江蘇專版2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十六章曲線與方程16.2拋物線講義

§16.2拋物線五年高考考點(diǎn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1.(2023課標(biāo)全國Ⅰ理改編,10,5分)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為.

答案162.(2023課標(biāo)全國Ⅱ改編,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx答案23.(2023遼寧改編,10,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為.

答案44.(2023四川改編,10,5分)已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OA·OB=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是.

答案35.(2023浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A-12,14(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解析(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=x2-1因為-12<x<3(2)解法一:聯(lián)立直線AP與BQ的方程kx解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ=-k因為|PA|=1+k2x|PQ|=1+k2(xQ-x)=-所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因為f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區(qū)間-1,12上單調(diào)遞增,12解法二:如圖,連結(jié)BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=AP·(AB-AP)=AP·AB-AP2易知P(x,x2)-12則AP·AB=2x+1+2x2-12=2x2+2x+12,AP2=x+122+x2-142=x2+x+14+x4-1∴|AP|·|PQ|=-x4+32x2+x+3設(shè)f(x)=-x4+32x2+x+3則f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,∴f(x)在-12,∴f(x)max=f(1)=2716故|AP|·|PQ|的最大值為27166.(2023課標(biāo)Ⅰ,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y=x2(1)當(dāng)k=0時,分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.解析(1)由題設(shè)可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為a,C在點(diǎn)(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x-2ay=x24在x=-2a處的導(dǎo)數(shù)值為-a,C在點(diǎn)(-2a,a)處的切線方程為y-a=-a(x+2a),即故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)(2)存在符合題意的點(diǎn),證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.從而k1+k2=y1-bx1+y當(dāng)b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故∠OPM=∠OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.(12分)教師用書專用(7—9)7.(2023課標(biāo)全國Ⅱ理改編,11,5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為.

答案y2=4x或y2=16x8.(2023山東,21,14分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時,△ADF為正三角形.(1)求C的方程;(2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個公共點(diǎn)E,(i)證明直線AE過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);(ii)△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值,若不存在,請說明理由.解析(1)由題意知Fp2設(shè)D(t,0)(t>0),則FD的中點(diǎn)為p+2因為|FA|=|FD|,由拋物線的定義知3+p2=t解得t=3+p或t=-3(舍去).由p+2所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),設(shè)A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),因為|FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1,由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直線AB的斜率kAB=-y0因為直線l1和直線AB平行,設(shè)直線l1的方程為y=-y0代入拋物線方程得y2+8y0y-由題意Δ=64y02+32設(shè)E(xE,yE),則yE=-4y0,xE=當(dāng)y02≠4時,kAE=yE-y可得直線AE的方程為y-y0=4y0y由y02=4x整理可得y=4y直線AE恒過點(diǎn)F(1,0).當(dāng)y02=4時,直線AE的方程為x=1,過點(diǎn)F(1,0),所以直線AE過定點(diǎn)F(1,0).(ii)由(i)知直線AE過焦點(diǎn)F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+1x0+1=x0設(shè)直線AE的方程為x=my+1,因為點(diǎn)A(x0,y0)在直線AE上,故m=x0設(shè)B(x1,y1),直線AB的方程為y-y0=-y02(x-x由于y0≠0,可得x=-2y0y+2+x代入拋物線方程得y2+8y0y-8-4x所以y0+y1=-8y可求得y1=-y0-8y0,x1=4x所以點(diǎn)B到直線AE的距離為d=4=4=4x0則△ABE的面積S=12×4x當(dāng)且僅當(dāng)1x0=x0,即x所以△ABE的面積的最小值為16.9.(2023湖南理,21,13分)過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同直線l1,l2,且k1+k2=2,l1與E相交于點(diǎn)A,B,l2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k1>0,k2>0,證明:FM·FN<2p2;(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為75解析(1)由題意知,拋物線E的焦點(diǎn)為F0,p2,直線l1的方程為y=k1由y=k1x+p2設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實數(shù)根.從而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk1所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為pk1,pk12同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為pk2,pk22于是FM·FN=p2(k1k2+k1由題設(shè),k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<k1故FM·FN<p2(1+12)=2p2.(2)由拋物線的定義得|FA|=y1+p2,|FB|=y2+p2,所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p,從而圓M的半徑r故圓M的方程為(x-pk1)2+y-pk12-化簡得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-34同理可得圓N的方程為x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-34于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2-k1)x+(k22-又k2-k1≠0,k1+k2=2,則l的方程為x+2y=0.因為p>0,所以點(diǎn)M到直線l的距離d=|2p=p2故當(dāng)k1=-14時,d取最小值7p85.由題設(shè)得,7p三年模擬A組2023—2023年模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1.(2023河北普通高中質(zhì)量監(jiān)測,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓C':x26+y2(1)求拋物線C的方程以及|AF|的值;(2)記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B,若MF=λFN,|BM|2+|BN|2=40,求實數(shù)λ的值.解析(1)依題意知,橢圓C':x26+y25=1中,a2=6,b2=5,故c2=a故F(1,0),故p2=1,則2p=4,故拋物線C的方程為y2將(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故|AF|=1+p2(2)設(shè)l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立得y2=4x所以y1又MF=λFN,則(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),即y1=-λy2,代入①得(1-λ)y2=4易得B(-1,0),則BM=(x1+1,y1),BN=(x2+1,y2),則|BM|2+|BN|2=BM2+BN2=(x1+1)2+y12+(x2+1)2+y22=x12+x=(my1+1)2+(my2+1)2+2(my1+my2+2)+2+y12+=(m2+1)(y12+y22)+4m(y=(m2+1)(16m2+8)+4m·4m+8=16m4+40m由16m4+40m2+16=40,解得m2=1故λ+1λ=4,解得λ=2±32.(2023江蘇南京調(diào)研)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M,過M的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A(x1,y1)到準(zhǔn)線l的距離為d,且d=λp(λ>0).(1)若y1=d=1,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若AM+λAB=0,求證:直線AB的斜率為定值.解析(1)由條件知,A1-所以拋物線的方程為y2=2x.(2)證明:設(shè)B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+將直線AB的方程代入y2=2px,消去y得k2x2+p(k2-2)x+k2所以x1=-p(k2-因為d=λp,所以x1+p2又AM+λAB=0,所以x1+p2=λ(x2-x1所以p=x2-x1=2p所以k2=22-2,所以直線AB的斜率為定值.B組2023—2023年模擬·提升題組(滿分:30分時間:15分鐘)解答題(共30分)1.(2023江蘇蘇州自主學(xué)習(xí)測試)已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),點(diǎn)R(1,2)在拋物線C上.(1)求拋物線C的方程;(2)過點(diǎn)Q(1,1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點(diǎn)A,B,若直線AR,BR分別交直線l:y=2x+2于M,N兩點(diǎn),求|MN|最小時直線AB的方程.解析(1)∵點(diǎn)R(1,2)在拋物線C上,∴2p=4,p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x.(2)顯然直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=m(y-1)+1(m≠0).由x=m(∴y設(shè)直線AR的方程為y=k1(x-1)+2,由y=k1(x又k1=y1-2x1-1=y1-同理,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=-2y∵|y2-y1|=(y2=5|xM-xN|=5-2=85m2-令m-1=t,t≠0,則m=t+1,∴|MN|=25t2+∴|MN|=251t+當(dāng)t=-2,即m=-1時,|MN|的最小值為15,此時直線AB的方程為x+y-2=0.2.(2023江蘇常州高級中學(xué)調(diào)研,23)若拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,其圖象關(guān)于x軸對稱,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,2).(1)求拋物線C的方程;(2)過點(diǎn)M作拋物線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1,k2變化且滿足k1+k2=-1時,證明直線AB過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).解析(1)由題意可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)M(2,2),故22=2p×2?2p=2,從而y2=2x.(2)拋物線的弦MA,MB與拋物線交于兩點(diǎn),從而它們所在直線的斜率k1,k2滿足k1≠0,k2≠0,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),由y2得xA=(2-2k1)22k12,yA=2從而A,B所在直線的方程為:y-2k1-2(2由k1+k2=-1,可得:k13(x+2y+2)+k1因為k1∈R,所以y+4=0所以直線AB過定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-4).C組2023—2023年模擬·方法題組方法直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2023蘇北三市三模,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)F(1,0),直線x=-1與動直線y=n的交點(diǎn)為M,線段MF的中垂線與動直線y=n的交點(diǎn)為P.(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)過動點(diǎn)M作曲線E的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,求證:∠AMB的大小為定值.解析(1)因為直線y=n與x=-1垂直,所以MP為點(diǎn)P到直線x=-1的距離.連結(jié)PF,因為P為線段MF的中垂線與直線y=n的交點(diǎn),所以|MP|=|PF|.所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線.其焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1.所以軌跡E的方程為y2=4x.(2)證明:由題意知,過點(diǎn)M(-1,n)的切線斜率存在,設(shè)切線方程為y-n=k(x+1),由y=kx+所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*).因為Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在兩個不等實根,設(shè)為k1,k2,因為k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,為定值.2.(2023江蘇新海中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系