第4章 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計(jì)方法

1第4章無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器設(shè)計(jì)

4.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法4.6IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法4.4從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換4.5從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換4.3根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器4.1濾波器的基本原理2

在第2章中已涉及模擬濾波器的特性與應(yīng)用。本章將在進(jìn)一步討論濾波器的基本原理和模擬濾波器特性的基礎(chǔ)上，討論IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。

設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括以下三步：(1)按照任務(wù)要求，確定濾波器的性能。(2)

用一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)去逼近這個(gè)性能要求。這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為IIR和FIR兩類系統(tǒng)。確定系數(shù)ai、bi

或零、極點(diǎn)ci

、di，以使濾波器滿足給定的性能要求——第四章、五章討論(3)數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)：如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻率采樣型以及快速卷積（FFT）型等;確定運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)；選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。34.1濾波器的基本原理

所謂濾波，就是濾除或削弱信號(hào)中不需要的分量，保留有用的分量。在離散線性時(shí)不變系統(tǒng)中就是要尋找一系統(tǒng)函數(shù)H(z)或其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)對(duì)信號(hào)x(n)作差分運(yùn)算實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波。

當(dāng)選擇特定的系數(shù)ai、bi,得到y(tǒng)(n)便濾除了某些頻率分量，數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要工作就是按一定的要求尋找特定的系數(shù)ai、bi。4具有上述差分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為5-ππωc-ωcω01(a)π-πω0ω2-ω2ω1-ω11(c)圖4.1四種類型的理想濾波器

對(duì)于經(jīng)典濾波器，濾波器的幅頻特性是分段常數(shù)，在通帶內(nèi)逼近于1，阻帶內(nèi)逼近于0。從功能上可分為四種類型，如圖4.1所示π-πωc-ωcω01(b)π-πω0ω2ω1-ω2-ω11(d)4.1.1濾波器的分類6理想濾波器的沖激響應(yīng)是非因果的、無(wú)限長(zhǎng)的，因此是不可實(shí)現(xiàn)的。以低通為例，一種可實(shí)現(xiàn)的逼近方法是對(duì)理想濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行截短，從而得到一個(gè)有限沖激響應(yīng)的低通濾波器，它的幅頻特性曲線如圖4.2所示，不是理想的陡截止的通帶和阻帶，而是出現(xiàn)了一個(gè)平滑下降的“過(guò)渡帶”。4.1.2可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性11-δ10δ2ωcωrπω通帶過(guò)渡帶阻帶圖4.2低通濾波器的幅頻特性7在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動(dòng)δ和最小阻帶衰減Аt來(lái)表示：通帶內(nèi)阻帶內(nèi)其中ωc、ωr分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率。

可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字濾波器在通帶和阻帶的幅度響應(yīng)指標(biāo)一般以一定容限的允許誤差來(lái)表征：8IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法：1）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟、模擬濾波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來(lái)方便、準(zhǔn)確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。2）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法分兩步：

(a)

確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則：如最小均方誤差準(zhǔn)則。使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性與所要求的理想頻率響應(yīng)的均方誤差最小，9或最大誤差最小準(zhǔn)則等。(b)

在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù)ai和bi：通過(guò)不斷地迭代運(yùn)算，改變ai、bi，直到滿足要求為止。下面著重講第一種設(shè)計(jì)方法，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如設(shè)計(jì)低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍；由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸增多。104.2*常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，高通、帶通、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。模擬濾波器的設(shè)計(jì)中通常是根據(jù)幅度平方函數(shù)來(lái)逼近理想系統(tǒng)。

因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。幅度平方函數(shù)11式中Ha(s)—模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)

Ha(jΩ)—模擬濾波器的頻率響應(yīng)

|Ha(jΩ)|—模擬濾波器的幅頻響應(yīng)問(wèn)題：由A(Ω2)→Ha(S)對(duì)于給定的A(Ω2)

，先在S復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。由于ha(t)為實(shí)函數(shù)，所以Ha(s)的零、極點(diǎn)應(yīng)成對(duì)出現(xiàn)且互為共軛（對(duì)稱于S平面的實(shí)軸）；而Ha(-s)的零、極點(diǎn)與Ha(s)的零、極點(diǎn)成象限對(duì)稱，對(duì)稱于S平面的虛軸。所以選用A(-S2)的對(duì)稱零、極點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的極點(diǎn)，則可得到Ha(s)。12三種常用模擬濾波器的設(shè)計(jì)：4.2.1巴特沃茲濾波器(Butterworth濾波器)(巴特沃茲逼近)特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f↗，幅頻特性A(Ω2)單調(diào)↘。其幅度平方函數(shù)為：N為濾波器階數(shù)，Ωc為截止頻率；其幅度平方函數(shù)如圖4.3為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半（若要求最小相位，則應(yīng)選S左半平面的）。13圖4.3巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù)Ωr14（通常稱Ωc為3dB截止頻率）15振幅平方函數(shù)：令分母為零，得其極點(diǎn)：可見，Butterworth濾波器的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=Ωc的圓周上。則Spk為S平面左半部分的N個(gè)極點(diǎn)（5）在過(guò)渡帶內(nèi)，階次為N

的Butterworth濾波器的幅度相應(yīng)趨于斜率為-6NdB/倍頻程的漸近線。16

例：N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布，如圖4.4。此時(shí)圖4.4三階A(-S2)的極點(diǎn)分布17對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)位于S平面左半部分，因此Ha(s)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為SP3，SP4，SP5，它們分別為：系統(tǒng)函數(shù)為：令Ωc=1，得歸一化的三階BF：如果要還原的話，則用S/Ωc代替S，得：18

由以上分析可知：設(shè)計(jì)模擬濾波器其關(guān)鍵是確定其階數(shù)N和3dB截止頻率。19Butterworth

濾波器的設(shè)計(jì)步驟：20幾種低階歸一化巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：一階：二階：三階：21224.2.2切比雪夫（chebyshev）濾波器(切比雪夫多項(xiàng)式逼近)特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率Ωc處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次(N)很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的|H(jΩ)|2。切比雪夫?yàn)V波器的|H(jΩ)|2

在通帶范圍內(nèi)是等波紋起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量(波動(dòng)范圍)提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。振幅平方函數(shù)為:23—與通帶波紋有關(guān)的參量，大，波紋大?！行◣Ы刂诡l率VN（x）—N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為24Ω1/(1+ε2)A(Ω2)11/A2ΩrΩc(a)N為奇數(shù)A(Ω2)11/(1+ε2)1/A2ΩcΩrΩ(b)N為偶數(shù)圖4.5切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方特性25有關(guān)參數(shù)的確定:a、通帶截止頻率Ωc，預(yù)先給定b、通帶波動(dòng)為

所以給定通帶波動(dòng)值分貝數(shù)后，可求。26c、階數(shù)N—由阻帶的邊界條件(Ωc、Ωr、A)確定。將|VN(Ωr/Ωc)|代入上式得：

有了N、Ωc、ε之后即可查表求得H′a(s),然后去歸一化的Ha(s)。274.2.3橢圓濾波器（考爾濾波器）特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。其振幅平方函數(shù)為RN(Ω，L)—雅可比橢圓函數(shù)L—表示波紋性質(zhì)的參量28圖4.6N=5，的特性曲線可見，在歸一化通帶內(nèi)（-1≤Ω≤1），R52(Ω,L)在（0，1）間振蕩，而超過(guò)ΩL后，R52(Ω,L)在(L2~∞)間振蕩。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。29(b)N為偶數(shù)ΩrΩcA(Ω2)11/A2Ω1/(1+ε2)Ω(a)N為奇數(shù)1/(1+ε2)ΩrΩcA(Ω2)11/A2

下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)圖4.7橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)圖中ε和A的定義同切比雪夫?yàn)V波器30當(dāng)Ωc、Ωr、ε和A確定后，階次N的確定方法為：式中為第一類完全橢圓積分31上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)時(shí)按照指標(biāo)要求，合理選用。

一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。以上討論了由A(Ω2）→Ha(s),下面討論由Ha(s)→H(Z)的變換設(shè)計(jì)法。324.3根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個(gè)由S平面到Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：(1)H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓ejω上。(2)Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H(z)后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|<1。從模擬濾波器到特性相近的數(shù)字濾波器(S平面Z平面)有兩種常用的映射變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。334.3.1脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)逼近模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t),讓h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即h(n)=ha(nT),

T為采樣周期。如以Ha(s)及H(z)分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的Z變換，即:34計(jì)算H(Z):脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)系統(tǒng)函數(shù)，模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)N＞M，則可表達(dá)為部分分式形式；其拉氏反變換為：?jiǎn)挝浑A躍對(duì)ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列35再對(duì)h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和如該級(jí)數(shù)收斂，則所以36S平面與Z平面間的映射關(guān)系：下面我們來(lái)討論理想采樣信號(hào)的拉氏變換與采樣序列的Z變換之間存在的S平面與Z平面的映射關(guān)系。理想采樣信號(hào)的拉斯變換：的Z變換37比較與可得：以上映射關(guān)系是否滿足從模擬濾波器到數(shù)字濾波器的要求呢？下面從映射關(guān)系來(lái)判斷。從S平面到Z平面的映射關(guān)系為令

則有

因此

（1）當(dāng)時(shí)，，即s平面的軸映射為z平面上的單位圓（2）當(dāng)時(shí)，，即s的左半平面映射為z平面上的單位圓內(nèi)（3）當(dāng)時(shí)，，即s的右半平面映射為z平面上的單位圓外38另外,由于，所以，當(dāng)變化時(shí)，

軸映射到單位圓上，軸上每一段都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周。即S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個(gè)平面上:每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外，以上映射關(guān)系如圖4.8所示。所以,如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么變換后H(Z)的極點(diǎn)也都在單位圓以內(nèi)，即,因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。39S平面Z平面圖4.8脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系40以上討論表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的S平面到Z平面的變換，首先對(duì)Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過(guò)的映射關(guān)系映射到Z平面上。H(ejω)與Ha(jΩ)的關(guān)系：

是的周期延拓：由于是的采樣信號(hào)所以41

所以，數(shù)字濾波器的頻響并不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓。也就是說(shuō)，z=esT的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延拓與H(Z)的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H(Z)的關(guān)系，因此，使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從Ha(s)到H(z)并沒(méi)有一個(gè)由S平面到Z平面的一一對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒(méi)有一個(gè)S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。而:即:42正如第一章的采樣定律中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率Ωs/2以內(nèi)，即這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率ΩS/2以內(nèi)）但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的混疊，如圖4.9所示。這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而具有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越?。淮藭r(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。43圖4.9脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊失真44例4.3將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)

的模擬濾波器數(shù)字化。解：模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:如圖4.10(a)45數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為:顯然與采樣間隔T有關(guān),如圖4.10(b),T越小,衰減越大,混疊越小,當(dāng)fs=24Hz,混疊可忽略不計(jì)。圖4.10脈沖響應(yīng)不變法的幅頻響應(yīng)46小結(jié)2)脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關(guān)系。因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過(guò)變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系，例如，一個(gè)具有線性相位的模擬濾波器通過(guò)脈沖相應(yīng)不變法可以映射為一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。1)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。3)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。474)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通；且高頻衰減越大，頻響的混疊應(yīng)越??；至于高通和帶阻濾波器,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混疊在低頻響應(yīng)中，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于Ωs/2的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用。484.3.2雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜混疊產(chǎn)生失真，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z＝esT的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步：第一步：將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。由此建立S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混疊現(xiàn)象（映射關(guān)系見圖4.11)。49s平面s1平面z平面圖4.11雙線性變換法的映射關(guān)系

為了將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T一段上，可通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：50上式中的C是待定常數(shù)，后面會(huì)介紹用不同的方法確定C，使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)過(guò)(1)式的頻率變換，當(dāng)Ω由-∞→∞時(shí),Ω1由-π/T經(jīng)過(guò)０變化到π/T。S平面的整個(gè)jΩ軸被壓縮到S1平面的2π/T

一段內(nèi)?？蓪⒋岁P(guān)系解析延拓至整個(gè)S平面和S1平面，令jΩ=S,jΩ1=S1,則得：(1)式又可表示為：51常數(shù)C的選擇C的選擇一般有兩種方法：(1)使模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

即在低頻處使，因?yàn)榇藭r(shí)頻率較低時(shí),所以有:再將S1

平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，則可得到S平面與Z平面的單值映射關(guān)系為：或即令52(2)使數(shù)字濾波器某一特定頻率（如截止頻率ωc）與模擬濾波器的一個(gè)特定頻率（如截止頻率ΩC）嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)，即：

在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，常常需要在通帶內(nèi)（低頻處）盡量保持?jǐn)?shù)字頻率與模擬頻率之間的線性關(guān)系，所以通常取所以，要使得，則必有53所以，可得到S平面與Z平面的單值映射關(guān)系為：或現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從S平面到Z平面映射變換的二個(gè)基本要求：①當(dāng)時(shí)，得：可見此時(shí)，；即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。54時(shí)②即S左半平面映射在單位圓內(nèi)，S右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過(guò)雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。55雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與Z平面一一單值對(duì)應(yīng)，S平面的虛軸(整個(gè)jΩ)對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓的一周，S平面的Ω=0處對(duì)應(yīng)于Z平面的ω=0處，即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混疊效應(yīng)。但這是由頻率的非線性關(guān)系換來(lái)的。由(2)式可得如圖4.12所示圖4.12雙線性變換的頻率關(guān)系（非線性）Ω0ωπ-π56小結(jié):

(1)與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：S平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到的），即整個(gè)jΩ軸單值的對(duì)應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為：可見，ω和Ω為非線性關(guān)系，如圖4.13。圖4.13雙線性變換法的頻率關(guān)系Ω/πω/π01157

由圖中看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線性關(guān)系，Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長(zhǎng)變得緩慢，Ω→∞，ω→π(ω終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。(2)雙線性變換缺點(diǎn)：

Ω與ω成非線性關(guān)系，

這將導(dǎo)致：

a.

數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。

例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過(guò)雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器58b.

線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。c.要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的，故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過(guò)雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過(guò)渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過(guò)預(yù)畸來(lái)加以校正。59預(yù)畸變：即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過(guò)雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。利用關(guān)系式：將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn)ωi，變換成對(duì)應(yīng)的模擬域頻率Ωi，利用此Ωi

設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過(guò)雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是ωi。如圖4.14所示。60圖4.14雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸61(3)計(jì)算H(Z)雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單。由于S與Z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過(guò)代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。置換過(guò)程:頻響：這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對(duì)于IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換。624.4從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）

對(duì)于模擬濾波器,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案，如巴特沃茲濾波器,切比雪夫?yàn)V波器,考爾濾波器,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式，同時(shí)，也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線，為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，只要掌握原型變換，就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計(jì)方法，也可通過(guò)前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，具體過(guò)程如下(如圖4.15所示)：

63從模擬低通設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的方法：圖4.15從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器模擬低通原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通數(shù)字頻率間的變換(S

Z）(2)模擬數(shù)字(S

Z）模擬低通原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻(3)模擬數(shù)字模擬低通原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬模擬(SZ）模擬數(shù)字(1)*641）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率{ωk}。2）由變換關(guān)系將{ωk}映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值{Ωk}。3）根據(jù){Ωk}設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha(s)4）把Ha(s)變換成H(z)(數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)）通過(guò)模擬原型直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟：下面討論利用模擬濾波器歸一化低通原型，通過(guò)S域到Z域的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的方法。65例4.4設(shè)采樣周期,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1kHz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求出對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器。解：a.脈沖響應(yīng)不變法

由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按Ωc=2πfc設(shè)計(jì)Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率Ωc

歸一化的三階巴特沃茲濾波器的傳遞函數(shù)為：以S/Ωc代替其歸一化系統(tǒng)函數(shù)中的S，得：4.4.1低通變換(LP-LP)66

也可以查表得到。由手冊(cè)中查出巴特沃茲多項(xiàng)式的系數(shù)，之后以S/Ωc代替歸一化頻率，即得Ha(s)。

將Ωc=2πfc代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但為簡(jiǎn)化運(yùn)算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算出Ha(S)的極點(diǎn)，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)：對(duì)照前面學(xué)過(guò)的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式,有67將上式系數(shù)及極點(diǎn)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：Si：極點(diǎn)并將Ωc＝ωc／T

代入，得：合并上式后兩項(xiàng)，并將ωc=2πfc/fs=0.5π代入，計(jì)算得：68可見，H(Z)與采樣周期T有關(guān)，T越小，H(Z)的相對(duì)增益越大，這是不希望的。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出H(Z)后，再乘以因子T,使H(Z)只與ωc

有關(guān)，即只與fc和fs的相對(duì)值fc/fs有關(guān)，而與采樣頻率fs無(wú)直接關(guān)系。例如，與的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適用于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。最后得：69b.雙線性變換法（1）首先確定數(shù)字域臨界頻率（2）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸變的模擬濾波器臨界頻率(3)以s/Ωc代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)（4）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。并將Ωc=2/T代入上式得：70兩種方法求出的系統(tǒng)函數(shù)的幅頻特性曲線如圖4.16所示71圖4.16三階Butterworth數(shù)字濾波器的頻響7273頻率/Hz圖4.17三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng)幅度74由于脈沖響應(yīng)不變法對(duì)于高通、帶阻等都不能直接采用，或只能在加了保護(hù)濾波器后才可使用。因此，使用直接頻率變換，對(duì)脈沖響應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮。在此，我們著重討論雙線性變換法?；陔p線性變換法的高通濾波器設(shè)計(jì)：

從模擬低通濾波器到模擬高通濾波器的變換就是將變量S的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)，即，只要將LP-LP變換式中的S用1/S代替，就實(shí)現(xiàn)LP-HP的變換。4.4.2高通變換（LP-HP)從模擬低通直接設(shè)計(jì)數(shù)字高通存在S域到Z域的頻率變換，因此，我們必須對(duì)頻率變換方法有所考慮。75由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會(huì)影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且jΩ軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。即如圖4.18所示即用實(shí)現(xiàn)S平面到Z平面的轉(zhuǎn)換76左圖中：Ω=０映射到ω=π即z=-1Ω=∞映射到ω=0即z=1這一曲線的形狀與雙線性變換時(shí)的頻率非線性關(guān)系曲線相對(duì)應(yīng)，只是將ω坐標(biāo)倒置，因而通過(guò)這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖4.19。1.00圖4.18高通變換頻率關(guān)系77圖4.19高通原型變換78應(yīng)當(dāng)明確：

所謂高通DF，并不是ω高到∞，由于數(shù)字頻域存在折疊頻率ω=π，對(duì)于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器，ω由π~2π

部分只是ω由π~0的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是ω=0~π，高通也僅指這一段的高端，即到ω=π為止的部分。

變換的計(jì)算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預(yù)畸變的臨界頻率時(shí)，應(yīng)采用，不必加負(fù)號(hào)，因臨界頻率只有大小的意義而無(wú)正負(fù)的意義。79例：采樣頻率fs=10kHZ，Ｔ=100μs,設(shè)計(jì)一個(gè)三階切比雪夫高通DF，其通過(guò)頻率f>2.5kHZ,（但不必考慮fm/2>5kHZ以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。解：首先確定數(shù)字域截止頻率ωc=2πfc/fs=0.5π,則切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：其中：VN(·)為N階切比雪夫多項(xiàng)式80N=3時(shí),系統(tǒng)函數(shù)為：于是通帶損耗時(shí)，81圖4.20三階切比雪夫高通頻響82例4.10

設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400～500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動(dòng)，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1000Hz。解：預(yù)畸變后的模擬邊界頻率將Ωc、Ωr、ｓ對(duì)T/2歸一化：83

A2實(shí)際是與阻帶最小衰減有關(guān)的值，1/A2是阻帶內(nèi)最大振幅平方，也就是最小阻帶衰減，如以分貝值表示這一衰減量，則，e是以分貝計(jì)的阻帶衰減

已知最小阻帶衰減為e=19dB，故；將一起代入(1)式，即求得最小的N為3。確定最小階數(shù)N:模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為:84

根據(jù)N、ε、Ωc則可查找濾波器手冊(cè)得到相應(yīng)歸一化系統(tǒng)函數(shù):將代入上式得：85wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));

wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));

[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');

[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');

[num,den]=bilinear(B,A,1000);

[h,w]=freqz(num,den);

f=w/pi*500;

plot(f,20*log10(abs(h)));

axis([0,500,-80,10]);

grid;

xlabel('') ylabel('幅度/dB')86圖4.21切比雪夫高通濾波器頻率/Hz幅度/dB874.4.3帶通變換(LP-BP)

圖4.22帶通原型變換88如圖4.22所示，若數(shù)字頻域帶通的中心頻率為，則帶通變換的目的是將：（頻率映射關(guān)系具有周期性，頻率響應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)具有對(duì)稱性）即：將映射到，而將映射到，滿足這一要求的s平面到z平面的變換式如下，89

當(dāng)時(shí)

因此（帶通變換關(guān)系）90圖中點(diǎn)正好映射在上，而映射在，兩端，因此滿足帶通變換的要求。圖4.23帶通變換的頻率關(guān)系Ωω0ω0π91穩(wěn)定性證明：

這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè)由于上式完全是實(shí)數(shù)，所以是映射在S平面σ軸上。其中分子永遠(yuǎn)為正的，因此σ的正負(fù)決定于分母r2-1由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來(lái)完成帶通的變換，如圖4.2392設(shè)計(jì)帶通時(shí)，一般只給出上、下邊帶的截止頻率作為設(shè)計(jì)要求。為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)換算成中心頻率及模擬低通截止頻率。為此將代入變換關(guān)系式：由于在模擬低通中是一對(duì)鏡像頻率，所以將代入上面兩等式，求出93又Ω1同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。例4.11設(shè)計(jì)一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB；采樣fs=400kHz。圖4.24帶通濾波器設(shè)計(jì)3dB10dBf2f1f3f94

從頻率增加了約1.05倍，幅頻特性衰減增加了(10-3)dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)(查表)，或見P145。(3)求模擬低通的通帶截止頻率與阻帶邊界頻率：解:(1)確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率(2)求中心頻率：95(4)歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：(5)代入變換公式將代入得:96w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400)); w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400)); wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400)); [N,wn]=buttord([w1w2],[0wr],3,10,'s'); [B,A]=butter(N,wn,'s'); [num,den]=bilinear(B,A,400); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*200; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([40,160,-30,10]); grid; xlabel('頻率/kHz') ylabel('幅度/dB')97圖4.25巴特沃茲帶通濾波器頻率/kHz幅度/dB984.4.4帶阻變換(LP-BS)0ω2ω1πωω00ωπω00Ωc-ΩcΩΩ圖4.26帶阻原型變換99把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。例4.12

一數(shù)字濾波器采樣頻率fs=1kHz，要求濾除100Hz的干擾，其３dB的邊界頻率為95Hz和105Hz，原型歸一化低通濾波器為100解:(1)先確定數(shù)字上、下邊界頻率、中心頻率(2)再求模擬低通的邊界頻率(4)反歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為(5)代入變換公式得帶阻數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為101MATLAB程序?yàn)椋簑1=95/500; w2=105/500; [B,A]=butter(1,[w1,w2],'stop'); [h,w]=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([50,150,-30,10]); grid; xlabel('頻率/Hz') ylabel('幅度/dB')102頻率/Hz圖4.27巴特沃茲帶阻濾波器幅度/dB103從模擬低通原型數(shù)字濾波器:LPLP:LP

HP:104LP

BS:LPBP:END1054.5*

從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法）上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來(lái)設(shè)計(jì)各種DF的方法，這種原型變換的設(shè)計(jì)方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。DF低通原型函數(shù)各種DF的H(z)這種變換是由Hp(z)所在的Z平面到H(z)所在的Z平面的一個(gè)映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的Z平面，我們把變換前的Z平面定義為u平面，并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)G表示：106于是，DF的原型變換可表為：107函數(shù)G(z-1)的要求：1)G(z-1)是z-1的有理函數(shù)。2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求u的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。3）G(z-1)必須是全通函數(shù)。為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上，若以ejθ、ejω分別表示u平面和Z平面的單位圓，則并要求其中是的相位函數(shù)即G(z-1)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。108全通函數(shù)的基本特性：任何全通函數(shù)都可以表示為：(2)的所有零點(diǎn)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù)(3)當(dāng)變化時(shí)，相位函數(shù)的變化量為。不同的N和對(duì)應(yīng)各類不同的變換。

N：全通函數(shù)的階數(shù)，為全通函數(shù)的極點(diǎn)(在單位圓內(nèi))。(1)可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。109下面具體討論幾種原型變換：①低通——低通（LP）LP→LP的變換中，和都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的，如圖4.28(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位變化量為的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿足以下兩條件：G(1)=1,G(-1)=-1。滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為其中是實(shí)數(shù)，且||<1110圖4.28(a)LP-LP變換（有對(duì)稱性）111

代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關(guān)系：上式映射關(guān)系：

呈線性關(guān)系，其余為非線性。當(dāng)時(shí)，，帶寬變窄，當(dāng)時(shí)，，帶寬變寬，適當(dāng)選擇，可使變換為，如圖4.28(b)所示。:低通原型截止頻率，:變換后截止頻率

112圖4.28(b)LP-LP頻率變換特性

113確定：把變換關(guān)系帶入（2）式，有：由此可得（2）式的頻率關(guān)系，如圖4.28(b)114②低通(LP)—高通(HP)a.基本思想：上述LP變換中的Z代以–Z,則LP=>HP。圖4.29(a)LP---HP00ππ2π-π=H(-z)115b.高通變換或LP-HP變換中如圖4.29（b）,

在LP-LP變換中，將Z代以–Z,得LP-HP變換關(guān)系：116原型低通的截止頻率對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率，欲將

變換到，由（2）式有，（2）式的頻率關(guān)系，如圖4.29(b)中的實(shí)線。117圖4.29(b)LP---Hp變換118③低通（LP）-帶通（BP）圖4.30(a)LP-BP變換119如圖4.30(a),LP-BP變換把帶通的中心頻率故N=2。由以上分析得變換關(guān)系：或全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。120確定r1,r2：把變換關(guān)系