大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)知識(shí)（一）教師：鄒儉英中國(guó)石油大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心教師信息姓名：鄒儉英辦公室：基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)樓D309#電話理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)。物理概念的確定、物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、建立和檢驗(yàn)，都是通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果概括出來(lái)的物理實(shí)驗(yàn)是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的先驅(qū)，體現(xiàn)了大多數(shù)科學(xué)實(shí)驗(yàn)的共性，在實(shí)驗(yàn)思想、實(shí)驗(yàn)方法以及實(shí)驗(yàn)手段等方面是各學(xué)科科學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)1905年愛(ài)因斯坦的光量子假說(shuō)，1916年當(dāng)密立根實(shí)驗(yàn)證實(shí)課程的主要目的和任務(wù)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“三基”訓(xùn)練。使學(xué)生獲得物理實(shí)驗(yàn)的基本知識(shí),進(jìn)行基本實(shí)驗(yàn)方法和基本實(shí)驗(yàn)技能的訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、動(dòng)手操作能力、分析判斷能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力以及初步的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力加深對(duì)物理概念的掌握和理解《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》上課須知誤差與數(shù)據(jù)處理基本知識(shí)一.測(cè)量二.誤差三.不確定度四.有效數(shù)字五.常用數(shù)據(jù)處理方法一.測(cè)量

物理實(shí)驗(yàn)除定性觀察（水沸騰）外，更重要的是定量測(cè)量（水沸騰的溫度）1.定義：所謂測(cè)量是用一定的實(shí)驗(yàn)方法通過(guò)一定的量具（或儀器）尋找待測(cè)量真值的操作過(guò)程測(cè)量值必須有數(shù)值和單位組成，兩者缺一不可90.70cm2.分類

（1）按測(cè)量結(jié)果獲得方法：直接測(cè)量：用標(biāo)準(zhǔn)量與待測(cè)量直接比較而得。

例：用直尺測(cè)量長(zhǎng)度；以表計(jì)時(shí)間；天平稱質(zhì)量；安培表測(cè)電流間接測(cè)量：經(jīng)過(guò)直接測(cè)量與待測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的物理量，再經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到待測(cè)物理量的測(cè)量方法。

例：用鋼卷尺測(cè)量桌子的面積S=a×b=S(a,b)；鋼球密度測(cè)量（2）按測(cè)量條件：等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量等精度測(cè)量：相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量

相同測(cè)量條件：同一測(cè)量水平的觀測(cè)者同一精度的儀器同樣的實(shí)驗(yàn)方法同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境非等精度測(cè)量：不相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量二.誤差

真值是一個(gè)抽象的概念，一般情況下是未知的，但在下面幾種特殊情況下可以是已知的：

由于儀器、環(huán)境、人員和方法等方面諸多因素的影響，測(cè)量

值與真值總會(huì)存在一定的差異1.定義：指測(cè)量值與真值之差，①理論真值（三角形內(nèi)角和）；②

約定真值（常用基本單位）；③

相對(duì)真值（高級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的指示值作為低級(jí)的相對(duì)真值）

如：用一等標(biāo)準(zhǔn)水銀溫度計(jì)測(cè)得20.2℃，二等標(biāo)準(zhǔn)水銀溫度計(jì)測(cè)得20.3℃，則二等標(biāo)準(zhǔn)水銀溫度計(jì)的相對(duì)誤差為0.5%

誤差是不希望出現(xiàn)的，但又不可避免的，要了解誤差出現(xiàn)的原因并盡量減小或消除它誤差的性質(zhì)：①未知性（真值不可知）③普遍性（存在于一切測(cè)量當(dāng)中）②隨機(jī)性（誤差值可正或負(fù)，可大或小，難以預(yù)測(cè)）

按誤差性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差（1）系統(tǒng)誤差：相同條件下多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，誤差的大小、符號(hào)保持恒定，具有一定的規(guī)律（如：零點(diǎn)不準(zhǔn)、天平不等臂、刻度不均勻等）分類：已定系統(tǒng)誤差（大小和符號(hào)可以確定，如儀器零點(diǎn)誤差）未定系統(tǒng)誤差（大小和符號(hào)不能確定）如何發(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)誤差將在第二次課介紹2.分類

（2）隨機(jī)誤差：誤差值可正或負(fù)，也可大或小，難以預(yù)測(cè)，有隨機(jī)性，但測(cè)量次數(shù)多時(shí)，又符合一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（正態(tài)分布）

單峰性對(duì)稱性有界性f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機(jī)誤差常呈正態(tài)分布，服從概率密度函數(shù)f(δ)（如圖），可見(jiàn)隨機(jī)誤差特點(diǎn)：

個(gè)別偏離于其它數(shù)據(jù)很大的誤差，由于人為、儀器或環(huán)境方面引起，又稱疏失誤差或過(guò)失誤差（例如：儀器損壞，操作錯(cuò)誤，讀數(shù)錯(cuò)誤，記錄錯(cuò)誤），應(yīng)剔除（3）粗大誤差3.誤差的表示形式（1）絕對(duì)誤差

用絕對(duì)大小給出的誤差：δ＝x－x0，可正可負(fù)，有單位（2）相對(duì)誤差

絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值的比值：E＝δ/x0，無(wú)單位，用％表示例：測(cè)量?jī)蓚€(gè)物體的長(zhǎng)度：L1=100

m，L2=1

m；

絕對(duì)誤差分別為δ1=0.1

m，δ2=0.01

m；

相對(duì)誤差分別為：E1=0.1%，E2=1.0%L1測(cè)量結(jié)果好，稱精度高4.測(cè)量結(jié)果的好壞的評(píng)價(jià)---精度

也稱精確度/準(zhǔn)確度，描述測(cè)量結(jié)果與真值的接近程度定性概念，不能用數(shù)值大小來(lái)表示，只能講高低

精密度（各測(cè)量值之間的接近程度---隨機(jī)誤差）和正確度（測(cè)量結(jié)果與真值的偏離程度---系統(tǒng)誤差）的綜合反映

三.不確定度1.概念表示被測(cè)量不能確定的程度，故稱為“不確定度”，反應(yīng)誤差可能出現(xiàn)的范圍或真值可能處的范圍反映測(cè)量精度：不確定度小，測(cè)量精度高，測(cè)量值接近真值；反之亦反通常習(xí)慣說(shuō)誤差越小，測(cè)量結(jié)果質(zhì)量越好，即用誤差評(píng)定測(cè)量結(jié)果好壞；但因真值不可知，誤差不能確定，故用誤差評(píng)定是不合理的如何給定待測(cè)量的大?。坎⒛芊从硿y(cè)量結(jié)果好壞（精度高低）？測(cè)量結(jié)果最終表示：x=2.7±0.3（表示待測(cè)量可能處于2.4~3.0之間）最佳值不確定度

不確定度是用來(lái)評(píng)定測(cè)量質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，國(guó)內(nèi)外在計(jì)量、檢測(cè)、工業(yè)、商業(yè)、外貿(mào)等領(lǐng)域已逐漸采用不確定度代標(biāo)準(zhǔn)差表示測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量2.分類

測(cè)量不確定度通常包括幾個(gè)分量，根據(jù)評(píng)定方法可分兩大類：（1）A類分量（采用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定獲得的）用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式估算：

使用條件：直接測(cè)量量；等精度測(cè)量不確定度大小可根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)來(lái)評(píng)定（貝塞爾公式）（2）B類分量（用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定獲得的）約定：（3）合成不確定度儀器極限誤差Δ儀=等級(jí)×量程/100數(shù)字式取末位數(shù)1個(gè)單位；刻度式取最小分度一半例：用電表的200mA量程測(cè)電流，該電表級(jí)別為0.05，則該電表的Δ儀=0.05×200/100=0.1mA3.測(cè)量結(jié)果的表示（1）最佳值估計(jì)由隨機(jī)誤差對(duì)稱性（大小相同、符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)機(jī)會(huì)相同）特點(diǎn)可知，無(wú)數(shù)次測(cè)量時(shí)，測(cè)量值的平均值接近真值，故可用算術(shù)平均值代替真值（2）測(cè)量結(jié)果的表示ur為相對(duì)不確定度。相對(duì)不確定度越小，表示測(cè)量質(zhì)量越好1.定義由表征測(cè)量結(jié)果的可靠數(shù)字與可疑數(shù)字組成，可疑數(shù)字一般只有一位由儀器和待測(cè)量的大小共同決定四.有效數(shù)字由于誤差存在的普遍性，實(shí)驗(yàn)中某物理量的測(cè)量值及運(yùn)算結(jié)果都是近似的。合理的近似，既能充分反映測(cè)量精度，又簡(jiǎn)單明了。這種近似的數(shù)據(jù)是有效的，被稱為有效數(shù)字2.有效數(shù)字的位數(shù)由左邊第一個(gè)非零數(shù)字起至最后一位數(shù)字止例如:用最小分度值為1mm的尺，測(cè)量一物體長(zhǎng)度得到1.65cm。“5”是在6和7兩個(gè)整毫米刻度內(nèi)估讀的，是不可靠的，可疑數(shù)字；1.6是由尺子刻度直接讀出的，是可靠數(shù)字15.86，四位有效數(shù)字5.32，三位有效數(shù)字5.320，四位有效數(shù)字0.0532，三位有效數(shù)字注:末尾的“0”是有效數(shù)字，不能去掉此長(zhǎng)度如果在1cm以內(nèi)，則有1位可靠數(shù)字；若該物體用千分尺量則有4位可靠數(shù)字3.獲取原則（1）直接測(cè)量：有指針或刻度的儀器：最小刻度以下再估讀一位數(shù)字顯示儀表：顯示值均為有效數(shù)字，不再估讀（2）間接測(cè)量：末位數(shù)必須與不確定度末位對(duì)齊在本課程中絕對(duì)不確定度的有效數(shù)字只要求取1位相對(duì)不確定度的有效數(shù)字，一般取1~2位4.修約規(guī)則當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)較多時(shí)，進(jìn)行取舍一般采用1/2修約規(guī)則。（1）需舍去部分的總數(shù)值大于保留部分末位半個(gè)單位，末位加1（2）需舍去部分的總數(shù)值小于保留部分末位半個(gè)單位，末位不變（3）需舍去部分的總數(shù)值等于保留部分末位半個(gè)單位，末位湊偶3.14161→2.71729→4.51050→5.62350→6.378501→3.1422.7174.5105.6246.3798.927513→8.928修約成4位有效數(shù)字：（四舍六入五湊偶）單位換算時(shí)有效數(shù)字的位數(shù)不變

1.3m＝1.3×103mm≠1300mm1300mm＝1.300m≠1.3m

用科學(xué)記數(shù)法表示u=0.112→u=0.5350→ur=12.52%→ur=1.232%→不確定度有效數(shù)字取舍一般采用1/3修約規(guī)則u=0.1；u=0.6;ur=13%;ur=1.2%；5.運(yùn)算規(guī)則加減運(yùn)算尾數(shù)（數(shù)量級(jí)最大的）取齊；乘除運(yùn)算位數(shù)（最少的）取齊；乘方、開(kāi)方的有效位數(shù)與其底的有效數(shù)字相同；函數(shù)的有效數(shù)字根據(jù)不同的情況有不同的規(guī)定，如：指數(shù)函數(shù)：與指數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同自然對(duì)數(shù)：其尾數(shù)的位數(shù)與該數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同三角函數(shù)：根據(jù)角度的不確定度來(lái)確定最后的有效位數(shù)中間過(guò)程多取1位1.對(duì)直接測(cè)量列數(shù)據(jù)處理（等精度測(cè)量）：數(shù)據(jù)處理時(shí)，可忽略已定系統(tǒng)誤差和粗大誤差（實(shí)驗(yàn)過(guò)程中已盡量消除）（1）求算術(shù)平均值，作為測(cè)量結(jié)果的最佳值。（2）計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，作為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類分量。（3）根據(jù)儀器的極限誤差，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類分量。（4）計(jì)算合成不確定度和相對(duì)不確定度。（5）完整表示測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)處理步驟歸納

物理實(shí)驗(yàn)中，一般只有一個(gè)A類分量和一個(gè)B類分量，且假定兩個(gè)分量相互獨(dú)立：a）.多次測(cè)量：b）.單次測(cè)量：?jiǎn)未螠y(cè)量時(shí)不確定度A類分量，無(wú)法考慮，合成不確定度只考慮B類分量。即：用0~25mm的一級(jí)千分尺測(cè)鋼球的直徑D，6次數(shù)據(jù)為：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mm，D4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm寫(xiě)出完整的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。解：①求算術(shù)平均值注：按數(shù)據(jù)處理的規(guī)則，在計(jì)算過(guò)程中平均值可以暫時(shí)多取一位有效數(shù)字，目的是防止計(jì)算誤差擴(kuò)大化。例：②求A類不確定度分量③求B類不確定度分量u查得該千分尺所以：④合成不確定度（有效數(shù)字保留1位）（有效數(shù)字多取1位）（有效數(shù)字多取1位）⑤完整結(jié)果表示：D=（3.124±0.002）mmP=68.3%注：測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字與不確定度的末位對(duì)齊2.

間接測(cè)量的數(shù)據(jù)處理：間接測(cè)量量：y直接測(cè)量量：x1,x2,…,xk（1）最佳值：（2）不確定度傳播公式間接測(cè)量量y的不確定度與各直接測(cè)量量的不確定度之間的關(guān)系為：附：偏導(dǎo)數(shù)求法（多元函數(shù)的微分學(xué)）

函數(shù)y=f(x1,x2,x3,------)，y為因變量，xi(i=1,2,3,---)為自變量當(dāng)只有一個(gè)自變量時(shí)，即y=f(x1)，稱一元函數(shù)當(dāng)有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）自變量時(shí)，即y=f(x1,x2)，稱多元函數(shù)對(duì)于多元函數(shù)，對(duì)某一自變量求導(dǎo)，稱為函數(shù)對(duì)該自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記為求多元函數(shù)關(guān)于某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的方法，只需將其它自變量看做常數(shù)即可，仍是利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式，

例如：對(duì)二元函數(shù)z=x2sin2y求偏導(dǎo)數(shù)：對(duì)x求偏導(dǎo)：(將y視為常數(shù))對(duì)y求偏導(dǎo)：(將x視為常數(shù))2xsin2y==

2x2cos2y

試求體積V并表示多取一位實(shí)驗(yàn)結(jié)果。②求V的不確定度：例：用千分尺測(cè)量圓柱體的體積V，已求得直徑為：解：①求V：注：A、常數(shù)π的有效數(shù)字應(yīng)比測(cè)量值的有效數(shù)字多取一位，目的是讓常數(shù)取值的誤差忽略不計(jì)。B：體積V的有效數(shù)字應(yīng)符合有效數(shù)字運(yùn)算法則。根據(jù)不確定度傳播公式：③實(shí)驗(yàn)結(jié)果表示：人類從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)重要目的是：由測(cè)量數(shù)據(jù)總結(jié)出規(guī)律，提取相關(guān)的參數(shù)和信息，這就需要對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中，常用到的有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法等五.常用數(shù)據(jù)處理方法1、列表法（將測(cè)量數(shù)據(jù)按一定形式和順序列成表格）常用于原始數(shù)據(jù)的記錄或其它數(shù)據(jù)處理方法的基礎(chǔ)要求：（1）簡(jiǎn)明，便于表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，處理數(shù)據(jù)方便。

（2）寫(xiě)明表的序號(hào)和名稱，標(biāo)明物理量、單位及數(shù)量級(jí)。

（3）表中所列數(shù)據(jù)應(yīng)是正確反映結(jié)果的有效數(shù)字。

（4）測(cè)量日期、說(shuō)明和必要的實(shí)驗(yàn)條件記在表外。舉例：

表1伏安法測(cè)100電阻對(duì)應(yīng)數(shù)值表2002/9/5注：電壓表量程7.5V精度等級(jí)1.0，電流表量程50mA精度等級(jí)1.0A、要求（先給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格）

(1)、根據(jù)各變量之間的變化規(guī)律，選擇相應(yīng)類型的坐標(biāo)紙。

(2)、正確選擇坐標(biāo)比例（以讓曲線充滿圖紙為原則，不必通過(guò)零點(diǎn)）。

(3)、寫(xiě)明圖名、各坐標(biāo)軸所代表的物理量、單位、數(shù)值的數(shù)量級(jí)等。

(4)、數(shù)據(jù)描點(diǎn)要用“×⊙⊕◆”等比較明顯的標(biāo)識(shí)符號(hào)。不能用“.”

(5)、對(duì)變化規(guī)律容易判斷的曲線以平滑線連接，曲線不必通過(guò)每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)均勻分布在曲線兩邊；難以確定規(guī)律的實(shí)驗(yàn)可以用折線連接。2、作圖法（將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)依照自變量和因變量的關(guān)系做成曲線，以便反映兩者的函數(shù)關(guān)系，尋找經(jīng)驗(yàn)規(guī)律）

通過(guò)作圖可以判斷各量的相互關(guān)系，特別是在還沒(méi)有完全掌握科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律和結(jié)果的情況下，或還沒(méi)有找出適合的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，作圖法是找出函數(shù)關(guān)系式并求得經(jīng)驗(yàn)公式的最常用的方法之一。如二極管的伏安特性曲線、彈簧振子振幅衰減規(guī)律曲線等，都可從圖上清楚地表示出來(lái)B.

應(yīng)用

作圖法的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下兩方面：

(1)判斷各量的相互關(guān)系

(2)圖上求未知量—圖解法①

線性函數(shù)未知量求法②非線性函數(shù)未知量求法――曲線改直問(wèn)題y=axb形式，a、b為常數(shù)，將方程兩邊取對(duì)數(shù)得到：1gy=b1gx＋1ga在直角坐標(biāo)紙上取lgy為縱坐標(biāo),1gx為橫坐標(biāo),得到一條直線,從而可以求出系數(shù)a和b注：在擬合的直線兩端取點(diǎn)，不取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)b⊕⊕⊕⊕應(yīng)用條件：

(1)、函數(shù)可以寫(xiě)成x的多項(xiàng)式形式，即：

y=a0+a1x+a2x2+a3x3實(shí)際上，由于測(cè)量精度的限制，3次以上逐差已很少應(yīng)用

(2)、自變量x是等間距變化，即：

xi-xi-1

=c（式中c為一常數(shù)）

3.逐差法（略）

逐差法：將因變量逐項(xiàng)相減或按順序分兩組對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，至逐差值趨于某一常數(shù)，然后將差值作為因變量的多次測(cè)量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理（求算術(shù)平均值）的方法例：對(duì)y=f(x)，測(cè)得測(cè)量列xi（i=1,2,…,n）、yi（i=1,2,…n）逐差法的作用和應(yīng)用：（1）逐項(xiàng)逐差

-------判斷函數(shù)關(guān)系若一次逐差：基本相等，則（線性關(guān)系）若二次逐差：

基本相等，則可依次類推，進(jìn)行其它判斷（二次多項(xiàng)式）例:求彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，根據(jù)虎克定律F=kΔx，等間距改變外力Fi，可以相應(yīng)地得到不同的彈簧的伸長(zhǎng)量xi，測(cè)量6次數(shù)據(jù)。隔3項(xiàng)（n/2）逐差：每一個(gè)數(shù)據(jù)都能用上，可取

（2）隔項(xiàng)逐差——求物理量最后，根據(jù)可求得倔強(qiáng)系數(shù)逐項(xiàng)逐差：沒(méi)有充分利用數(shù)據(jù)，不可取逐差法優(yōu)點(diǎn)：能充分并均勻地利用數(shù)據(jù)能消除一些定值系統(tǒng)誤差（如：拉伸法測(cè)量鋼絲的倔強(qiáng)系數(shù)k，其中包含了鋼絲由彎曲變直造成的伸長(zhǎng)，必然存在系統(tǒng)誤差---儀器零點(diǎn)誤差）與作圖法相比，沒(méi)有人為擬合的隨意性與最小二乘法相比，計(jì)算簡(jiǎn)單一些，但結(jié)果相近4.最小二乘法作圖法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，但在定量關(guān)系的而研究上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，擬合出來(lái)的曲線帶有某種人為的隨機(jī)性，同樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可能擬合出不同的參數(shù)值；

“最小二乘法”是一種從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取經(jīng)驗(yàn)規(guī)律比較嚴(yán)格的方法；建立在數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上的一個(gè)數(shù)學(xué)原理，它被廣泛地應(yīng)用在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中(如實(shí)驗(yàn)曲線的擬合、經(jīng)驗(yàn)公式的確定)

一般情況下，最小二乘法可以用于線性函數(shù)，也可以用于非線性函數(shù)，由于在測(cè)量技術(shù)中，大量的問(wèn)題是屬于線性的或可以轉(zhuǎn)換成線性函數(shù)，而非線性也可以在某一區(qū)域內(nèi)展成線性函數(shù)來(lái)處理，因此，我們主要討論線性函數(shù)的最小二乘法如何用最小二乘法進(jìn)行線性擬合：在等精度條件下測(cè)得x1，x2……xn和對(duì)應(yīng)的y1，y2……yn，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可以得到一組觀測(cè)方程：設(shè)已知函數(shù)形式為：…………觀測(cè)方程個(gè)數(shù)大于未知量的數(shù)目時(shí)，如何確定a和b的最佳值？(xi,yi)y=a0+b0x應(yīng)使各測(cè)量點(diǎn)離最佳曲線上相應(yīng)點(diǎn)的y向距離（白線）的殘差平方和最?。ê雎詘方向差異）。假定最佳方程y=a0+b0x，則殘差得：再對(duì)其進(jìn)行兩邊求和，得到：依據(jù)最小二乘原理（有極值），一階偏導(dǎo)數(shù)為0：

由此得出方程：解方程組可得：最小二乘原理

是在滿足各測(cè)量殘差平方和∑

＝最小的條件下(殘差，即測(cè)量值-最佳值)，求解出方程中的未知量為最佳值。用這一原理處理數(shù)據(jù)的方法稱為最小二乘法應(yīng)用舉例為確定電阻隨溫度變化的關(guān)系式，測(cè)得不同溫度下的電阻如表1所示。試用最小二乘法確定關(guān)系式：R=a+bt。

表1電阻隨溫度變化的關(guān)系t/℃19.025.030.136.040.045.150.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：1.列表算出：將表中數(shù)據(jù)代入2.設(shè)最佳方程為：nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.303651457