第4章-數(shù)值積分與微分

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值分析4.1數(shù)值積分概論

4.2牛頓-科特斯公式

4.3復(fù)合求積公式

4.4龍貝格求積公式

4.5自適應(yīng)積分方法

4.6高斯求積公式

4.8多重積分微積分學(xué)---“人類精神的卓越勝利”微積分就是微分運(yùn)算和積分運(yùn)算這兩種互逆運(yùn)算方法的合稱，就像加法與減法，乘法與除法是互逆運(yùn)算一樣，但微積分的運(yùn)算法則要比加減乘除，乘方，開方等運(yùn)算復(fù)雜得多，現(xiàn)在已成為高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。

為什么要數(shù)值積分？在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)f(x)?有解析表達(dá)式；?f(x)的原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．Whydowedonumericalintegral?問題?f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式e.g.x12345f(x)44.5688.5?f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)e.g.

它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù).?f(x)原函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜，計(jì)算量很大e.g.

討論數(shù)值積分的必要性更一般地，我們可以在區(qū)間[a,b]上選取某些節(jié)點(diǎn)4.-----(1.3)數(shù)值求積的方法是近似方法，要保證精度，我們自然希望求積公式對(duì)盡可能多的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，因此定義代數(shù)精度的概念:P98-99考察其代數(shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代數(shù)精度=1例1.試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度各節(jié)點(diǎn)為Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和i，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。梯形公式時(shí)，——3/8公式例用n=6的牛頓－柯特斯公式計(jì)算定積分值解：將積分區(qū)間[0,1]劃分為n份，得到節(jié)點(diǎn)列為在這些節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為則n=6的牛頓－柯特斯公式為Simpson公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Simpson求積公式，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項(xiàng)為Simpson公式具有3次代數(shù)精度Cotes公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Cotes求積公式，也稱五點(diǎn)公式記為Cotes公式的余項(xiàng)為Cotes公式具有5次代數(shù)精度思考使用n次Lagrange插值多項(xiàng)式的Newton-Cotes公式至少具有n次代數(shù)精度,并且n為偶數(shù)時(shí)至少具有n+1次代數(shù)精度.n=偶數(shù)時(shí)Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精確度考察Cotes系數(shù)因此用Newton-Cotes公式計(jì)算積分的舍入誤差主要由其值可以精確給定記而理論值為定義2在機(jī)械求積公式中，若其中則稱機(jī)械求積公式是收斂的。使用機(jī)械求積公式計(jì)算得到的近似值記為記為誤差舍入誤差充分小這表明求積公式計(jì)算是穩(wěn)定的。定義3對(duì)任給只要成立，就稱機(jī)械求積公式是穩(wěn)定的。若就有定理2：若機(jī)械求積公式中的系數(shù)則此求積公式是穩(wěn)定的。證：Haven’twehadenoughformulae?What’supnow?Ohcomeon,youdon’tseriouslyconsiderh=(ba)/2acceptable,doyou?Whycan’tyousimplyrefinethepartitionifyouhavetobesopicky?Don’tyouforgettheoscillatorynatureofhigh-degreepolynomials!Uh-oh4.3復(fù)化求積公式直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,又使算法簡(jiǎn)單易行,往往使用復(fù)化方法然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn注：為方便編程，可采用另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時(shí)，有復(fù)化求積公式的余項(xiàng)和收斂的階我們知道,三個(gè)求積公式的余項(xiàng)分別為單純的求積公式復(fù)化求積公式的每個(gè)小區(qū)間則復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為由于即有例用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，并估計(jì)誤差。（取n=5）解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，節(jié)點(diǎn)列為則復(fù)化Simpson公式為截?cái)嗾`差估計(jì)：

例1

對(duì)于函數(shù)f(x)=sinx/x，給出n=8的函數(shù)表，試用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計(jì)算積分xf(x)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709

解將積分區(qū)間[0,1]劃分為8等分，用復(fù)化梯形公式求得而將積分區(qū)間[0,1]劃分為2×4等分，用復(fù)化辛普森公式求得

比較上面兩個(gè)計(jì)算結(jié)果T8與S4，它們都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，然而精度卻差別很大，同積分準(zhǔn)確值I=0.9460831比較，應(yīng)用復(fù)化梯形公式計(jì)算的結(jié)果T8=0.9456909只有2位有效數(shù)字，而應(yīng)用復(fù)化辛普森公式計(jì)算的結(jié)果S4=0.9460832卻有6位有效數(shù)字.

為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求f(x)=sinx/x的高階導(dǎo)數(shù)，由于所以有于是復(fù)化梯形公式誤差為復(fù)化辛普森公式誤差為

例2

利用復(fù)化梯形公式計(jì)算使其誤差限為0.5*10-6，應(yīng)將區(qū)間[0,1]幾等分?

解

利用例1的結(jié)果取n=236可滿足要求.由復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)得6因此只需將區(qū)間[0,1]四等分，即取9個(gè)點(diǎn)n>3.4取n=4使用復(fù)合Cotes公式，只需要將區(qū)間1等分，即四小等分，五個(gè)點(diǎn)。

理查德森外推法/*Richardson’sextrapolation*/利用低階公式產(chǎn)生高精度的結(jié)果。設(shè)對(duì)于某一h

0，有公式T0(h)

近似計(jì)算某一未知值I。由Taylor展開得到：T0(h)I=1h+2h2+3h3+…i與h

無關(guān)現(xiàn)將

h對(duì)分，得：()()()...)(3232222120+++=-hhhhITaaaQ：如何將公式精度由O(h)提高到O(h2)？...432112)()(23322020---=---hhIhTThaa即：求積公式

(1)當(dāng)求積系數(shù)、求積節(jié)點(diǎn)都可以自由選取時(shí),其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多少次?

§4.5高斯型積分

/*GaussianQuadrature*/構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點(diǎn)x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)，公式稱為Gauss型求積公式。例：求的2點(diǎn)Gauss公式。解：設(shè)，應(yīng)有3

次代數(shù)精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是線性方程組，不易求解。正交多項(xiàng)式證明：“”對(duì)任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應(yīng)精確成立：0=0x0…xn

為Gauss點(diǎn),則公式至少有2n+1次代數(shù)精度。與任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)（帶權(quán)）正交。P119;Th5

x0…xn

為Gauss點(diǎn)

插值型求積公式的節(jié)點(diǎn)“”

要證明x0…xn為Gauss點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次數(shù)不大于2n+1

的多項(xiàng)式Pm(x)精確成立，即證明：設(shè)0n次多項(xiàng)式TH5表明，在[a,b]上帶權(quán)的n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式的高斯點(diǎn)。

如何通過正交多項(xiàng)式求高斯點(diǎn)？正交多項(xiàng)式族{0,1,…,n,…}有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)必與n+1

正交。若取w(x)為其中的n+1則n+1的根就是Gauss點(diǎn)。再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：構(gòu)造正交多項(xiàng)式2設(shè)cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102200))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：Step2：求2=0

的2個(gè)根，即為Gauss點(diǎn)x0，x1Step3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1解線性方程組，簡(jiǎn)單。結(jié)果與前一方法相同：

利用此公式計(jì)算的值注：構(gòu)造正交多項(xiàng)式也可以利用L-S

擬合中介紹過的遞推式進(jìn)行。Gauss型求積公式具有數(shù)值結(jié)果精度高,收斂得以保證、計(jì)算簡(jiǎn)便、易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),并且在積分區(qū)間[a,b]有限時(shí)便于推廣到高維數(shù)值積分.不足之處是公式的構(gòu)造比較困難,另一個(gè)是由于相鄰次數(shù)的正交多項(xiàng)式的根,從而造成增加求積節(jié)點(diǎn)以提高計(jì)算結(jié)果的精度時(shí),原先所有求積節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值全部無用.所以在具體應(yīng)用Gauss求積公式計(jì)算數(shù)