《變化率與導數(shù)》同步練習5

《變化率與導數(shù)》同步練習【A級】基礎訓練1．(2013·淄博模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋3x－2在點(2，f(2))處的切線斜率為7，則實數(shù)a的值為()A．－1 B．1C．±1 D．－2解析：f′(x)＝2ax＋3，依題意f′(2)＝7，即4a＋3＝7，得a答案：B2．(2013·廈門高三上學期期末質量檢查)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(5，f(5))處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)等于()\f(1,2) B．1C．2 D．0解析：∵函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(5，f(5))處的切線方程是y＝－x＋8.∴f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2，故選C.答案：C3．(2013·日照重點中學二次診斷)若曲線f(x)＝eq\r(x)、g(x)＝xa在點P(1,1)處的切線分別為l1、l2，且l1⊥l2，則a的值為()A．－2 B．2\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：由題意可知，f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝axa－1，∵l1、l2過點P(1,1)，∴kl1＝f′(1)＝eq\f(1,2)，kl2＝g′(1)＝a.又∵l1⊥l2∴kl1·kl2＝eq\f(1,2)a＝－1，∴a＝－2.答案：A4．(2013·山東名校信息卷)曲線y＝eq\f(sinx,x)在點(π，0)處的切線方程是________．解析：由題意知y′＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，則曲線在點(π，0)處的切線的斜率k＝eq\f(πcosπ－sinπ,π2)＝－eq\f(1,π)，故曲線在點(π，0)處的切線方程是y－0＝－eq\f(1,π)(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(2013·綿陽質檢)設函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，則x0＝________.解析：由已知f′(x)＝ax2＋b，又f(3)＝3f′(x0)，則有9a＋3b＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以xeq\o\al(2,0)＝3，則x0＝±eq\r(3).答案：±eq\r(3)6．(2013·開封調研)若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋eq\f(1,x).∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點，x＋eq\f(1,x)－a＝0，∴a＝x＋eq\f(1,x)≥2.答案：[2，＋∞)7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值．解：因為f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x＞0)，又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－aln2＝2＋b，,2－\f(a,2)＝1，))解得a＝2，b＝－2ln2.8．已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限．(1)求P0的坐標；(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.當x＝1時，y＝0；當x＝－1時，y＝－4.又∵點P0在第三象限，∴切點P0的坐標為(－1，－4)．(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率為－eq\f(1,4).∵l過切點P0，點P0的坐標為(－1，－4)．∴直線l的方程為y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.【B級】能力提升1．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝()A．26 B．29C．212 D．215解析：∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＝x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，于是f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝2答案：C2.(2013·濟南兩名校模擬)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的部分圖象，函數(shù)g(x)＝ex－f′(x)的零點所在的區(qū)間是(k，k＋1)(k∈Z)，則k的值等于()A．－1或0B．0C．－1或1D．0或1解析：由二次函數(shù)的圖象及函數(shù)兩個零點的位置可知其對稱軸x＝－eq\f(a,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，解得1＜a＜2.而g(x)＝ex－f′(x)＝ex－2x－a，根據指數(shù)函數(shù)y＝ex與一次函數(shù)y＝2x＋a(1＜a＜2)的圖象可知，函數(shù)g(x)有兩個零點，而g(0)＝1－a＜0，g(1)＝e－2－a＜0，g(2)＝e2－4－a＞0，g(－1)＝e－1＋2－a＞0，所以函數(shù)g(x)有兩個零點x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，故k＝－1或1.答案：C3．(2013·臨沂重點中學聯(lián)考)曲邊梯形由曲線y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所圍成，過曲線y＝x2＋1(x∈[1,2])上一點P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，則P點的坐標為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(13,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(13,4)))解析：設P(x0，xeq\o\al(2,0)＋1)，x0∈[1,2]，∵y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0，∴過點P的切線方程為y－(xeq\o\al(2,0)＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＋1，令g(x)＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＋1，則g(1)＋g(2)＝2(xeq\o\al(2,0)＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)＝－2xeq\o\al(2,0)＋6x0＋2.令S表示過點P的切線從曲邊梯形上切出的普通梯形的面積，則S＝eq\f(g1＋g2,2)×1＝－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋1＝－(x0－eq\f(3,2))2＋eq\f(13,4).當x0＝eq\f(3,2)時，S有最大值，∴P(eq\f(3,2)，eq\f(13,4))為所求點．答案：A4．(2013·濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y＝x3－x上，已知曲線C在點P處的切線斜率為2，則切線方程為________．解析：由y＝x3－x得y′＝3x2－1，令P(x0，y0)，則3xeq\o\al(2,0)－1＝2，所以x0＝±1，即切點 P的橫坐標為±1，縱坐標為0，故所求的切線方程為y＝2(x±1)，即2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0.答案：2x－y＋2＝0或2x－y－2＝05．(2013·山東高考原創(chuàng)卷)設曲線y＝eq\f(2－cosx,sinx)在點(eq\f(π,2)，2)處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝________.解析：由題意得y′＝eq\f(2－cosx′sinx－2－cosxsinx′,sin2x)＝eq\f(1－2cosx,sin2x)，切線的斜率k1＝eq\f(1－2cos\f(π,2),sin2\f(π,2))＝1.又切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，所以a≠0，故直線的斜率k2＝－eq\f(1,a)，由k1k2＝－1，得a＝1.答案：16．(2013·淮南調研)設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，且f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________.解析：f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx∴f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)∴f′(eq\f(π,2))＝－1∴f′(x)＝－cosx－sinx∴f′(eq\f(π,4))＝－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝－eq\r(2)答案：－eq\r(2)7．(2013·蘇州十校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝eq\f(7,4)x－3，當x＝2時，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋eq\f(3,x2)知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0得，y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝