2010年數(shù)學(xué)建模題全國一等獎

高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)評閱前進行編號賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用統(tǒng)一編號（由賽區(qū)送交前編號）：評閱編號（由 評閱前進行編號位高度以及變位參數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，主要應(yīng)用了mtalab進行求解。率(變位前后儲油量之差絕對值的平均值占總罐體容積的比例)作為評價罐體變位對罐容表的影響程度的大小的指標(biāo)，求出4.87。并分別給出了小橢圓儲油罐在無變表1…儲油體積V0~………4.1017~了最佳的變位參數(shù)為：縱向傾斜變位2.16，橫向偏轉(zhuǎn)變位4.50。并據(jù)此對儲平均影響 最小二乘參數(shù)估計 模題重斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。利用罐體變位后在進/出油過程中的實型假符號說 儲油罐的縱向傾斜角 儲油罐的橫向偏轉(zhuǎn)角 h油位高 R球冠體的半VT

R0題一的小橢圓儲油罐罐體變位前后都可以應(yīng)用積分的方法求出罐體的儲油量和油位高度如圖所示的坐標(biāo)系，橢圓的半長軸長為a，半短軸長為b，則橢圓方程為x2(yb)2 ab y方向上取橢圓面中的一微元dy1(y s1(y D

a1(yb)a1(yb)2h(2bVabLh arcsin(hb)h(2b

2aL h2b23V 2b23

2b2 根據(jù)此模型，我們可以求出小橢圓儲油罐無變位時罐容表標(biāo)定值(油位高1cm，結(jié)果見附錄一)v5區(qū)域)，考慮到傾斜角變化一般不會很大，所以我們可以將儲油罐按液面高低分成五個部分v1~v5，來求其儲油量和油位高度之間的關(guān)系。我們討論的是小橢圓儲油罐縱向傾斜變位為逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2。對于儲油罐順時針旋轉(zhuǎn)變位(即為負(fù)值)時的情況對區(qū)域v1

圖2油位開始有示數(shù)時，計算其儲油體積。將區(qū)域v1放大得到圖3圖3區(qū)域v1圖中，從原點紙面向里為x軸，利用三重積分可以 yblV1dxdydz bl Db其中l(wèi)為油位探針到儲油罐左側(cè)的距離b對區(qū)域v2的討

V12abl

1y2dy

由區(qū)域v1很容易得到區(qū)域v2的儲油量和油位高度的變化關(guān)系，直接給出結(jié)論 dy

yhltan b(hltan DbV22ab(hltanb

11圖4區(qū)域v3在小橢圓儲油罐無變位模型中我們已經(jīng)求出了v的計算公式，同區(qū)域v1中的積分原理可以計算出va和vb，我們就可以得到此時的油量體積為v3vav

ah

2hl

h vabLh arcsin(hb) 2h dx vb h dx h(Ll)

對區(qū)域v4的討由區(qū)域4和區(qū)域2的相似性，將(3)式中的h換為(2bh)，將l換為(Ll)，并用總體積減去V2V4VTdxdydzVT2 dy

y1.2h(Ll)tan D其中VT為小橢圓儲油罐的總體積

b1.2h(Ll)tan bV4VT2ahb(Ll)b

11對區(qū)域v511bV52ab(Ll)b

yb(Ll)

綜上所述，我們得到了儲油量V和油位高度h、縱向傾斜角表2V(h,儲油量V/ 1hV[0, ybl bl 2h(0,(L-l)tanV yhltan b(hltan 32b-ltan]hl a1( hylV3 hb h abL h(2bh)arcsin(b)2 a1( dxhyltanh(Ll 4h(2b-ltan,VV ybh(Ll) 1 hb(Ll) 5h yb(Ll) V5(VT2ab(Ll) 1b2dy,VT根據(jù)儲油量和油位高度的分段函數(shù)關(guān)系我們可以得到罐體縱向傾斜變位(后油位高度間隔為1cm當(dāng)4.1儲油量V1hV1[0,23hV3(0.1513,4hV4(3.9588,5h測量測量理論43儲油量儲油量210 油位高圖5Vh通過對比我們發(fā)現(xiàn)，對于任意h，儲油量的理論值和實際值始終成如(7)式的比例V測量V理

43儲油量儲油量21 油位高度圖6Vh4.3.34.1變位變位前變位后變位變位前后儲油量211油位高度0圖7Vh位后對罐容表的影響。從圖9中可以看出，當(dāng)油位高度h較小時(0.1m附近)n來刻畫罐體變位后對罐容表的影響?？梢郧蟪鲈诳v向傾斜變位4.1時，4.87%題二的10

L H2RH球 3 帶入數(shù)據(jù)得到：兩端球缺總體積為8.1158m3，則儲油罐的總體積為64.6645

h2hL R2hR2 0 R Rh

Sdh

arc

RH

RHh

球

0

h hR為圓柱體底面半徑R0為球缺對應(yīng)的半徑r為球內(nèi)小圓半徑Vh2V球缺hV圓柱 R R0 Rh R0Hdh20L 11hRR cos 所以

V RhVRcos1213R2R2

V1VaVbR2VcR2

dzR

yRl VbVltan

由于Va5所我們考慮將這部分體積省略，進行近似計算。由于傾斜角較小，所以區(qū)域3占

VcRV1R

R2y2dy ltan 在區(qū)2油位高度h的變化范圍0，Lltan。Vc

R2R2RR

R2y2VbV球缺hltanR

VaV2

R2y2dy hltan 球在區(qū)3中，油位高度h的變化范圍Lltan，2Rltan。hl

VcVhV1hyl V22h(Ll)tan

dxhyltanbVhltanVhLltan，VaV3V圓柱hV1V2V球缺hltanV球缺hLltan 在區(qū)4中，油位高度h的范圍2Rltan，2RR2R2y2

yRh(Ll)cV2hR(Ll

VbVhLltanVVa

V

yRh(Ll) Rydy hLltan 圓 hR(Ll) 球 球 V V l) R2y2cR2y2R(Ll) VbV2RLltanV，Va V l) 圓 R

dy 2RLltanR(Ll) 球 球圓 V y(Ll)tan R2y2dy 2RLltanV ,圓 R 球 球 進行變換即可得到綜合考慮了儲油罐縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)的V(h,,)V Rh cos14hRRcosRRcosltan,在此區(qū)域h依然恒等于零，V(,的(因此區(qū)域h0，所以只是求其最大體積)一般關(guān)V

dxyRR(1cos)ltandz R1cosltanR2 R2RR(1cos 球缺 2 yRcosl R2y2dy R1cosltan Rcos由式

hRR cos

hR(Rh)cosh(Ll)tan0h(Ll)tanR1cosRV2(h) R

R2 R2

hltan 0 0 然后只需要做下式的變換即可得到V(h, Rh2V2R

cos(Ll)tanR1coscoshRR cosh2Rl

(Ll)tanR1coshR1cosltancos cosV3(h)V圓柱hV1V2V球缺hltanV球缺hLltan 然后只需要做下式的變換即可得到V(h,V Rhcos3V3Rcosh

cos R2RV4(h)V圓柱2h(Ll)tanRR2R

yRh(Ll) dzV球缺hLltan V Rhcos4V4RcosR2VR2

2

yRcos(Ll)dz

R1cosLltan圓 球 球

Rh5V5R coscos最小二乘參數(shù)估計法基本思想：根據(jù)V(h,ii1.2.3...n計算出相鄰高度油量的體積之差ViV(hi1,,)V(hi,, 通與附件的實際儲油量Vi進行比較，通過對、進行等間距的窮舉最終求得理論值與實際值V的差值的平方和SVV')2VV')2VV')2，當(dāng)S 小值，此時、的即為所求的最佳值。即求解如下最小二乘擬合模

S(,)(ViVi'算法描述：輸入n組顯示h1、h2、h3...hn、輸出 向偏角、的Step1:h1、h2、h3...hnV(h,,)關(guān)系式，求得V1V(h1)V(h2),V2V(h2)V(h3、

...VnV(hn1V(hn 關(guān)Step2:根據(jù)附錄找出實際對應(yīng)的出油量V1'，V2'，V3 Vn'Step3:對、進行等間距窮舉，同時計算出S(VV')2，當(dāng)S

小值時，求得、的值

用最小二乘參數(shù)估計法得到的變位參數(shù)為：2.164.50，角度都符合實據(jù)所建立的儲油量V和油位高度h以及變位參數(shù),的一般模型計算得到罐容表。42.160儲油體積V012364.0034,15六模型的檢驗?zāi)Ｐ偷臋z驗（模擬方法Step1:Q式。并尋求一包含該區(qū)域Q的最小長方體。建立坐標(biāo)系，確定Q所在的區(qū)Step2:均勻做點，在長方體內(nèi)分別從x,y,z三個坐標(biāo)軸依次等間距的產(chǎn)點pi(xi,yizi，記錄落入該區(qū)域的點以及生成的點的總數(shù)M體區(qū)域的總體積V

mVM在模擬中對不同區(qū)域分別進行求解所忽略部分的體積VQ,再與所得到的理論值相改進V(h,,)的函數(shù)關(guān)系以使得更好地利用最小二乘參數(shù)估計法。八模型的改進參考，，石油油罐體積計算方法的探討，吉林化工學(xué)院學(xué)報，第6期附0儲油體積V01附表2儲油體積V0~4.1017~symsyabh gridonaxis([01.20 2404.982406.83:50:2906.832906.91:50:3706.91];1026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.36 2.30372.35212.40272.45222.49782.54862.59952.64462.69622.84722.89582.9422.99253.04413.08963.14083.18973.2343.3793.42353.47313.51763.56943.26273.31273.36273.41273.46273.51273.5147611.62739.39867.60992.411006.341019.071034.24gridongridongridonsymsyhholdongridonaxis([01.40symsholdongridonsymsyholdongrid symsyhholdongridonaxis([01.40symsholdongridonsymsyholdongrid v1=[5.44007.31569.377711.602013.960116.435919.007821.655424.367027.120832.702835.499838.279341.022743.719646.348148.896351.343453.667555.849559.686461.2643v01=[0.02020.02700.03990.04050.04660.05200.05660.06030.06300.06460.06510.06290.06020.05650.05190.04660.04060.03420.02760.02100.01480.00450.00019v0(1)=[];v2=v1+v0;holdongridon%估計參數(shù)detav=243.85/1000;minv=100;symsforifminv>abs(mv-detav)

aabbsymshbabv1=[309.66249.73186.43231.42297.79109.19162.87328.5166.13237.66h1=[11.349.206.848.4010.873.995.9511.926.038.59 fora=linspace(0,0.1745,10)forb=linspace(0,0.1745,10)fori=1:10if

symsxy symsxy symsxy%區(qū)域3symsxy%區(qū)域4symsxy symshbh1=[2486.21