量子力學(xué)chapter2-薛定諤方程

量子力學(xué)1薛定諤

ERWINSCHRODINGER

(1887-1961)第二章波函數(shù)

和Schrodinger方程2第二章波函數(shù)

和Schrodinger方程波恩

MaxBorn

(1882-1970)3第二章波函數(shù)

和Schrodinger方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2態(tài)疊加原理§3Schrodinger方程§4概率流密度和概率數(shù)守恒定律§5定態(tài)Schrodinger方程4§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。稱為deBroglie

波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。（一）波函數(shù)5波粒二象性的矛盾和解釋波和粒子的關(guān)系波由粒子組成粒子由波組成 電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。電子源感光屏PPOQQO粒子=波包i)自由粒子平面波,占據(jù)整個(gè)空間ii)色散究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一6經(jīng)典粒子經(jīng)典波顆粒性（√）軌道（x）物理量周期分布（x）疊加性->干涉,衍射（√）這兩者是不相容的。微觀粒子既不是經(jīng)典粒子，也不是經(jīng)典波，當(dāng)然也不能用經(jīng)典粒子和經(jīng)典波來描述

r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目， 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在

r

點(diǎn)附近的幾率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上

7衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是： 許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。（二）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋|Ψ(r,t)|2

的意義是代表電子在t時(shí)刻出現(xiàn)在r

點(diǎn)附近幾率的大小，確切的說，|Ψ(r,t)|2ΔxΔyΔz表示在t時(shí)刻，在r點(diǎn)處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的概率成比例，Ψ(r，t)概率波8（三）波函數(shù)的性質(zhì)（1）概率和概率密度在t時(shí)刻,r點(diǎn)，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t)描寫的粒子的概率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的概率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：在t時(shí)刻r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的概率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

稱為概率密度。在體積V內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的概率為：W(t)=∫V

dW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ9（2） 平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的概率應(yīng)為一，即： C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,從而得常數(shù)

C之值為：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,

則C0,這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數(shù)不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。除了個(gè)別孤立奇點(diǎn)外,波函數(shù)單值,有界,連續(xù)10（3）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫狀態(tài)的相對概率是相同的，這里的C是常數(shù)。因?yàn)樵趖時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)r1和r2處找到粒子的相對概率之比是：由于粒子在全空間出現(xiàn)的概率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一概率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。11若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1也就是說，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫同一概率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那末，eiαΨ(r,t)也是歸一化波函數(shù)（其中α是實(shí)數(shù)），與前者描述同一概率波。平面波歸一化以后討論12§2態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個(gè)相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。13考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。14其中C1

和C2是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài).光子偏整態(tài):Malus定律描述光子狀態(tài)的波函數(shù)：線性疊加疊加次序并不重要光子偏整態(tài):Malus定律光子偏整態(tài):Malus定律線性疊加疊加次序并不重要光子偏整態(tài):Malus定律15態(tài)疊加原理一般表述： 若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn

+...(其中C1,C2,...,Cn

,...為復(fù)常數(shù))。也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...在Ψ中,體系出現(xiàn)Ψ2的幾率是16（二）動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)波函數(shù)Ψ(r,t)可用各種不同動(dòng)量的平面波表示，下面我們給出簡單證明。Fourier變換頻譜展開其中：展開系數(shù)物理意義？？17Ψ(r,t)是以坐標(biāo)

r

為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)；C(p,t)

是以動(dòng)量

p

為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間波函數(shù)，動(dòng)量表象波函數(shù)；二者描寫同一量子狀態(tài)。18若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的19坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象20§3Schrodinger方程（一）引進(jìn)方程的基本考慮經(jīng)典力學(xué)

牛頓方程特點(diǎn):線性方程二階全微分方程,只有一個(gè)獨(dú)立變量t唯一性方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù),有普適性21（一）引進(jìn)方程的基本考慮量子力學(xué)

要求:線性方程(態(tài)疊加原理的直接要求)系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù)t與x,y,z均為變量=>只能是偏微分方程解的唯一性=>兩階正規(guī)方程?進(jìn)入方程式,體現(xiàn)微觀世界的特點(diǎn)(量子化)?->0,過渡到牛頓方程22（二）建立方程的啟示描寫自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。已知解=>方程式(不唯一)對t微商，得：對r

微商，得：23討論：通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。（二）建立方程的啟示24（三）勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動(dòng)方程。若粒子處于勢場V(r)

中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：做算符替換得：25說明:a)波動(dòng)力學(xué)的基本假定,表征量子體系特征的量h進(jìn)入了方程式,薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)

b)算符形式

c)兩個(gè)慣例

1)只在直角坐標(biāo)中適用,因?yàn)槲⑸滩粎f(xié)變

2)將H分成三部分:i)與坐標(biāo)無關(guān)的動(dòng)量二次式

ii)只依賴于坐標(biāo)的函數(shù)

iii)26（四）多粒子體系的Schrodinger方程設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，質(zhì)量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN

;t)第i個(gè)粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger方程可表示為：多粒子體系Hamilton量27§4概率流密度和概率流守恒定律概率密度：考慮低能非相對論實(shí)物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即28在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：29令τ趨于∞，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是上式變?yōu)椋?0討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1）這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實(shí)現(xiàn)這種變化。（2）以μ乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量表明電荷總量不隨時(shí)間改變31再論波函數(shù)的性質(zhì)1.由Born的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。3.知道體系所受力場和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)32式右含有ψ及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件1.根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在r點(diǎn)的概率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求ψ(r,t)應(yīng)是r,t的單值函數(shù)且有限。33§5定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrodinger方程現(xiàn)在讓我們討論有外場情況下的定態(tài)Schrodinger方程：令：于是：V(r)與t無關(guān)時(shí)，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與

t,r無關(guān)的常數(shù)34（一）定態(tài)Schrodinger方程該方程稱為定態(tài)Schrodinger方程，Ψ(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時(shí)刻Ψ

(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。

E就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)?？臻g波函數(shù)Ψ

(r)可由方程和具體問題Ψ

(r)應(yīng)滿足的邊界條件得出。邊界條件的討論:V連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)V不連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)V趨向無窮大(一階)波函數(shù)連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)V趨向無窮大(二階及以上)波函數(shù)不連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)亦不連續(xù)35（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符二方程的特點(diǎn)：都是以一個(gè)算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。是相當(dāng)?shù)摹＿@兩個(gè)算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：36（二）Hamilton算符和能量本征值方程（2）能量本征值方程（1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程+邊界條件構(gòu)成本征值問題；（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個(gè)標(biāo)