿足經(jīng)典的決定論。一個電子重復許多次相同實驗表現(xiàn)出的統(tǒng)計結果。[例22-2]用幾率波說明弱電子流單縫衍射數(shù)百個電子少數(shù)幾個電子數(shù)萬個電子德布洛意波（物質波）也稱為概率波。

2.如何理解微觀粒子的波粒二象性（1）粒子性指它與物質相互作用的“整體性”。但不是經(jīng)典的粒子，因為微觀粒子沒有確定的軌道。(2)波動性“彌散性”、“可疊加性”、“干涉”、“衍射”。不是經(jīng)典的波，并不對應某真實物理量的波動。(3)在一些情況下，實物粒子突出顯示出其粒子特性；而在另一些情況下，則突出顯示出波動特性—即波粒二象性?！安▌有浴迸c“粒子性”的聯(lián)系——玻恩統(tǒng)計解釋。3.關于量子力學的爭論以玻耳為首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本哈根學派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均表現(xiàn)。以愛因斯坦為首，包括薛定諤、德布羅意學派：自然規(guī)律根本上是決定論的。“上帝肯定不是用擲骰子來決定電子應如何運動的！”

“Goddoesnotplaydice”Einstein:不相信單個電子的運動是不確定的，可以設計更精確的實驗儀器解決。Bohr:所有粒子的不確定性是原則的、本性的。Einstein:我不相信上帝會玩骰子（色子）。Bohr:不要指揮上帝去做什么。Einstein-Bohr爭論（1927-1955）Einstein:按照電子的衍射，某一電子落在何處與前一個電子落在何處有關，這是不可能的。Bohr:不是前后電子之間相互影響，而是單個電子的運動具有不確定性。在1927年Solvey會議上：三、波函數(shù)應滿足的條件1.自然條件：單值、有限和連續(xù)2.歸一化條件粒子出現(xiàn)在dV體積內的幾率為：粒子在空間各點的概率總和應為l，END22.3不確定性關系按照經(jīng)典波動理論，約束在空間某區(qū)域內的波不可能是單色的——不可能具有唯一的波長。這一結論對物質波同樣正確：被束縛在某區(qū)域的粒子不可能具有確定的動量，即粒子的坐標和動量不能同時取確定值，存在一個不確定關系。海森堡（W.Heisenberg）在1927年發(fā)表了著名的位置—動量不確定關系以電子的單縫衍射為例說明。電子的單縫衍射“中央亮紋”半角寬度滿足：一、位置—動量不確定關系如果把單縫看成對電子坐標的測量儀器，x—相當于對電子坐標測量的不確定度。x單縫存在使電子在x方向的動量分量出現(xiàn)不確定性不限制電子坐標時，動量可以取確定值。對坐標x測量得越精確（x越小），動量不確定性px

就越大(衍射越厲害)。電子的坐標和動量不能同時確定。嚴格的不確定性關系應該是：[例22-2]氦氖激光器發(fā)光波長，譜線寬度，求即相干長度，譜線展寬導致光子動量的不確定解：當這種光子沿x方向傳播時，它的x坐標的不確定就是即相干長度，也就是波列長度將上例激光光子位置-動量不確定性關系二、能量和時間的不確定關系同樣可得粒子處于某狀態(tài)的能量和時間的不確定性關系變?yōu)榭梢越忉尀槭裁丛幼V線自然寬度譜線寬度：與實驗測量結果吻合！原子基態(tài)壽命無窮長，基態(tài)有確定的能量值。[例22-3]原子在激發(fā)態(tài)的壽命為10-8

s，由不確定關系不確定性關系限定了使用經(jīng)典語言的范圍和度不確定性的物理根源是粒子的波動性。說明：不確定性與測量沒有關系，是微觀粒子波—粒二象性的體現(xiàn)。[例22-4]氫原子中的電子的軌道運動速度為106m/s，速度的不確定度：，v~v但威爾遜云室可看到一條白亮的粒子徑跡～10-4cm，由此可得：p>>p，波動性不是很明顯，軌道概念仍適用?？梢姴▌有允置黠@，不能用軌道概念描述!

但END按照經(jīng)典波動理論，波動的物理量滿足如下形式的波動方程：22.4薛定諤方程V為波速物質波的波動方程是什么？德布洛意關于電子波動性的假設傳到蘇黎士后，德拜(P.Debye，TheNobelPrizeinChemistry1936)說，“一個沒有波動方程的波動理論太膚淺了！”。當時年輕的薛定諤在場。在一周后聚會時薛定諤說：“我找到了一個波動方程！”?！孔恿W中的基本動力學方程。一、薛定諤方程的建立自由粒子波函數(shù)對波函數(shù)微分得—能量算符——動量算符——自由粒子的薛定諤方程由和把自由粒子運動算符推廣到非自由粒子運動，粒子所處的勢場為U(x,t)，粒子的能量薛定諤方程變?yōu)椤@就是含時薛定諤方程稱為哈密頓算符，則令推廣到三維勢場U(

r,t)中令薛定諤方程形式不變哈密頓算符變?yōu)檠Χㄖ@方程不是推導出來的，而是依據(jù)實驗事實和基本假定“建立”的，是否正確則由實驗結果檢驗。薛定諤方程——描述非相對論實物粒子在勢場中的狀態(tài)隨時間的變化，反映了微觀粒子的運動規(guī)律。說明：薛定諤（Schr?dinger1887-1961）1933年薛定諤獲諾貝爾物理獎。奧地利物理學家，提出量子力學最基本的方程。二、定態(tài)薛定諤方程若微觀粒子處在穩(wěn)定的勢場中，則勢能函數(shù)U與時間無關，稱這類問題為定態(tài)問題。自由運動粒子

例如：氫原子中的電子此時，哈密頓算符與時間無關，薛定諤方程可用分離變量法求解：波函數(shù)

可以分離為空間坐標函數(shù)和時間函數(shù)的乘積。設可得只含變量t

和只含變量r

的兩個方程：1.方程（1）是關于變量為t的微分方程，解為：—時間振動因子2.方程（2）是關于變量為x、y、z的微分方程：—稱為定態(tài)薛定諤方程，又稱為能量算符的本征方程其解Φ(x,y,z)與粒子所處的外力場U和邊界條件有關。3.波函數(shù)是以上兩部分的乘積——粒子出現(xiàn)在空間的幾率與時間無關—定態(tài)粒子出現(xiàn)在空間的幾率：可見，定態(tài)問題最后歸結為求解定態(tài)薛定諤方程。END22.5力學量算符的本征值問題一、力學量的算符表示在量子力學中，系統(tǒng)的任何力學量均對應一算符，力學量所能取的值是其相應算符的本征值。例如：

動量算符這是量子力學的又一基本假設對一維運動

坐標算符（就是它自己）動能算符：能量算符:角動量算符:二、算符的本征值問題利用定態(tài)薛定諤方程求解能量和定態(tài)波函數(shù)實際上是一個能量算符的本征值問題。E

：稱為能量算符的本征值。——能量算符的本征值方程為了使波函數(shù)單值、連續(xù)、有限，能量的取值受到了限制。：稱為能量算符的本征函數(shù)（本征態(tài)）對于處在束縛態(tài)勢場中的粒子能量只能取一系列的分立值：E1，E2，….，En，….同理，通過求解動量算符、角動量算符…的本征方程可得到相應算符的本征函數(shù)和本征值。END22.6

薛定諤方程的應用確定粒子的哈密頓量；在全空間寫出粒子的能量本征方程；利用波函數(shù)的自然條件確定確定能量本征值和波函數(shù)。步驟：處理的問題：勢阱中的粒子——粒子被束縛在某勢場中；勢壘對粒子的散射——自由粒子入射到某勢場中。一、一維無限深勢阱中的粒子金屬中的電子由于金屬表面勢能（勢壘）的束縛被限制在一個有限的空間范圍內運動。稱為一維無限深方勢阱。-e-e-e-e-e-e-e如果金屬表面勢壘很高，可以將金屬表面看為一剛性盒子。如果只考慮一維運動，就是一維剛性盒子。勢能函數(shù)為：V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱在勢阱內，定態(tài)薛定諤方程令得解為：待定常數(shù)C

和δ解由波函數(shù)的自然條件確定。V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱波函數(shù)在阱壁上的連續(xù)條件、本征能量該方程的解只能是：在勢阱外，定態(tài)薛定諤方程由式（3）可得由式（4）可得思考：為什么n不取零和負整數(shù)？粒子的能量：其中能量取分立值（能級），能量是量子化的。n=132能量間隔為：能級增大,能級間隔遞增阱變寬,能級間隔下降大質量粒子的能級間隔小L很大或m很大，能級幾乎連續(xù)最低能量(零點能)—波動性說明勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)正好對應于德布羅意波的一個特定波長的駐波。勢阱中粒子的動量和波長定態(tài)波函數(shù)為歸一化常數(shù)C和定態(tài)波函數(shù)粒子在阱內的波函數(shù)為波函數(shù)為頻率相同、波長相同、傳播方向相反的兩單色平面波的疊加——形成駐波?？芍黑鍖挒轳v波半波長的整數(shù)倍。由關系粒子在勢阱中的幾率分布：哈密頓量定態(tài)薛定諤方程二、一維諧振子（拋物線勢阱）晶體中原子圍繞平衡位置作小振動時可近似認為是諧振動，勢函數(shù)為：或利用級數(shù)展開法解該微分方程。波函數(shù)滿足的自然條件進一步限制了能量E的取值。主要結論如下：

1.諧振子能量能量間隔均勻：

能量E是量子化的最低能量(零點能)不為零與Planck假設不同！E0E1E2E3U(x)E0x

2.諧振子波函數(shù)Hn是厄密（Hermite）多項式，最高階是

[例22-4]U(x)E0xΦ2(x)

E0經(jīng)典粒子位置幾率分布能量為E0經(jīng)典粒子沿阱壁只能爬E0高度，這時粒子的動能為零，然后被阱壁反彈回去。U(x)E0xΦ2(x)

E0黑色虛線為經(jīng)典粒子位置的幾率分布量子粒子位置幾率分布能量為E0量子粒子沿阱壁爬的高度可以大于E0（紅色虛線），或說能量為E0的粒子可以穿入阱壁內部。（用經(jīng)典理論無法解釋）量子粒子位置幾率分布與經(jīng)典粒子分布有明顯的區(qū)別n=1Φ2(x)xn=0Φ(x)xn=0Φ2(x)xn=1Φ(x)x諧振子幾個波函數(shù)和位置幾率密度Φ2(x)xn=9n=9xΦ(x)n=2量子概率分布經(jīng)典概率分布(圖示虛線）能量量子化能量取連續(xù)值當n∞時——玻爾對應原理Φ2(x)xn=2三、一維散射問題粒子以確定能量E從遠處入射到某給定勢場中，確定粒子的波函數(shù)和位置分布。思考：粒子的能量呢？1.矩形臺階勢壘實際金屬中的電子在表面處遇到的勢是有限高的：E<U0U(x)xU=U0U=0o按照經(jīng)典力學：當E>U0時，粒子可以進入x>0區(qū)；當E<U0時，粒子不可能進入x>0區(qū)，在壘壁處粒子被反彈回x<0區(qū)。量子力學結果如何？E>U0E<U0U(x)xU=U0U=0o薛定諤方程

波函數(shù)當x→∞，由波函數(shù)Φ2有限D=0

波函數(shù)各部分的含義：在兩個區(qū)域的波函數(shù)分別為：U(x)xU=U0o入射波反射波衰減波量子理論：粒子可以透入勢壘，進入U>E（總能量）區(qū)域。經(jīng)典理論：因為粒子的動能不可能小于零，所以粒子不能進入U>E（總能量）區(qū)域。2.隧道效應（勢壘貫穿）自由粒子處遇到的勢是有限高和有限寬的勢壘：E<U0xU=U0U=00a透射波（只有向右傳播的波）利用薛定諤方程可以求得波函數(shù)：入射波+反射波指數(shù)衰減波其中待定常數(shù)B、C、D、F由下列邊界條件確定：xU=U0U=00a透射系數(shù)T：粒子穿透勢壘的概率xU=U0U=0Oa可以證明：Φ(x)

可見：m、a、(U0–E)越小，則穿透率T越大。向墻壁上扔一球，按經(jīng)典力學該球被墻壁反彈回來；例如：電子

a=2×10-10

m,(U0-E)=1

eV→T≈0.51但按量子力學小球有可能進入墻壁中（當m很大時，T可能很?。?.STM原理利用探針在樣品表面掃描時，樣品表面和針尖之間間距有間隙，形成了電子的勢壘，間隙越小勢壘寬度越窄，隧道電流I越大。三、掃描隧穿顯微鏡（STM）掃描隧穿顯微鏡(ScanningTunnelingMicroscope)是可以觀測原子的超高倍顯微鏡。掃描隧道顯微鏡示意圖通過測量電路中的電流，反推出距離S，繪出樣品表面形貌圖（立體圖）隧道電流I樣品和針尖間距離S的關系S—樣品和針尖間的距離U—加在樣品和針尖間的微小電壓A—常數(shù)—平均勢壘高度掃描探針顯微鏡

包含類型：隧道掃描、磁力掃描、橫向力掃描、力調制掃描、相檢測掃描、靜電力掃描超高真空掃描探針顯微鏡05090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象2.STM掃描圖象CarbonMonoxideonPlatinum(111)CirclesonCirclesStadiumCorral鑲嵌了48個Fe原子的Cu表面的掃描隧道顯微鏡照片。48個Fe原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波：羅赫爾：1986年度的諾貝爾物理獎賓尼：1986年度的諾貝爾物理獎魯斯卡：1932年電子顯微鏡的發(fā)明者END22.7氫原子量子理論氫原子中的電子在中心力場中運動采用球坐標系一、角動量算符的本征值問題其中L2為電子繞核的軌道角動量平方算符Lz的為軌道角動量在z分量：通過求解L2和Lz的本征方程得到本征函數(shù)和本征值如下(過程略)：其中為球諧函數(shù),例如：角動量L的取值是量子化的（量子力學很自然地給出角動量的量子化），最小值可取零（與玻爾假設不同）1.主要結論

和

有共同的本征函數(shù)

Yl,m(θ,)

的本征值為角動量的大?。簂=0,1,2…稱為角量子數(shù)可的本征值取角動量在空間的取向也是量子化的。m=-l,-l+1,…l-1,l

稱為磁量子數(shù)對于一定的角量子數(shù)l,磁量子數(shù)m可取(2l+1)個值，角動量在空間z方向的取向只有(2l+1)種可能。2.角動量空間量子化的經(jīng)典矢量模型該矢量在Lz軸上的投影在到之間。但對矢量的具體方位不能限制，可以在半頂角α的圓錐面上的任意方位（其中）,若Lz取定值，則完全不確定。0-2Lz=2-Lz將角動量想象為一長度為的經(jīng)典矢量LzLz=2注：以上矢量模型完全是為了使角動量空間取向量子化的描述更形象，是一種輔助方法。量子理論中由于測不準關系的限制，電子繞原子核的角動量方向在任何時刻均是不確定的。3.Zeeman效應證明角動量空間取向的量子化氫原子從第一激發(fā)態(tài)（l=1）躍遷到基態(tài)（l=0）時，發(fā)射光譜只有一條譜線。但在外磁場中發(fā)現(xiàn)，該條譜線分裂為三條。B=0時光譜線l=1l=0對應對應B≠0時光譜線l=1l=0電子的軌道角動量對應于軌道磁矩在外磁場中電子的軌道磁矩具有的附加磁能為：稱光譜這種分裂現(xiàn)象為塞曼效應。解釋：由于電子軌道角動量空間取向的量子化，氫原子的能級在外加磁場出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，進一步導致譜線的分裂。1902諾貝爾物理學獎得主塞曼塞曼效應的發(fā)現(xiàn)和研究二、氫原子的能量和電子的幾率密度定態(tài)薛定格方程為可以用分離變量法得電子的波函數(shù)可表示為（此處略）：u(r)稱為徑向波函數(shù)為球諧函數(shù)電子的能量本征值對角量子數(shù)的限制n=1,2,3…，1.主要結論：n稱為主量子數(shù)例如：基態(tài)n=1,l=0;

第一激發(fā)態(tài)n=2,l=0、1第二激發(fā)態(tài)n=3,l=0、1、2徑向波函數(shù)

Rnl(r)=unl(r)/r……其中a0=ε0h2/πme2為玻耳半徑2.電子的幾率密度分布和電子云在空間點（r,,）處,小體積元dV中電子出現(xiàn)的概率為：一般是與r、、有關電子徑向幾率分布考慮電子在r～r+dr球殼的幾率(由于球諧函數(shù)是歸一的)電子沿徑向的幾率分布是連續(xù)的——不同于經(jīng)典的軌道概念。在基態(tài)，電子在r=a0處出現(xiàn)的幾率最大，與經(jīng)典軌道對應。a0電子角向幾率分布電子在基態(tài)和激發(fā)態(tài)時的角向幾率分布(其中基態(tài)時是球對稱分布的)。l=0,1,2,3,…分別對應s,p,d,f,…軌道。規(guī)定：END§22.8電子的自旋泡利不相容原理一、電子的自旋（spin）無磁場有磁場1.斯特恩－蓋拉赫實驗（1921）實驗結果：銀原子束穿過非均勻磁場后分裂為兩束。s1s2P基態(tài)銀原子射線NS非均勻磁場但按電磁學知，一磁偶極子在非均勻磁場中，除了受力矩的作用，還受力的作用，且有但實驗結果說明銀原子有磁矩，而且沿外磁場方向有兩個分量（銀原子分裂為兩束）。實驗出現(xiàn)了新的矛盾：實驗用的銀原子大部分處在基態(tài)（l=0），無磁矩，銀原子不應該受到磁力的偏轉。其中