六年級奧數(shù)培訓(xùn)教材

.PAGE.六年級拔尖數(shù)學(xué)目錄第1講定義新運算第2講簡單的二元一次不定方程第3講分?jǐn)?shù)乘除法計算第4講分?jǐn)?shù)四則混合運算第5講估算第6講分?jǐn)?shù)乘除法的計算技巧第7講簡單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔1第8講較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔2第9講階段復(fù)習(xí)與測試〔略第10講簡單的工程問題第11講圓和扇形第12講簡單的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題第13講分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)第14講綜合復(fù)習(xí)〔略第15講測試〔略第16講復(fù)雜的利潤問題〔2第一講定義新運算在加.減.乘.除四則運算之外,還有其它許多種法則的運算。在這一講里,我們學(xué)習(xí)的新運算就是用"#""*""Δ"等多種符號按照一定的關(guān)系"臨時"規(guī)定的一種運算法則進(jìn)行的運算。例1：如果A*B=3A+2B,那么7*5的值是多少？例2：如果A#B表示照這樣的規(guī)定,6#〔8#5的結(jié)果是多少？例3：規(guī)定求2Δ10Δ10的值。例4：設(shè)M*N表示M的3倍減去N的2倍,即M*N=3M-2N計算〔14*10*6計算〔**〔1*例5：如果任何數(shù)A和B有A¤B=A×B-〔A+B求〔110¤7〔2〔5¤3¤4〔3假設(shè)2¤X=1求X例6：設(shè)P∞Q=5P+4Q,當(dāng)X∞9=91時,1/5∞〔X∞1/4的值是多少？例7：規(guī)定X*Y=,且5*6=6*5則〔3*2*〔1*10的值是多少？例8：▽表示一種運算符號,它的意義是已知那么20088▽2009=？鞏固練習(xí)1、已知2▽3=2+22+222=246；3▽4=3+33+333+3333=3702；按此規(guī)則類推3▽2〔25▽3〔31▽X=123,求X的值2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7計算〔1〔4△2+〔5△3〔2〔3△5÷〔4△43、如果A*B=3A+2B,那么〔17*5的值是多少？〔2〔4*5*6〔3〔1*5*〔2*44、如果A>B,那么｛A,B｝=A；如果A<B,那么｛A,B｝=B；試求〔1｛8,0.8｝〔2｛｛1.9,1.901｝1.19｝5、N為自然數(shù),規(guī)定F〔N=3N-2例如F〔4=3×4-2=10試求：F〔1+F〔2+F〔3+F〔4+F〔5+……+F〔100的值6、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的個位數(shù)字是幾？〔第四屆小學(xué)生"迎春杯"數(shù)學(xué)決賽試題7、若"+、-、×、÷、=、〔"的意義是通常情況,而式子中的"5”卻相當(dāng)于"4下面四個算式〔18×7=8〔27×7×7=6〔3〔7+8+3×9=39〔43×3=3那么應(yīng)該是我們通常的哪四個算式？8、如果2*4=2×3×4×55*3=5×6×7,請按此規(guī)定計算〔1〔3*4-〔5*3〔2〔4*4÷〔3*39、規(guī)定〔25=2+5=7〔123=1+2+3=6〔65=6+5=〔11=1+1=2則計算〔1〔56489〔2〔92045+〔90÷5÷〔1210、規(guī)定64=2×2×2×2×2×2表示成F〔64=6；243=3×3×3×3×3表示成G〔243=5；試求下面各題的值F〔128=<>F〔16=G〔F〔+G<27>=611、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……試計算〔15！〔2X！=5040,求X12、有一種運算符號"＆"使下列算式成立2＆3=75＆3=134＆5=139＆7=25求995＆9=？13、A*B=在X*〔5*1=6中,X的值是多少？14、對于任意的整數(shù)X、Y定義新運算"￥"X￥Y=〔其中M是一個固定的值如果1￥2=2,那么2￥9=？第二講二元一次不定方程一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握用奇偶性、最值和尾數(shù)特點來解答不定方程。二、基礎(chǔ)知識：我們知道,一般的一個方程只能解答一個未知數(shù),而有的題目卻必須設(shè)兩個未知數(shù),且列不出兩個方程,類似這樣的方程我們稱之為二元一次不定方程。在我們研究不定方程的解時,常常會附有其他一些限制條件,有的條件是明顯的,也有隱蔽的,但它們對解題至關(guān)重要,這就需要我們在解題過程中酌情進(jìn)行討論。三、例題解析：〔一基本方法例1、小明要買一只4元9角的鋼筆,他手上有貳角和伍角的硬幣各10枚,請問他可以怎樣付錢？分析：本題可以用多種方法解答,這里用不定方程來解。設(shè)小明付了X枚貳角和Y枚伍角列方程,得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49是奇數(shù),2X是偶數(shù),那么5Y必定是奇數(shù)。這樣,Y只能取1,3,5,7,9這五個數(shù)。2、利用最值：所付錢中貳角和伍角的都有,而X至多為10,那么5Y不小于49—2×19=29,這樣,可得Y大于6。方法二觀察系數(shù)的特點,利用尾數(shù)〔個位數(shù)解答。由例1可以看出,對于二元一次不定方程,盡量縮小未知數(shù)的取值范圍,再求解。不定方程常常利用奇偶性,最值和尾數(shù)來幫助解決例2、大汽車能容納54人,小汽車能容納36人,現(xiàn)有378人要乘車,問要大、小汽車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿。為了便于管理,要求車輛數(shù)最少,應(yīng)該選擇哪個方案？分析：解答不定方程時,能夠把方程化簡就盡量化簡。注意加了限制條件以后,答案的變化。試一試：一個同學(xué)把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起來的和是170,你知道他出生于幾月幾日？例3、現(xiàn)有鐵礦石73噸,計劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次運走,且每輛車都要裝滿,已知載重量7噸的卡車每臺車運費65元,載重量5噸的卡車每臺車運費50元,問需用兩種卡車各多少臺運費最省？分析：根據(jù)條件用不定方程可以求出卡車的臺數(shù),但是要注意問題求運費最省。例4、一個同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己1991年的年齡正好等于他出生那一年的年份的各位數(shù)字之和,請問這個學(xué)生1991年時多少歲？分析與解：設(shè)他出生于19XY年,那么1991—19XY=1+9+X+Y1991—〔1900+10X+Y=10+X+Y91—10X—Y=10+X+Y〔二能力拓展例5、一輛勻速行駛的汽車,起初看路標(biāo)上的數(shù)字是一個兩位數(shù)xy,過了一小時路標(biāo)上的數(shù)字變?yōu)閥x,又行駛了一小時路標(biāo)上的數(shù)字是一個三位數(shù)x0y,求每次看到的數(shù)字和汽車的速度。分析：路標(biāo)上的數(shù)字是累計數(shù)。由于汽車是勻速行駛,因此汽車在單位時間里行駛的路程是相等的,根據(jù)這個關(guān)系可以列出方程。試一試：一個兩位數(shù),如果把數(shù)字1放在它前面可得一個三位數(shù),放在它后面也可得一個三位數(shù)。已知這兩個三位數(shù)之差為414,求原來的兩位數(shù)。例6、如下圖,一個長方體的長、寬、高的長度都是質(zhì)數(shù),且長＞寬＞高,將這個長方體橫切兩刀,豎切兩刀,得到9個長方體,這9個長方體表面積之和比原來長方體表面積之和多624平方厘米,求原來長方體的體積。分析與解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c,分析可得,橫切兩刀,增加了4ab的面積,豎切兩刀增加了4ac的面積,所以可列方程：4ab+4ac=624。三個未知數(shù)的不定方程一般采用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答。練習(xí)一、基本題1、求方程6x+9y=87的自然數(shù)解。2、求方程2x+5y=24的自然數(shù)解3、大客車有48個座位,小客車有30個座位。現(xiàn)在有306名旅客,要使每位旅客都有座位而且不空出座位來,需要大、小客車各幾輛？4、裝餅干的盒子有大、小兩種,大盒每盒要11元,小盒每盒要8元,媽媽用了89元,問大小盒子各買了多少個？5、一個兩位數(shù),交換個位和十位上的數(shù)字,就得到一個新的兩位數(shù),已知新兩位數(shù)比原兩位數(shù)多54,求原來的兩位數(shù)。6、一個兩位數(shù),各位數(shù)字之和的6倍比原數(shù)大3,求這個兩位數(shù)。7、一個商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里,每個大盒子裝12個,每個小盒子裝5個,恰好裝完。如果彈子數(shù)為99,盒子數(shù)大于10,問兩種盒子各有多少個？二、綜合題8、在一個兩位質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)字之間,添上數(shù)字6以后,所得的三位數(shù)比原數(shù)大870,那么原數(shù)是多少？9、會場里有兩座和四座的兩種長椅若干把。現(xiàn)有一個班的學(xué)生〔不足70人來開會。一部分學(xué)生一人坐一把兩座的長椅,其余的同學(xué)每三人坐一把四座的長椅。結(jié)果平均每個學(xué)生坐1.35個座位。求有多少個學(xué)生？思考題10、有一個長方體,它的正面和上面的面積之和是209,如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù),那么這個長方體的體積是多少？第三講分?jǐn)?shù)乘除法計算分?jǐn)?shù)乘除法的計算方法用字母表示為：〔a,c都不等于0；〔a,c都不等于0。一、課前準(zhǔn)備：計算下列各題：〔1÷10÷〔2＋÷〔3÷×〔3÷9÷〔4÷×〔6÷〔+2、在□或〇里填上合適的數(shù)字或符號,并說明使用了什么運算定律？25×eq\f<16,7>×eq\f<7,8>=×<×>eq\f<5,8>×eq\f<2,3>×eq\f<8,15>=<×>×eq\f<2,29>×<15×eq\f<29,31>>=×<×>25eq\f<3,4>×4=×+×7×eq\f<7,8>=×〇×1eq\f<4,5>×25=×〇×54×<eq\f<8,9>-eq\f<5,6>>=×〇×二、例題講解例1：計算：⑴；⑵。[分析]認(rèn)真觀察這兩道題的數(shù)學(xué)特點：第<1>題中的與1只相差,如果把寫成的差與37相乘,再運用乘法分配律就能簡化運算了。同樣,第〔2題中的27可以寫成〔26+1。練習(xí)："挑戰(zhàn)自己！"比一比,看一看,誰的方法最巧妙？26eq\f<2,3>×eq\f<1,5>32eq\f<2,5>×eq\f<5,6>例2：計算：分析仔細(xì)觀察因數(shù)的特點可知,可轉(zhuǎn)化為,這樣就可以利用乘法的分配律進(jìn)行簡算了。練習(xí)：計算：例3：計算：[分析]把幾個分?jǐn)?shù)的和作為一個整體去處理,往往會使計算簡便得多。在本題中,把與的和作為一個數(shù)來參與運算,使計算中只含有乘除法。再利用乘法的交換律、結(jié)合律就可以很快算出結(jié)果。例4：計算：⑴；⑵。[分析]同學(xué)們都會計算帶分?jǐn)?shù)除法。不過,看了這兩題,你一定感到把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)太繁了。如果我們動一下腦筋,就會發(fā)現(xiàn)：可以把題<1>中的分成一個41的倍數(shù)與另一個較小的數(shù)相加,再利用除法性質(zhì)就可以使運算簡便。把題〔2>中的化為假分?jǐn)?shù)時,把分子用兩個數(shù)相乘的形式表示,便于約分和計算。例5：計算：例6：計算：一、基本練習(xí)1、下面各題,怎樣簡便就怎樣算。"考考你"下面各題怎么算簡便就怎么算？eq\f<7,10>×101-eq\f<7,10>eq\f<8,9>×eq\f<8,9>÷eq\f<8,9>×eq\f<8,9>eq\f<3,5>×99+eq\f<3,5>3eq\f<4,5>×2536×eq\f<34,35><eq\f<5,6>-eq\f<5,9>>×eq\f<18,5><eq\f<4,7>+eq\f<8,9>>×eq\f<2,25>eq\f<15,21>×eq\f<3,4>+eq\f<10,21>×eq\f<3,4>-eq\f<3,4>分?jǐn)?shù)四則混合計算：〔1〔—×1000〔2×[〔—÷]〔3×—÷〔4〔0.19×+0.19×÷0.05二．能力提高〔4〔5第四講分?jǐn)?shù)四則混合運算一、課前準(zhǔn)備：÷9〔＋×÷＋×〔＋－×24二、例題講解例1：計算：練習(xí)：例2：計算：〔598.1×37＋5981×6.26÷1＋190×例3、例4；計算；練習(xí)：1.下面各題怎樣算簡便就怎樣算?！玻?7〔＋÷×4÷5×＋×＋2.用簡便方法計算。1÷13×100－－91×1.1×4＋40.9÷5－4.09×3、計算下面各題。第五講估算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外,還有去尾法和收尾法〔進(jìn)一法。其方法一般是計算出準(zhǔn)確值再按要求取近似值。還有兩種：〔1省略尾數(shù)取近似值,即觀其"大概"；〔2用放大或縮小的方法來確定某個數(shù)或整個算式的取值范圍,即估計范圍。這就是估計與估算,估計與估算,是一種十分重要的算法,在生活實踐和數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。一、去尾法和收尾法〔進(jìn)一法例1、某飛機所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時,飛去時速度為900千米/時,飛回時速度為850千米/時。問：該飛機最遠(yuǎn)飛出多少千米就應(yīng)返回？〔精確到1千米解：設(shè)該飛機最遠(yuǎn)能飛出x小時,依題意有此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則,那么得到x≈1749,當(dāng)飛機真的飛出1749千米再返回時,恐怕在快著陸的瞬間就要機毀人亡了。例2、某人執(zhí)行爆破任務(wù)時,點燃導(dǎo)火線后往70米開外的安全地帶奔跑,其奔跑的速度為7米/秒。已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/秒。問：導(dǎo)火線的長度至少多長才能確保安全？〔精確到0.1米此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米,執(zhí)行任務(wù)的人還沒跑到安全地帶,炸藥就被引爆,那可就太危險了。二、放縮法與省略尾數(shù)法例3、有三十個數(shù)：1.64,1.64+,1.64+,……1.64+1.64+,如果取每個數(shù)的整數(shù)部分〔例如：1.64的整數(shù)部分是1,1.64+的整數(shù)部分是2,并將這些整數(shù)相加,那么其和是多少？分析：關(guān)鍵是判斷從哪個數(shù)開始整數(shù)部分是2例4、A=123456分析：本題可以采用取近似值的辦法求解,還可采用放縮法估計范圍解答的。方法一：放縮法：A＞1234÷3122=0.3952…A＜1235÷3121＝0.3957…所以0.3952＜A＜0.3957方法二：省略尾數(shù)法：近似值：將被除數(shù)、除數(shù)同時舍去13位,各保留4位,則有1234÷3121≈例5、老師在黑板上寫了十三個自然數(shù),讓小明計算平均數(shù)〔保留兩位小數(shù),小明計算出的答數(shù)是12.43。老師說最后一位數(shù)字錯了,其它的數(shù)字都對。正確的答案應(yīng)是什么？分析：小明的答案僅僅是最后一位數(shù)字錯了,那么正確答案應(yīng)該在12.40與12.50之間。原來13個數(shù)的總和最小應(yīng)該是12.40×13=161.2,最大應(yīng)該是12.50×13=162.5之間,從而可求出這13個自然數(shù)的總和,從而知道正確答案已知：S=,求S的整數(shù)部分。分析與解：如果我們能知道分母部分最小不小于幾、最大不大于幾,就能知道它的值在某個范圍內(nèi)。當(dāng)這個范圍很小時,就容易判斷出s的整數(shù)部分了。設(shè)A=說明：本題如果直接計算,不但非常麻煩,而且容易出錯。上面的"分析"中,我們采用了"放大——縮小"的方法,就是先把s的倒數(shù)〔分母部分的每一個加數(shù)都看成最大的一個〔放大,再都看成最小的一個〔縮小。練一練：求的整數(shù)部分。練習(xí)一、基本題1、〔1++〔1+×2+〔1+×3+……〔1+×10+〔1+×11的結(jié)果是x,那么,與x最接近的整數(shù)是多少？2、求算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小數(shù)點后前二位數(shù)字是多少？3、為了修水電站,需要在極短的時間內(nèi)向河道中投入300米3石料,以截斷河流。如果每臺大型運輸車一次可運石料17.5米3,那么為保障一次截流成功,至少需多少臺運輸車？4、用5米長的花布做上衣,已知每件上衣需用布25、小華在計算一道求七個自然數(shù)平均數(shù)〔得數(shù)保留兩位小數(shù)的題目時,將得數(shù)最后一位算錯了。他的錯誤答案是21.83,正確答案應(yīng)是多少？6、求下式中S的整數(shù)部分：二、綜合題7、計算：〔提示：注意385=5×7×11,可以先用乘法分配律化簡,再估算。三、思考題：8、在1,,,……,,中選出若干個數(shù),使得它們的和大于3,至少要選幾個數(shù)？第六講分?jǐn)?shù)運算的技巧對于分?jǐn)?shù)的混合運算,除了掌握常規(guī)的四則運算法則外,還應(yīng)該掌握一些特殊的運算技巧,才能提高運算速度,解答較難的問題。下面我們著重介紹五種常用的簡算技巧。〔一一般分?jǐn)?shù)乘除法的計算：〔二分?jǐn)?shù)的簡便計算1.湊整法與整數(shù)運算中的"湊整法"相同,在分?jǐn)?shù)運算中,充分利用四則運算法則和運算律〔如交換律、結(jié)合律、分配律,使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)……從而使運算得到簡化。例3、計算：2.約分法：例4、計算：分析：仔細(xì)觀察可知,分子的每一項〔每一個加數(shù)都可以分解出1×2×3,分母的每一項都可以分解出1×3×5。把它們作為公因數(shù)提出來后,括號內(nèi)的和是相等的。例5、計算：分析：仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點,就會發(fā)現(xiàn)分毋中的被減數(shù)362×548可以變形為：〔361＋1>×548=361×548＋548,同時發(fā)現(xiàn)548－186=362。這樣就可以把分母轉(zhuǎn)化成與分子完全相同的式子,簡化運算。例6、計算：例7、計算：分組法例8、計算：分析：利用加法交換律和結(jié)合律,先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。4、代數(shù)法例9、練習(xí)：EQ\f<2003,2004>×2005第七講簡單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔一一、基礎(chǔ)知識：1、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般關(guān)系式是：表示單位"1"的量〔標(biāo)準(zhǔn)量×分率=分率的對應(yīng)量。2、解題思路：①一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中,先根據(jù)分率所在的哪個條件,找出并判斷"1"。分率是"誰的"幾分之幾,誰就是單位"1"〔分率是一個不帶單位的、不具體的分?jǐn)?shù),反映的是兩個數(shù)之間的一種倍數(shù)關(guān)系。單位"1"的量的判斷：根據(jù)分率來判斷把哪個數(shù)量平均分成多少份,哪個數(shù)量就是單位"1"。②表示單位"1"的量是已知的,則該題用"×"。表示單位"1"的量是未知的,則該題用"÷"或方程。③解題的關(guān)鍵是：尋找"與數(shù)量對應(yīng)的分率","與分率對應(yīng)的數(shù)量"。二、例題解析：〔一基本方法例1、指出下面每組中單位"1"和對應(yīng)分率。①一只雞的重量是鴨的。把<>平均分為3份,把〔看作單位"1",<>相當(dāng)于這樣的2份,2/3對應(yīng)的數(shù)量是〔。②甲的相當(dāng)于乙。把<>平均分為5份,把〔看作單位"1",<>相當(dāng)于這樣的3份,3/5對應(yīng)的數(shù)量是〔。③現(xiàn)價是原價的。把<>平均分為40份,把〔看作單位"1",<>相當(dāng)于這樣的3份,3/40對應(yīng)的數(shù)量是〔?，F(xiàn)價比原價少的部分對應(yīng)的分率是〔。④小紅的書比小明少。把<>平均分為8份,把〔看作單位"1",<>相當(dāng)于這樣的7份,7/8對應(yīng)的數(shù)量是〔。小明的書對應(yīng)的分率是〔。例2、根據(jù)已知條件用"——"線標(biāo)出單位"1"的量,再寫出數(shù)量關(guān)系式?！?白兔只數(shù)的是黑兔的只數(shù)。〔2已經(jīng)修了公路全長的?！?二班植樹棵數(shù)相當(dāng)于一班的。〔4今年棉花產(chǎn)量比去年增加?！?第三季度冰箱價格比第二季度便宜?！?還剩這堆煤的。例3、小王買了一個本子和一支鋼筆。本子的價格是1元,鋼筆的價格比本子的價格多,鋼筆的價格是多少元？例4、一條褲子比一件上衣便宜25元。一條褲子是一件上衣價格的2/3,一件上衣多少元？例5、商店運來一批水果,運來蘋果20筐,梨的筐數(shù)是蘋果的3/4,梨的筐數(shù)同時又是桔子的3/5。運來桔子多少筐？例6、學(xué)校買來54本新書,其中科技書占1/6,文藝書占1/3,文藝書比科技書多多少本？〔二能力拓展例7、小強看一本故事書,每天看16頁,看了5天后,還剩全書的3/5沒有看,這本故事書有多少頁？分析：把全書看作單位"1",是未知的,可以用除法或方程解答。3/5與沒有看的頁數(shù)相對應(yīng),看了的已知量16×5與1—3/5相對應(yīng)。例8、客車由甲城開往乙城要10小時,貨車由乙城開往甲城要15小時,兩車同時從兩城相向開出,多少小時兩車相遇？如果相遇時客車走了600千米,甲乙兩城之間的公路長多少千米?分析：本題的關(guān)鍵是要求相遇時間,我們知道相遇時間=相遇距離÷速度和,而本題要求的就是相遇距離,怎么辦？可以假設(shè)全程為單位"1"。練一練：一項工作,由甲單獨做需要10天；由乙單獨做需要12天.如果兩人合做,幾天才能完成?練習(xí)：一、基本題1、指出下面每組中單位"1”①白兔是黑兔的。把<>平均分為6份,把〔看作單位"1",<>相當(dāng)于這樣的5份,對應(yīng)的數(shù)量是〔。②一種毛衣現(xiàn)價是原價的4/7。把<>平均分為7份,把〔看作單位"1",<>相當(dāng)于這樣的4份,4/7對應(yīng)的數(shù)量是〔。現(xiàn)價比原價少的部分對應(yīng)的分率是〔。③九月份的產(chǎn)量比八月份增加了。單位"1"：〔。九月份的產(chǎn)量對應(yīng)分率〔。2、根據(jù)已知條件用"——"線標(biāo)出單位"1”的量,再寫出數(shù)量關(guān)系式〔1媽媽年齡的是女兒的年齡?！?已經(jīng)用這根繩子的?！?男生人數(shù)占總數(shù)的?！?今年車禍比去年減少?！?現(xiàn)價比原價增加?！?沒有看的占這本書的。3、六年級有男生100人,女生有80人?！?男生人數(shù)是女生的幾分之幾？〔2女生是男生的幾分之幾？〔3女生是全年級學(xué)生的幾分之幾？〔4男生人數(shù)比女生多幾分之幾？3、某生產(chǎn)隊挖一條長300米的水渠,第一天挖了全長的1/4,挖了多少米？還剩多少米？4、某車間五月份生產(chǎn)零件3000個,六月份比五月份多生產(chǎn)了,六月份生產(chǎn)了多少個零件？分析：把〔看作單位"1",是〔知的。可用〔方法計算。對應(yīng)的數(shù)量是〔,六月份生產(chǎn)的對應(yīng)分率是〔。解答：5、某小學(xué)有學(xué)生若干人,其中女生占3/8,還已知該校男生有240人,這所小學(xué)共有多少人？分析：把〔看作單位"1",是〔知的。可用〔方法計算。男生的對應(yīng)分率是〔。解答：6、小亮在銀行存了240元,小華存的錢是小亮的5/6,小華存的錢是小新的2/3,小新存了多少元？7、某糧店共有大米2800千克,第一天賣了4/7,糧店還有大米多少千克？8、商店有紅氣球和黃氣球,共有48只,其中黃氣球的只數(shù)是紅氣球的3/5。紅氣球和黃氣球各多少只?9、一只大雁由北方飛往南方要6天,一只野鴨由南方飛往北方要8天,如果大雁和野鴨同時從兩個方向同時出發(fā),多少天他們可以相遇?二、綜合題：10、王琳看一本連環(huán)畫共80頁,第一天看了全書的1/5,第二天看了全書的1/4。還剩多少頁沒有看？11、本站有一批貨物,上午運走了總數(shù)的2/5,下午運走了總數(shù)的3/8,還剩下2700噸沒有運,這批貨物一共有多少噸？12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克,這時袋里的大米恰好是22千克。這袋大米原來有多少千克？13、小剛讀一本書,先讀了全書的,又讀了全書的,已讀的比沒讀的多70頁,這本書共有多少頁？14、根據(jù)算式寫出問題?！舱f明：35%=7/20還剩下全長的1/3沒有修完,————————？〔12400×1/4？〔22400×35%？〔32400×〔1/4+35%？〔42400×1/3？〔52400×〔35%-1/4？〔62400×〔1/3-1/4？〔72400×〔1/4+35%-1/3？第八講較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔二本講繼續(xù)學(xué)習(xí)較復(fù)雜的應(yīng)用題——兩個單位"1"的情況和量與率的對應(yīng)關(guān)系。較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常常需要畫出線段圖或用方程的方法解答。例1、一根140厘米長的繩子,第一次用去它的4/7,第二次又用了余下的3/5,兩次共用去多少厘米？分析：本題有2個分率,相對應(yīng)的有2個單位"1"。例2、小紅看一本書,第一天看了全書的4/7,第二天又看了剩下的3/5,還剩下42頁沒有看,這本書共有多少頁？練一練：某生產(chǎn)隊挖一條長300米的水渠,第一天挖了全長的,第二天挖了余下的,第三天恰好挖完,第三天挖了多少米？例3、一瓶油第一次吃了1/5千克,第二次吃了余下的3/4,這時瓶內(nèi)還有1/5千克,問這瓶油原來有多少千克？分析：根據(jù)條件"第二次吃了余下的3/4",我們先確定"1"；再利用線段圖來找出："與量對應(yīng)的率"或"與率對應(yīng)的量"。例4、某校男生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/9少25人,女生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/7多15人。求全校學(xué)生總?cè)藬?shù)。分析：利用線段圖來找出："與量對應(yīng)的率"或"與率對應(yīng)的量"。而單位"1"是未知的,可以用除法或方程解答。例5、有一瓶酒精,第一次倒出2/3又80克,然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4,這時瓶里還剩下90克酒精。求原來瓶里有酒精多少克？分析：本題2個分率,相對應(yīng)的有2個單位"1"。利用線段圖來找出："與量對應(yīng)的率"或"與率對應(yīng)的量"。單位"1"是未知的,可以用除法或方程解答。試一試：東盛化肥廠生產(chǎn)一批化肥,分三次運出,第一次運出的比總數(shù)的3/5還多300噸,第二次運出的是第一次的1/3,第三次運出的450噸,求這批化肥有多少噸？例6、某工廠二月份比元月份增產(chǎn)1/10,三月份比二月份減產(chǎn)1/10．問三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？分析：本題沒有告訴我們具體的數(shù)量,要求的也是不具體的分率,所以我們可以假設(shè)老三年齡為"1",或者假設(shè)一個具體的數(shù)量、字母。練一練：有兄弟三個,老大比老二年齡大2/5,老二比老三年齡大2/5,老大的年齡是老三的幾分之幾？練習(xí)：1、某水泥廠第二個月生產(chǎn)水泥2400噸,比第一個月多生產(chǎn)1/4,第一個月生產(chǎn)水泥多少噸？第三個月生產(chǎn)的水泥,比第一個月少生產(chǎn)1/5,那么第三個月生產(chǎn)水泥多少噸？2、小紅看一本240頁的書,第一天看了全書的1/4,第二天又看了剩下的1/3,還剩下多少頁沒有看？3、某糧店,第一天賣了全部大米的4/7,第二天又賣了余下的3/5,這時還剩下420千克米沒有賣。這個糧店共有大米多少千克？4、某車間一月份生產(chǎn)了1000個零件,以后每個月都增產(chǎn)1/10,三月份生產(chǎn)了多少個零件？5、某工廠去年制造一種零件,成本逐漸下降,每一季度的成本都比前一季度降低1/4,問第三季度的成本是第一季度的幾分之幾？6、某班學(xué)生中,男生人數(shù)比全班人數(shù)的5/9少5人,女生人數(shù)比全班人數(shù)的3/7多11人,求全班人數(shù)。7、一桶柴油,第一次用了全桶的2/5,第二次用去20千克,第三次用了前兩次的和,這時桶里還剩8千克二、綜合題8、兩隊合修一條水渠,甲隊完成的比全長的1/2還多7.2千米,乙隊完成的相當(dāng)于甲隊的1/3。這條水渠有多長？9、小王做零件,已經(jīng)做了240個,比計劃還少20%,為了超額25%,小王還應(yīng)再做多少個？10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克,后又加入8千克,第二周又吃了剩下的1/3,這時袋里的大米恰好是24千克。這袋大米原來有多少千克？11、向陽村用拖拉機耕地,第一天耕了全部土地的1/4,第二天耕了剩下的三分之二,第二天比第一天多耕30公頃,問這個村共有多少公頃土地？12、一種商品,先提價,再降價,現(xiàn)價相當(dāng)于原價的幾分之幾？第九講階段復(fù)習(xí)與考試第十講簡單的工程問題〔一準(zhǔn)備題：修建一條長1200米的公路,甲隊需要30天,乙隊需要40天,如果兩隊合修需要多少天？在日常生活中,做某一件事,制造某種產(chǎn)品,完成某項任務(wù),完成某項工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量,它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是：工作效率×工作時間=工作總量〔由此還可以變化為工作時間=工作總量÷工作效率,工作效率=工作總量÷工作時間,在小學(xué)數(shù)學(xué)中,探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題,我們都叫做"工程問題"。工程問題中的本質(zhì)關(guān)系為：工作效率×工作時間=工作總量。分?jǐn)?shù)工程問題的特點,常常不給出具體的工作總量,我們把全部工程看作單位"1",這樣,工作效率=1/工作時間,然后再根據(jù)工總、工效和工時這三個量的關(guān)系解題。一、基本方法例1、加工一批零件,甲單獨做6小時完成,乙單獨做9小時完成?！?甲、乙合做,每小時完成這批零件的幾分之幾？〔2合做3小時完成這批零件的幾分之幾？〔3合做3小時后完成剩下零件兩人合作還需要多少小時？〔4如果合做2小時后,剩下的由甲單獨做還需要多少小時做完？練一練：現(xiàn)在打一份文稿,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天,余下的工作由甲、乙合作完成,還需要做幾天可以完成全部工作？例2、兩列火車同時從甲、乙兩地相向而行,貨車從甲地開往乙地需要10小時,客車從乙地開往甲地需要8小時,現(xiàn)貨車先行2小時后,客車才出發(fā),求客車出發(fā)后多少小時兩車相遇？分析；沒有告訴我們甲、乙兩地的路程,我們把甲、乙兩地路程看做單位"1",速度用1/時間來表示。求相遇時間,相遇時間=相隔路程÷速度和。例3、一個水池有兩個進(jìn)水管,一個出水管。單開甲管12小時可把空池注滿,單開乙管20小時可把空池注滿,單開丙管15小時可把滿池水放空,三管同開,多少小時把空池注滿水？分析：注意本題是兩個進(jìn)水管,一個出水管,進(jìn)水管來灌水,出水管來放水。例4、水池上裝有甲、乙兩個大小不同的水龍頭,單開甲龍頭60分鐘可注滿水池,現(xiàn)在兩個水龍頭同時注水,20分鐘可注滿水池的1/2,如果單開乙龍頭需要多長時間注滿水池？分析：根據(jù)條件可以求出甲、乙兩水龍頭的工效和,再根據(jù)甲龍頭的工效,就可以求出乙龍頭的工效了。進(jìn)而求出乙龍頭的工作時間。二、能力拓展例5、一項工程,先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3,再由乙單獨做了2天完成了全部工程的1/30,然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果這項工程由甲、乙、丙三人合做,需要多少天完成？例6、一項工程,甲隊獨做需要45天完成,乙隊獨做需要60天完成,現(xiàn)在甲、乙兩隊合作,中途乙隊因事調(diào)走,這樣完成全部工程共用了30天,求乙隊工作了幾天？分析：這項工程,我們可以看成甲隊做了一部分,乙隊也做了一部分。例7、某項工程,甲、乙兩隊合做,30天可以完成。今兩隊合做12天后,剩下的由甲隊獨做,經(jīng)過24天才完成。問：乙隊獨做全部工程需幾天完成？分析：根據(jù)條件可以求出兩隊工效和。例8、加工一批零件,甲獨做20天完成,乙獨做每天完成這件零件的1/30,現(xiàn)在兩人合作完成這批零件,甲中途休息了2.5天,乙也休息了幾天,這樣用了15天才全部完成,求乙休息了幾天？分析：乙休息的天數(shù)可能2.5天多或少或同樣多。解題方法多樣：按前面例題的思路,可用方程的方法,或假設(shè)方法。練習(xí)：一、基本題：1、修一棟樓房,甲公司單獨做5個月完成,乙公司單獨做6個月完成?！?合做2個月完成這棟樓房的幾分之幾？〔2如果合做2個月后,剩下的由甲公司做還需要多少個月做完？2、一項工程,甲隊單獨做20天完成,乙隊單獨做30天完成。現(xiàn)在兩隊合作,多少天可以完成？3、一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天,余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？4、做一批零件,甲單獨做12天完成,乙單獨做16天完成,現(xiàn)在兩人合作4天后,余下的由乙獨做多少天可以完成？5、一個水池上裝有一根進(jìn)水管和一根出水管,單開一根進(jìn)水管30分鐘可以將水池注滿,單開一根出水管45分鐘可以將一池水放完?，F(xiàn)在水池有1/2的水,兩管齊開,多少分鐘水池可以把水池灌滿？6、一只大雁從甲地飛向乙地需要10天,一只野鴨從乙地飛向甲地需要12天,現(xiàn)野鴨先飛了3天后,大雁才出發(fā),求大雁出發(fā)后多少天大雁和野鴨相遇？7、一項工程,甲隊單獨做5天完成；乙隊單獨做6天完成,甲、乙兩隊合做2天后,甲隊因事調(diào)走,余下的部分由乙隊單獨做完,還需要多少天完成？二、綜合題8、做一批零件,甲、乙兩人合做12天完成,現(xiàn)在甲、乙合做4天后,余下的乙獨做20天可以完成。如果甲單獨完成這批零件要用多少天？9、有一項工程,甲隊獨做40天可完成,乙隊獨做60天可完成,現(xiàn)在已知兩隊合做這項工程,但中間甲隊因另有任務(wù)調(diào)走幾天,所以經(jīng)過27天才完成全部工作,甲隊離開了幾天？10、一件工程,甲5小時先完成了1/4,乙接著用9小時又完成了剩下任務(wù)的一半,最后余下的部分由甲、乙合作,還需要多少小時才能完成？11、一項工程,先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程,還要幾天可以完成？第十一講：圓和扇形〔一〔一基本知識1、圓：圓周長公式：C=πd或C=2πr。圓面積公式：。圓環(huán)面積：圖一圖二圖三2、扇形。如上圖二,連接兩條半徑OA、OB,就可得到一個扇形OAB,扇形面積公式是：S=。扇形的圓弧長=所在圓周長的。其中r是指扇形的在圓的面積,n指的是圓心角的度數(shù)。例1、圖二中n=60°,半徑為6厘米,扇形面積是多少？弧AB是多少？3、弓形。如上圖三,S弓AC=S扇AOC—S△AOC例2、圖三中,直角三角形AOC的直角邊OA=6厘米,求弓形AC的面積。〔二基本運用例3、街心花園中圓形花壇的周長是18.84米?；▔拿娣e是多少平方米？例4、計算下圖陰影部分的面積．<單位：厘米>例5、在一塊長4.5米,寬2米例6、從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓,這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米？剩下的面積是多少？例7、從一個直徑為10厘米的圓中,剪去一個最大的正方形,正方形面積是多少？例8、求下圖中陰影部分的面積和周長。練習(xí)一、基本題1、一個圓形花壇的周長是25.12米?；▔拿娣e是多少平方米？2、已知一個圓的面積是28.26平方厘米,求這個圓的周長。3、下圖涂色部分是個環(huán)形,它的內(nèi)圓半徑是10厘米,外圓半徑是15厘米,它的面積是多少？4、從一塊邊長8厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓,陰影部分面積是多少？5、下圖圓的半徑為6厘米,圓心角為45度,扇形AOC的面積是多少？弧AC是多少？6、下圖是一個直角邊長為20厘米的等腰直角三角形。求弓形面積。7、求陰影部分的面積：<單位：分米>〔π=38、右圖中直角三角形ABC的底AB=20厘米,以AB為直徑畫成一個圓,圓心為O,CO垂直于AB,求弓形AC的面積。9、求下圖中陰影部分面積和周長〔1等腰梯形的腰是0.8?！矄挝唬豪迕住?三角形ABC是等邊三角形,底BC=6厘米,扇形圓心角為120度。思考題：10、在下圖中左右兩個正方形一樣大小,且圖〔2中四個小圓一樣大．試問是圖〔1中的大圓面積大,還是圖〔2中四個小圓的面積之和大？請說明理由。第十二講簡單的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔一百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù),叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)在生活中大量地運用。如出生率、利息、利潤等。一般地,我們可以把百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題看作分?jǐn)?shù)應(yīng)用題來解答。一、一般百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例1、東風(fēng)化肥廠去年計劃生產(chǎn)化肥60萬噸,實際生產(chǎn)了72萬噸。實際產(chǎn)量比計劃超過百分之幾？例2、商店賣一種袖珍收音機,現(xiàn)在按八折出售,每臺是14.4元,這種收音機原價每臺多少元?例3、有甲、乙兩個倉庫,甲倉庫存糧的2/3正好是乙倉庫存糧的60%,已知乙倉庫存糧1500噸,甲倉庫存糧多少噸？例4、工程隊挖一條水渠,每天挖1.4千米,10天挖了全長的70%例5、學(xué)校去年春季植樹500棵,成活率為85％,去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹,那么去年秋季學(xué)校共種多少棵樹？分析：成活率是指成活的棵數(shù)占全部棵數(shù)的百分之幾。根據(jù)去年春季成活率85％,可以求出成活棵數(shù)和死了的棵數(shù)。進(jìn)而求出死了的棵數(shù),再根據(jù)去年秋季植樹的成活率90％,求出去年秋季種的樹。例6、紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％,一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析：沒有告訴我們具體的數(shù)量,而且求的也是一個不具體的數(shù)量百分比,這樣,我們可以采用設(shè)參數(shù)的方法。二、特殊的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題——利潤問題在這類問題中,特別的在于,它涉及兩個量的相乘,一是商品的單價,另一個是銷售量。我們要同時把握這兩個量的變化：總價=單價×數(shù)量利潤：一般地,商店購進(jìn)貨物的錢叫成本〔或購入價。賣出去的錢叫售價〔或賣出價。售價與成本的差叫利潤。利潤與成本的比叫利潤率。售價=成本+利潤=成本+成本×利潤率=成本×〔1+利潤率利潤=售價—成本例7、某商店進(jìn)貨的批發(fā)價為50元一袋,規(guī)定零售價為70元一袋,求商品的利潤率是多少？例8、商店從某供貨商以每臺1200元,購進(jìn)了50臺空調(diào)。該商店以20%的利潤率來定價,空調(diào)的定價是多少？如果全部按這個價賣出,商店共獲利多少元？例9、商場以400元的成本購進(jìn)一見商品,該商店準(zhǔn)備以50%的利潤率來定價,但因為價高,沒有人購買,只好打75折優(yōu)惠,問現(xiàn)在這件商品賣多少元？練習(xí)1、曙光面粉廠①5000千克小麥可以出面粉4000千克,面粉的出粉率是②面粉的出粉率是80％,4000千克小麥可以出面粉多少千克？③面粉的出粉率是80％,加工3200千克面粉需要多少千克小麥？2、把20克鹽溶解在80克3、一家大型超級市場,一月份的營業(yè)額是5000萬元,如果按營業(yè)額的5%繳納營業(yè)稅后,還剩余多少萬元？4、甲數(shù)比乙數(shù)多20%,乙數(shù)比甲數(shù)少百分之幾？5、某化肥廠第一季度生產(chǎn)化肥2400噸,完成了全年任務(wù)的25%,他們準(zhǔn)備在第二季度完成全年任務(wù)的30%,那么第二季度應(yīng)生產(chǎn)化肥多少噸？6、運送一批樹苗,已運了總數(shù)的62.5％,未運的比已運的少420棵,這批樹苗總數(shù)多少棵？7、某商場以每套64元的價格,購進(jìn)童裝100套,全部銷售完后,共得10000元,求商場銷售這些童裝的利潤率。8、中國書店收購一本舊書,原價12元．收購時按八折作價,然后又按比收購價多5%的價錢售出．書店售出這本書的價錢是多少元?9、在某校學(xué)生中,男生人數(shù)占全校人數(shù)的60％,女生人數(shù)占全校的40％,那么,男生人數(shù)比女生多百分之幾？10、采煤隊三月份上半月完成月計劃的60％,下半月完成月計劃的65％,這個月實際采煤2.5萬噸,這個月超過月計劃多少萬噸？11、一家服裝店出售兩種春裝,一種是新式樣,每件賣240元,可賺20%,另一種樣式過時,是處理品賠本20%,每件售價也是240元,問：兩種春裝各出售一件,是賠還是賺？賠〔或賺多少？12、某校綠化校園植了水杉,柏樹、梧桐三種樹,其中種植水杉的棵數(shù)為總數(shù)的40%,柏樹的棵數(shù)是水杉的7/8,其余的是梧桐樹。已知水杉比梧桐多144棵,水杉是多少棵？第十三講分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)例1：數(shù)量和分率直接對應(yīng)一輛汽車4小時行了全程的2/5,照這樣的速度,再行幾小時到達(dá)？練習(xí)：六〔1班,男生比女生少8人,女生比男生多1/3,全班多少人？例2：已知量的——對應(yīng)分率1、一條公路第一天修了全長的1/4,第二天修了全長的2/5,兩天共修了1.3千米,這條公路全長多少米？2、一輛汽車行了全程的3/5,這時已超過中點15千米,已行了多少千米？3、服裝店分兩次加工一批服裝,第一次做了全部的1/5,第二次比第一次多做90件。這批服裝共多少件?4、汽車從A城開往B城,第一小時行全程的1/4,第二小時行全程的1/3,超過中點15千米,A、B兩城相距多少千米?5、電視機廠9月份生產(chǎn)一批電視機,上旬生產(chǎn)了全部的3/10,中旬生產(chǎn)的是上旬的2/3,下旬全部完成任務(wù)。已知下旬比中旬多生產(chǎn)2250臺,9月份生產(chǎn)電視機多少臺?例3：找對應(yīng)關(guān)系1．小紅看一本小說,第一天看總頁數(shù)的1/12還多19頁,第二天看的比總頁數(shù)的1/8少17頁,還余下93頁,這本書共多少頁?2、服裝店加工一批服裝,第一次做了全部的1/5,第二次比第一次多做8件。這時做完的比沒做完的少2件,這批服裝共多少件?3、一批木料,先用去總數(shù)的2/5,又用去總數(shù)的4/9,這時用去的比剩下的多21方,這批木料共多少方?4、有兩只桶裝油50千克,若第一桶里倒出1/5,第二桶里倒進(jìn)4千克,則兩桶內(nèi)油相等。原來每只桶各裝油多少千克?5、一個班女生比男生的2/3多4人,如果男生減少3人,女生增加4人,那么男女生恰好相等。這個班男、女生各有多少人?6、甲、乙、丙、丁四人共同購買一只游艇,甲支付的現(xiàn)金是其余三人所支付的1/4,乙支付的比其余三入所支付的總數(shù)少1/2,丙支付的是其余三人所支付的1/3,丁支付9100元。這只游艇價值多少元?7．小強讀一本書,第一天讀全書的4/7,第二天又讀了余下的1/2,這時還有30頁沒讀,這本書共有多少頁?8、學(xué)校舉行一項數(shù)學(xué)講座,整個教室坐滿了人,其中兩人中有一個六年級學(xué)生,四人中有一個五年級學(xué)生,七人中有一個四年級學(xué)生,還有六位老師,整個教室聽課的有多少人?六年級分?jǐn)?shù)應(yīng)用題練習(xí)１、修一條長3000米的路,已經(jīng)修了30%,還剩多少米沒有修？2、碼頭上有一堆石子,賣出eq\f<2,5>,正好是600噸。這堆石子有多少噸？賣出了多少噸