高考數(shù)學(xué)必考難點：圓錐曲線的知識點梳理

高考數(shù)學(xué)必考難點：圓錐曲線學(xué)問點梳理一、方程的曲線：一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下這條曲線叫做方程的曲線。Cf(x,y)=0，P(x,yCf(x,y)=0P(x,yCf(x,y≠0。

0 0 0

0 0 0

0 0f(x,y

0 0)0兩條曲線的交點假設(shè)曲線C的方程分別為f(x,y)=0,f(x,y)=0,則點P(x,y是C的交點{1 0 0

n1 2 1

0 0 0 1

f(x,y2 0

)0二、圓：個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點。二、圓：1、定義：點集｜｜OM｜=rOr2、方程：(1c(a,br(x-a2+(y-b)2=r2rx2+y2=r2(2D+E2-4＞02+y2+Dx+Ey+F=0

(D,E)2 2

半徑是 D2E24F2

x2+y+Dx+Ey+F=0

D 2)+(y+2

)=

D2E2-4F4D2+E-4F=0

D2,-

E2);D2+E-4＜0點與圓的位置關(guān)系圓心rM(x,y｜MC｜＜rMC｜MC｜=rM0 0(x -a)2(y00-b)2圓(x -a)2(y00-b)2AaBbCA2AaBbCA2B2②直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d三、圓錐曲線的統(tǒng)肯定義：小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)肯定義：

r四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義F,F的距離之和為1 22a(2a>|FF|)的點的軌跡12與定點和直線的距離之比為e四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義F,F的距離之和為1 22a(2a>|FF|)的點的軌跡12與定點和直線的距離之比為e〔0<e<1〕到兩定點F,F1 2值為定值2a(0<2a<|FF|)的點的軌12跡與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.〔e>1〕軌跡.1

｜-｜MF｜.

｜MF｜Ml軌跡條件 1 2 1 2=2a,｜F

的距離}.12 22圖形方標(biāo)準(zhǔn) x2y2方

1(ab>0)

x2y2

1(a>0,b>0)

y22px方程 a2 b2 a2 b2程xacos參數(shù) ybsin方程

xasecybtan

x2pt2y2pt (t范圍 ─axa，─byb |x|a，yR x0中心 O〔0，0〕 (a,0), (─a,0), (0,b),頂點 (a,0), (─a,0)(0,─b)

(0,0)x軸，y軸； x軸，y軸;對稱軸 x軸2a,短軸長2b 實軸長2a,虛軸長2b.焦點 F(─c,0) F(─c,0)

pF( ,0)F1 2 1 2 2a2x=±準(zhǔn) 線 c

a2x=±c

px=-2

準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi) 準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到側(cè). 頂點的距離相等.焦距 2c 〔c=a2b2〕 2c 〔c=a2b2〕離心率 (0e1)a

a2

e=1【備注1】雙曲線：2⑶等軸雙曲線：雙曲線x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率e .2

b2

a2

b2

互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：

b2

0.x2⑸共漸近線的雙曲線系方程：

(0)

x2的漸近線方程為

x

y0

時，它的雙曲a2 b2 a2 b2 a b線方程可設(shè)為

b2

(0).【備注2】拋物線：y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)是(

p

p2 ，開口向右；拋物線y2=-2px(p>0)的焦點坐標(biāo)是(-

p2,0)，px=2

，開口向左；拋物線x2=2py(p>0)的焦點坐標(biāo)是(0,p2

py=-2

，開口向上；p2

py=2

，開口向下.拋物線y2=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離MFx 0

p；拋物線y2=-2px(p>0M(x0,y0)F2距離MF

px2 0設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為

p2，頂點到準(zhǔn)線的距離

p2，焦點到準(zhǔn)線的距離為p.y2=2px(p>0A、BABA(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長2p p2 pAB=x1

x+p2

AB

(αAByy12

p2，xx 12

,AFx4

(AF2

叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：五、坐標(biāo)的變換：位置，曲線的外形、大小、位置都不轉(zhuǎn)變，僅僅只轉(zhuǎn)變點的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不轉(zhuǎn)變，只轉(zhuǎn)變原點的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。MxOy9x,yx′O′y(x.xx”h x”xh或OxOy(h,k)，則或叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表：

yy”k3

y”yk方方程焦 點焦 線對稱軸(x-h)2+a2(y-k)2b2=1(±c+h,k)x=±a2c+hx=hy=k橢圓(x-h)2+b2(y-k)2a2=1(h,±c+k)y=±a2c+kx=hy=k(x-h)2-a2(y-k)2b2=1(±c+h,k)x=±a2c+kx=hy=k雙曲線(y-k)2-a2(x-h)2b2=1(h,±c+h)y=±a2c+kx=hy=k(y-k)2=2p(x-h)p(2+h,k)px=-2+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)p(-2+h,k)px=2+hy=k拋物線(x-h)2=2p(y-k)p(h,2+k)py=-2+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)p(h,-2+k)py=2+kx=h六、橢圓的常用結(jié)論：PPT△PF1F2PPTPF1F2PPTH以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.P(xy在橢圓

x2 y2 1 P

xx yy0 0

1.0 0

a2 b2 0

a2 b2x2 y2

xx yyP(xy在橢圓

1P

作橢圓的兩條切線切點為PP則切點弦PP的直線方程是0 0 1.0 0

a2 b2 0

1 2 12

a2 b2x2 y2橢圓 1

F

，則橢圓的焦點角形的面積a2 b2

1 2 1 2SFPF1 2

b2tan2.x2橢圓a2

y2b2

1〔a＞b＞0〕的焦半徑公式

|MF1

|aex0

,|MF2

|aex0

(F(c,0)1

,F(c,0)M(x,y)).2 0 04MF⊥NF.FP、Q,AAAPAQM，APAQNMF⊥NF.

1 2 1 2 2 1x2 y2 b2 b2x11.

AB是橢圓 a2 b2

1的不平行于對稱軸的弦，M(xy0 0

)為AB的中點，則k k OM AB a2

KAB

0。a2yx2 y2

0xx yy x2 y212.

假設(shè)P(xy

)在橢圓

1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是0 0 0

0 ；0 0

a2 b2

a2 b2

a2 b2

x2 y2

x2 y2 xx yy

x2 y21、假設(shè)P(xy

)在橢圓

1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是

0 0

。橢圓

1〔a＞b0 0

a2 b2

a2 b2

a2 b2

a2 b2

A(a,0),A

(a,0)

x2PAPAP

y2

1.1 2x2y21

A(x,y)

1、2

11 22

a2 b22、過橢圓a2 b2

b＞0)上任一點

任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且0 0b2xk 0BC a2y0

〔常數(shù)〕.x2 y23P

1〔a＞b＞0〕上異于長軸端點的任一點,FF

,

PFF

，則a2 b2

1 2 1 2 21

tan

cot .ac 2 2x2 y24、設(shè)橢圓

,a2 b2

1 2 12 1 2

，則有

sin

ce.1 2 1 2

sinsin ax25、假設(shè)橢圓a2

y2b2

1〔a＞b＞0〕FFL0＜e≤1 2

1P，使2PF21

PdPF2

的比例中項.x26Pa2

y2b2

〔＞＞上任一點,F,FA1 2

2a|AF2

1

|2a|AF|,12

P三點共線時，等號成立.(xx)2 (yy)27、橢圓 0 0 1與直線AxByC0有公共點的充要條件是A2a2B2b2(Ax

C)2.a2x2 y28

b2〔＞＞OQ

1OPOQ1

.〔1〕

0 01;1 11;a2 b2

OP|2 |2 a2 b2〔〕|OP|2+|OQ|2

4a2b2a2b2

OPQ

a2b2a2b2.5x2 y29

FM,NMNx

|PF|e.a2 b2

|MN| 2x210、橢圓a2

y2b2

1〔a＞b＞0〕,A、BABx

P(x0

,0)a2b2a

x 0

a2b2.ax2 y211P

1〔a＞b＞0〕上異于長軸端點的任一點,FF

，則(1)|PF

a2 b2| 2b2

.(2)S

1 2 1 2.2b2tan.21 2 1cos

PFF12x212A、Ba2

y2b2

1〔a＞b＞0〕的長軸兩端點，P

PAB,

PBA

,BPA，c、e(1)|PA|

2ab2|cos|a2c2cos2

.(2)tantan1e2.(3)S

PAB

2a2b2b2a2

cot.x213、橢圓a2

y2b2

a＞b＞0〕l

E，過橢圓右焦點F

A、BC在右準(zhǔn)線lBCxACEF的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑相互垂直.16e(離心率).〔注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.〕17e.七、雙曲線的常用結(jié)論：18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.七、雙曲線的常用結(jié)論：1、PPT△PFF12

P內(nèi)角.2、PTPFF在點PPTH123PQ相交.4、以焦點半徑PF為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.〔內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支〕1x2 y2

xx yy5P(xy在雙曲線

P

的雙曲線的切線方程是0 0 1.0 0 0

a2 b2

0 a2 b2

P(x,y

2x在雙曲線x

y2

1〔a＞0,b＞0〕PoPPPP0 0 0

a2 b2

1 2 12x程是0

xy0y

1.a2 b2x27、雙曲線

y2

1〔a＞0,b＞o〕的左右焦點分別為F，F(xiàn)，點P

，則雙曲線的焦點角形a2S

b2 1 2 1 2b2cot2.1 26x28、雙曲線a2

y2b2

1〔a＞0,b＞o〕的焦半徑公式：(

F(c,0)1

2

〕當(dāng)M(xy)0 0

在右支上時，|MF1

0

a,|MF2

0

aM(xy0 0

|MF1

|ex0

a,|MF2

|ex0

a。FP、QAAPAQFM、NMF⊥NF.FP、Q,AA，APAQM，APAQN，MF⊥NF.

x2 y2

1 2 1 2

2 1b2x11、AB是雙曲線 a2 b2

1〔a＞0,b＞0〕的不平行于對稱軸的弦，M(xy0 0

)為AB的中點，則K KOM AB

0，即a2y0b2xK 0。AB a2y0x2 y2

xx

y x2 y212、假設(shè)P(xy

)在雙曲線

1〔a＞0,b＞0〕內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是0 0

0 0 .0 0 0

a2 b2

a2 b2

a2 b2x2 y2

x2 y2 xx yy13、假設(shè)P(xy

)在雙曲線

1〔a＞0,b＞0〕內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是

0 0 .0 0 0

a2 b2

a2 b2 a2 b2x21、雙曲線

y2

1〔a＞0,b＞0〕的兩個頂點為

A(a,0),A

(a,0)

PAPAPa2 b2x2 y2點的軌跡方程是a2 b2

1 21.

1、2

11 22x22、過雙曲線a2

y2b2

上任一點

A(x,y0

B,CBCkBC

b2xa2y0

〔常數(shù)〕.x2

y2

,

PFF

，a2 b2

1 2 1 2 21則

cot

〔或

tan

cot 〕.ca 2 2 ca 2 2x24

y2

〔＞0,＞0FF〔異于長軸端點PFF

,a2 b2

1 2 12 1 2

P

，則有

sin

ce.1 2 1 2x2y21

(sinsin) a2125、假設(shè)雙曲線a2 b2

〔a＞0,b＞0〕的左、右焦點分別為FFL1＜e≤1 2

時，可在雙曲線上求一點PPFPdPF1

的比例中項.x26、Pa2

y2b2

1〔a＞0,b＞0〕上任一點,F,F，A1 27

|AF2

|2a|PA||PF1

|,當(dāng)2

PAF2

y

x2y2

1〔a＞0,b＞0〕AxByC0A2a2

B2b2

C2.a2 b2x28、雙曲線a2

y2b2

1〔＞a＞，O、Q

OPOQ.1 1 1 1 4a2b2 a2b2〔1〕 OP|2 |2 a2 b2

〔〕|OP|2+|OQ|2的最小值為b2

a2

OPQ

的最小值是b2

a2.x29、過雙曲線a2

y2b2

1〔a＞0,b＞0〕FM,NMNxP，則|PF|e|MN| 2.x210、雙曲線a2

y2b2

1〔a＞0,b＞0〕,A、BABx

P(x0

,0)a2b2x0 a

或x0

a2b2.ax211P

y2

1〔a＞0,b＞0〕上異于實軸端點的任一點,FF

，則(1)|PF

||PF|

a2 b222b22

.(2)S

b2cot

1 2 1 21 2 1cos

PFF12.x2y21.

PAB

PBA

BPAABa2 b2

〔＞0,＞的長軸兩端點P是雙曲線上的一點， , , ，(1)

2ab2|cos||a2c2cos2|.(2)tantan1e2.(3)S

PAB

2a2b2b2a2

cot.x213、雙曲線a2

y2b2

的直線與雙曲線相交于A、B兩點,C在右準(zhǔn)線lBCxACEF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑相互垂直.e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17e.八、拋物線的常用結(jié)論：18八、拋物線的常用結(jié)論：84acb2 b①ay2bycx頂點( ).4a 2aP2y22pxp0PFxP2

P2;x22py(p0)則焦點半徑為PFy .P22p，這是過焦點的全部弦中最短的.x2pt2 x2pt④y22px〔或x22py〕的參數(shù)方程為 〔或 〔t為參數(shù)〕.y2pt y2pt2yy22pxy22pxx22pyx22pyyyyy圖形xxxxOOOO焦點F(p,0)2F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2準(zhǔn)線范圍2x0,yRxp2x0,yRxp2xR,