大學物理實驗基礎

大學物理實驗基礎知識（一）教師：鄒儉英中國石油大學物理實驗中心教師信息姓名：鄒儉英辦公室：基礎實驗樓D309#電話理學是一門實驗科學。物理概念的確定、物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、建立和檢驗，都是通過實驗結果概括出來的物理實驗是科學實驗的先驅，體現(xiàn)了大多數(shù)科學實驗的共性，在實驗思想、實驗方法以及實驗手段等方面是各學科科學實驗的基礎1905年愛因斯坦的光量子假說，1916年當密立根實驗證實課程的主要目的和任務對學生進行“三基”訓練。使學生獲得物理實驗的基本知識,進行基本實驗方法和基本實驗技能的訓練培養(yǎng)學生的閱讀理解能力、動手操作能力、分析判斷能力、書寫表達能力以及初步的實驗設計能力加深對物理概念的掌握和理解《大學物理實驗》上課須知誤差與數(shù)據(jù)處理基本知識一.測量二.誤差三.不確定度四.有效數(shù)字五.常用數(shù)據(jù)處理方法一.測量

物理實驗除定性觀察（水沸騰）外，更重要的是定量測量（水沸騰的溫度）1.定義：所謂測量是用一定的實驗方法通過一定的量具（或儀器）尋找待測量真值的操作過程測量值必須有數(shù)值和單位組成，兩者缺一不可90.70cm2.分類

（1）按測量結果獲得方法：直接測量：用標準量與待測量直接比較而得。

例：用直尺測量長度；以表計時間；天平稱質量；安培表測電流間接測量：經過直接測量與待測量有函數(shù)關系的物理量，再經過運算得到待測物理量的測量方法。

例：用鋼卷尺測量桌子的面積S=a×b=S(a,b)；鋼球密度測量（2）按測量條件：等精度測量和不等精度測量等精度測量：相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量

相同測量條件：同一測量水平的觀測者同一精度的儀器同樣的實驗方法同樣的實驗環(huán)境非等精度測量：不相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量二.誤差

真值是一個抽象的概念，一般情況下是未知的，但在下面幾種特殊情況下可以是已知的：

由于儀器、環(huán)境、人員和方法等方面諸多因素的影響，測量

值與真值總會存在一定的差異1.定義：指測量值與真值之差，①理論真值（三角形內角和）；②

約定真值（常用基本單位）；③

相對真值（高級標準器的指示值作為低級的相對真值）

如：用一等標準水銀溫度計測得20.2℃，二等標準水銀溫度計測得20.3℃，則二等標準水銀溫度計的相對誤差為0.5%

誤差是不希望出現(xiàn)的，但又不可避免的，要了解誤差出現(xiàn)的原因并盡量減小或消除它誤差的性質：①未知性（真值不可知）③普遍性（存在于一切測量當中）②隨機性（誤差值可正或負，可大或小，難以預測）

按誤差性質可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差（1）系統(tǒng)誤差：相同條件下多次重復測量時，誤差的大小、符號保持恒定，具有一定的規(guī)律（如：零點不準、天平不等臂、刻度不均勻等）分類：已定系統(tǒng)誤差（大小和符號可以確定，如儀器零點誤差）未定系統(tǒng)誤差（大小和符號不能確定）如何發(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)誤差將在第二次課介紹2.分類

（2）隨機誤差：誤差值可正或負，也可大或小，難以預測，有隨機性，但測量次數(shù)多時，又符合一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布）

單峰性對稱性有界性f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機誤差常呈正態(tài)分布，服從概率密度函數(shù)f(δ)（如圖），可見隨機誤差特點：

個別偏離于其它數(shù)據(jù)很大的誤差，由于人為、儀器或環(huán)境方面引起，又稱疏失誤差或過失誤差（例如：儀器損壞，操作錯誤，讀數(shù)錯誤，記錄錯誤），應剔除（3）粗大誤差3.誤差的表示形式（1）絕對誤差

用絕對大小給出的誤差：δ＝x－x0，可正可負，有單位（2）相對誤差

絕對誤差與被測量真值的比值：E＝δ/x0，無單位，用％表示例：測量兩個物體的長度：L1=100

m，L2=1

m；

絕對誤差分別為δ1=0.1

m，δ2=0.01

m；

相對誤差分別為：E1=0.1%，E2=1.0%L1測量結果好，稱精度高4.測量結果的好壞的評價---精度

也稱精確度/準確度，描述測量結果與真值的接近程度定性概念，不能用數(shù)值大小來表示，只能講高低

精密度（各測量值之間的接近程度---隨機誤差）和正確度（測量結果與真值的偏離程度---系統(tǒng)誤差）的綜合反映

三.不確定度1.概念表示被測量不能確定的程度，故稱為“不確定度”，反應誤差可能出現(xiàn)的范圍或真值可能處的范圍反映測量精度：不確定度小，測量精度高，測量值接近真值；反之亦反通常習慣說誤差越小，測量結果質量越好，即用誤差評定測量結果好壞；但因真值不可知，誤差不能確定，故用誤差評定是不合理的如何給定待測量的大??？并能反映測量結果好壞（精度高低）？測量結果最終表示：x=2.7±0.3（表示待測量可能處于2.4~3.0之間）最佳值不確定度

不確定度是用來評定測量質量的一個重要指標，國內外在計量、檢測、工業(yè)、商業(yè)、外貿等領域已逐漸采用不確定度代標準差表示測量結果的質量2.分類

測量不確定度通常包括幾個分量，根據(jù)評定方法可分兩大類：（1）A類分量（采用統(tǒng)計方法評定獲得的）用算術平均值的標準差公式估算：

使用條件：直接測量量；等精度測量不確定度大小可根據(jù)概率統(tǒng)計學來評定（貝塞爾公式）（2）B類分量（用非統(tǒng)計方法評定獲得的）約定：（3）合成不確定度儀器極限誤差Δ儀=等級×量程/100數(shù)字式取末位數(shù)1個單位；刻度式取最小分度一半例：用電表的200mA量程測電流，該電表級別為0.05，則該電表的Δ儀=0.05×200/100=0.1mA3.測量結果的表示（1）最佳值估計由隨機誤差對稱性（大小相同、符號相反的誤差出現(xiàn)機會相同）特點可知，無數(shù)次測量時，測量值的平均值接近真值，故可用算術平均值代替真值（2）測量結果的表示ur為相對不確定度。相對不確定度越小，表示測量質量越好1.定義由表征測量結果的可靠數(shù)字與可疑數(shù)字組成，可疑數(shù)字一般只有一位由儀器和待測量的大小共同決定四.有效數(shù)字由于誤差存在的普遍性，實驗中某物理量的測量值及運算結果都是近似的。合理的近似，既能充分反映測量精度，又簡單明了。這種近似的數(shù)據(jù)是有效的，被稱為有效數(shù)字2.有效數(shù)字的位數(shù)由左邊第一個非零數(shù)字起至最后一位數(shù)字止例如:用最小分度值為1mm的尺，測量一物體長度得到1.65cm。“5”是在6和7兩個整毫米刻度內估讀的，是不可靠的，可疑數(shù)字；1.6是由尺子刻度直接讀出的，是可靠數(shù)字15.86，四位有效數(shù)字5.32，三位有效數(shù)字5.320，四位有效數(shù)字0.0532，三位有效數(shù)字注:末尾的“0”是有效數(shù)字，不能去掉此長度如果在1cm以內，則有1位可靠數(shù)字；若該物體用千分尺量則有4位可靠數(shù)字3.獲取原則（1）直接測量：有指針或刻度的儀器：最小刻度以下再估讀一位數(shù)字顯示儀表：顯示值均為有效數(shù)字，不再估讀（2）間接測量：末位數(shù)必須與不確定度末位對齊在本課程中絕對不確定度的有效數(shù)字只要求取1位相對不確定度的有效數(shù)字，一般取1~2位4.修約規(guī)則當實驗結果的有效數(shù)字位數(shù)較多時，進行取舍一般采用1/2修約規(guī)則。（1）需舍去部分的總數(shù)值大于保留部分末位半個單位，末位加1（2）需舍去部分的總數(shù)值小于保留部分末位半個單位，末位不變（3）需舍去部分的總數(shù)值等于保留部分末位半個單位，末位湊偶3.14161→2.71729→4.51050→5.62350→6.378501→3.1422.7174.5105.6246.3798.927513→8.928修約成4位有效數(shù)字：（四舍六入五湊偶）單位換算時有效數(shù)字的位數(shù)不變

1.3m＝1.3×103mm≠1300mm1300mm＝1.300m≠1.3m

用科學記數(shù)法表示u=0.112→u=0.5350→ur=12.52%→ur=1.232%→不確定度有效數(shù)字取舍一般采用1/3修約規(guī)則u=0.1；u=0.6;ur=13%;ur=1.2%；5.運算規(guī)則加減運算尾數(shù)（數(shù)量級最大的）取齊；乘除運算位數(shù)（最少的）取齊；乘方、開方的有效位數(shù)與其底的有效數(shù)字相同；函數(shù)的有效數(shù)字根據(jù)不同的情況有不同的規(guī)定，如：指數(shù)函數(shù)：與指數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同自然對數(shù)：其尾數(shù)的位數(shù)與該數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同三角函數(shù)：根據(jù)角度的不確定度來確定最后的有效位數(shù)中間過程多取1位1.對直接測量列數(shù)據(jù)處理（等精度測量）：數(shù)據(jù)處理時，可忽略已定系統(tǒng)誤差和粗大誤差（實驗過程中已盡量消除）（1）求算術平均值，作為測量結果的最佳值。（2）計算算術平均值的標準差，作為標準不確定度的A類分量。（3）根據(jù)儀器的極限誤差，計算標準不確定度的B類分量。（4）計算合成不確定度和相對不確定度。（5）完整表示測量結果數(shù)據(jù)處理步驟歸納

物理實驗中，一般只有一個A類分量和一個B類分量，且假定兩個分量相互獨立：a）.多次測量：b）.單次測量：單次測量時不確定度A類分量，無法考慮，合成不確定度只考慮B類分量。即：用0~25mm的一級千分尺測鋼球的直徑D，6次數(shù)據(jù)為：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mm，D4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm寫出完整的實驗結果。解：①求算術平均值注：按數(shù)據(jù)處理的規(guī)則，在計算過程中平均值可以暫時多取一位有效數(shù)字，目的是防止計算誤差擴大化。例：②求A類不確定度分量③求B類不確定度分量u查得該千分尺所以：④合成不確定度（有效數(shù)字保留1位）（有效數(shù)字多取1位）（有效數(shù)字多取1位）⑤完整結果表示：D=（3.124±0.002）mmP=68.3%注：測量結果的有效數(shù)字與不確定度的末位對齊2.

間接測量的數(shù)據(jù)處理：間接測量量：y直接測量量：x1,x2,…,xk（1）最佳值：（2）不確定度傳播公式間接測量量y的不確定度與各直接測量量的不確定度之間的關系為：附：偏導數(shù)求法（多元函數(shù)的微分學）

函數(shù)y=f(x1,x2,x3,------)，y為因變量，xi(i=1,2,3,---)為自變量當只有一個自變量時，即y=f(x1)，稱一元函數(shù)當有兩個（或兩個以上）自變量時，即y=f(x1,x2)，稱多元函數(shù)對于多元函數(shù)，對某一自變量求導，稱為函數(shù)對該自變量的偏導數(shù)，記為求多元函數(shù)關于某個自變量的偏導數(shù)，并不需要新的方法，只需將其它自變量看做常數(shù)即可，仍是利用一元函數(shù)的求導法則和求導公式，

例如：對二元函數(shù)z=x2sin2y求偏導數(shù)：對x求偏導：(將y視為常數(shù))對y求偏導：(將x視為常數(shù))2xsin2y==

2x2cos2y

試求體積V并表示多取一位實驗結果。②求V的不確定度：例：用千分尺測量圓柱體的體積V，已求得直徑為：解：①求V：注：A、常數(shù)π的有效數(shù)字應比測量值的有效數(shù)字多取一位，目的是讓常數(shù)取值的誤差忽略不計。B：體積V的有效數(shù)字應符合有效數(shù)字運算法則。根據(jù)不確定度傳播公式：③實驗結果表示：人類從事科學實驗的一個重要目的是：由測量數(shù)據(jù)總結出規(guī)律，提取相關的參數(shù)和信息，這就需要對實驗數(shù)據(jù)進行處理在基礎物理實驗中，常用到的有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法等五.常用數(shù)據(jù)處理方法1、列表法（將測量數(shù)據(jù)按一定形式和順序列成表格）常用于原始數(shù)據(jù)的記錄或其它數(shù)據(jù)處理方法的基礎要求：（1）簡明，便于表示對應關系，處理數(shù)據(jù)方便。

（2）寫明表的序號和名稱，標明物理量、單位及數(shù)量級。

（3）表中所列數(shù)據(jù)應是正確反映結果的有效數(shù)字。

（4）測量日期、說明和必要的實驗條件記在表外。舉例：

表1伏安法測100電阻對應數(shù)值表2002/9/5注：電壓表量程7.5V精度等級1.0，電流表量程50mA精度等級1.0A、要求（先給出實驗數(shù)據(jù)表格）

(1)、根據(jù)各變量之間的變化規(guī)律，選擇相應類型的坐標紙。

(2)、正確選擇坐標比例（以讓曲線充滿圖紙為原則，不必通過零點）。

(3)、寫明圖名、各坐標軸所代表的物理量、單位、數(shù)值的數(shù)量級等。

(4)、數(shù)據(jù)描點要用“×⊙⊕◆”等比較明顯的標識符號。不能用“.”

(5)、對變化規(guī)律容易判斷的曲線以平滑線連接，曲線不必通過每個實驗點，各實驗點應均勻分布在曲線兩邊；難以確定規(guī)律的實驗可以用折線連接。2、作圖法（將實驗數(shù)據(jù)依照自變量和因變量的關系做成曲線，以便反映兩者的函數(shù)關系，尋找經驗規(guī)律）

通過作圖可以判斷各量的相互關系，特別是在還沒有完全掌握科學實驗的規(guī)律和結果的情況下，或還沒有找出適合的函數(shù)表達式時，作圖法是找出函數(shù)關系式并求得經驗公式的最常用的方法之一。如二極管的伏安特性曲線、彈簧振子振幅衰減規(guī)律曲線等，都可從圖上清楚地表示出來B.

應用

作圖法的應用主要表現(xiàn)在以下兩方面：

(1)判斷各量的相互關系

(2)圖上求未知量—圖解法①

線性函數(shù)未知量求法②非線性函數(shù)未知量求法――曲線改直問題y=axb形式，a、b為常數(shù)，將方程兩邊取對數(shù)得到：1gy=b1gx＋1ga在直角坐標紙上取lgy為縱坐標,1gx為橫坐標,得到一條直線,從而可以求出系數(shù)a和b注：在擬合的直線兩端取點，不取實驗點b⊕⊕⊕⊕應用條件：

(1)、函數(shù)可以寫成x的多項式形式，即：

y=a0+a1x+a2x2+a3x3實際上，由于測量精度的限制，3次以上逐差已很少應用

(2)、自變量x是等間距變化，即：

xi-xi-1

=c（式中c為一常數(shù)）

3.逐差法（略）

逐差法：將因變量逐項相減或按順序分兩組對應項相減，至逐差值趨于某一常數(shù)，然后將差值作為因變量的多次測量值進行數(shù)據(jù)處理（求算術平均值）的方法例：對y=f(x)，測得測量列xi（i=1,2,…,n）、yi（i=1,2,…n）逐差法的作用和應用：（1）逐項逐差

-------判斷函數(shù)關系若一次逐差：基本相等，則（線性關系）若二次逐差：

基本相等，則可依次類推，進行其它判斷（二次多項式）例:求彈簧的倔強系數(shù)，根據(jù)虎克定律F=kΔx，等間距改變外力Fi，可以相應地得到不同的彈簧的伸長量xi，測量6次數(shù)據(jù)。隔3項（n/2）逐差：每一個數(shù)據(jù)都能用上，可取

（2）隔項逐差——求物理量最后，根據(jù)可求得倔強系數(shù)逐項逐差：沒有充分利用數(shù)據(jù)，不可取逐差法優(yōu)點：能充分并均勻地利用數(shù)據(jù)能消除一些定值系統(tǒng)誤差（如：拉伸法測量鋼絲的倔強系數(shù)k，其中包含了鋼絲由彎曲變直造成的伸長，必然存在系統(tǒng)誤差---儀器零點誤差）與作圖法相比，沒有人為擬合的隨意性與最小二乘法相比，計算簡單一些，但結果相近4.最小二乘法作圖法的優(yōu)點是形象直觀，但在定量關系的而研究上不夠嚴謹，擬合出來的曲線帶有某種人為的隨機性，同樣的實驗數(shù)據(jù)可能擬合出不同的參數(shù)值；

“最小二乘法”是一種從實驗數(shù)據(jù)中提取經驗規(guī)律比較嚴格的方法；建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎上的一個數(shù)學原理，它被廣泛地應用在數(shù)據(jù)處理過程中(如實驗曲線的擬合、經驗公式的確定)

一般情況下，最小二乘法可以用于線性函數(shù)，也可以用于非線性函數(shù)，由于在測量技術中，大量的問題是屬于線性的或可以轉換成線性函數(shù)，而非線性也可以在某一區(qū)域內展成線性函數(shù)來處理，因此，我們主要討論線性函數(shù)的最小二乘法如何用最小二乘法進行線性擬合：在等精度條件下測得x1，x2……xn和對應的y1，y2……yn，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可以得到一組觀測方程：設已知函數(shù)形式為：…………觀測方程個數(shù)大于未知量的數(shù)目時，如何確定a和b的最佳值？(xi,yi)y=a0+b0x應使各測量點離最佳曲線上相應點的y向距離（白線）的殘差平方和最小（忽略x方向差異）。假定最佳方程y=a0+b0x，則殘差得：再對其進行兩邊求和，得到：依據(jù)最小二乘原理（有極值），一階偏導數(shù)為0：

由此得出方程：解方程組可得：最小二乘原理

是在滿足各測量殘差平方和∑

＝最小的條件下(殘差，即測量值-最佳值)，求解出方程中的未知量為最佳值。用這一原理處理數(shù)據(jù)的方法稱為最小二乘法應用舉例為確定電阻隨溫度變化的關系式，測得不同溫度下的電阻如表1所示。試用最小二乘法確定關系式：R=a+bt。

表1電阻隨溫度變化的關系t/℃19.025.030.136.040.045.150.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：1.列表算出：將表中數(shù)據(jù)代入2.設最佳方程為：nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.303651457