1直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系

數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系和參數(shù)方程第一講 直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系【基礎(chǔ)知識】1.平面直角坐標(biāo)系的建立：在平面上，當(dāng)取定兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系。2?空間直角坐標(biāo)系的建立：在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，當(dāng)取定這三條直線的交點為原點，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系。3.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換定義：設(shè)點p(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換e：｛x「"x(I>0)y=u-y(u>0)的作用下，點P(x,y)對到應(yīng)點尸(x',y'),稱?為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換。4.極坐標(biāo)系的建立：在平面上取一個定點0,自點0引一條射線0X，同時確定一個單位長度和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。(其中0稱為極點，射線0X稱為極軸。)設(shè)M是平面上的任一點，p表示0M的長度，0表示以射線0X為始邊，射線0M為終邊所成的角。那么有序數(shù)對(P,0)稱為點M的極坐標(biāo)。其中P稱為極徑,0稱為極角。約定：極點的極坐標(biāo)是P=0，0可以取任意角。5?負(fù)極徑的規(guī)定：在極坐標(biāo)系中，極徑p允許取負(fù)值，極角0也可以去任意的正角或負(fù)角，當(dāng)p<0時，點M(p，0)位于極角終邊的反向延長線上，且OM=|p。M(p，0)也可以表示為(p,0+2k兀)或(―p,0+(2k+1)兀)(kez)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化以直角坐標(biāo)系的0為極點，x軸正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的單位長度平面內(nèi)的任一點P的直角坐標(biāo)極坐標(biāo)分別為(x,y)和(p,0)，則x=pcos0,y=psin0.p2=x2+y2,tan0=—(x豐0).x【典型例題】Ix'=2x,例1求下列點經(jīng)過伸縮變換<,_后的點的坐標(biāo)：(1)(1,2)；Iy=3y(2)(-2,-1).公式實行坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化.【分析】利用伸縮變換e：｛x,="?丫>公式實行坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化.y=u-y(u>0)【解】(1)(2,6)；(2)(-4,-3).x'=X-x(九>0)【點撥】利用伸縮變換e：｛, /小公式是解決坐標(biāo)與坐標(biāo)之間、曲線與曲線之間變換的重要手段y=u-y(u>0)

（X=2x （X=2x例2在伸縮變換｛, 與伸縮變換｛,小的作用下，單位圓x2+y2二1分別變成什么圖形？〔y=y 〔y=2yfx'二2x x'2 Fx'二2x解：在K 的作用下，單位圓變成橢圓丁+y'2=1；在K小的作用下，單位圓變成圓x'2+y'2二4。b'二y 4 [y'二2yTOC\o"1-5"\h\z一 兀 3兀 兀 9兀例3在極坐標(biāo)系中，畫出點A （1,?。?，B（2,二-）,C（3，~—）， D（4^ ——）.4 2 4 4【分析】利用極坐標(biāo)系的概念建立極坐標(biāo)系求解.兀 3?！窘狻吭跇O坐標(biāo)系中，先按極角找到極徑所在的射線，即丁線，4 2\o"CurrentDocument"兀 9兀 兀 9兀線，-丁線，線，丁線和線是同一條射線，然后在相應(yīng)的4 4 4 4射線上按極徑的數(shù)值描點.【點撥】我們也可以允許P<0，此時極坐標(biāo)（P，0）對應(yīng)的點M的位置按下面規(guī)則確定：點M在與極軸成0角的射線的反向延長線上，它到極為O的距離IPI,即規(guī)定當(dāng)P<0時，點M（P，0）就是點M（-P,0+兀）.例4解答下列各題(2)化點B的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo).（1）把點A的直角坐標(biāo)（1,-(2)化點B的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo).【分析】利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式求解.又..x>0,y<0???0是第四象限角,P=又..x>0,y<0???0是第四象限角,TOC\o"1-5"\h\z【解】(1)V x（Q孚）??.點A的極坐標(biāo)為42cos（-^）= y=-2sin（=1 r-（2） , ,???點B的直角坐標(biāo)為（一叮占，1）例5化極坐標(biāo)方程P2cos0—P=0為直角坐標(biāo)方程為 ?！痉治觥窟@類問題需要將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程進(jìn)行判斷【解】P2cos0—P=0np（Pcos0—1）=0np=0或pcos0—1=0nX2+y2=0或X=1.【點撥】若直接由所給方程是很難斷定它表示何種曲線，因此通常要把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，加以研究.

例6在極坐標(biāo)系中，已知三點M（2,-[）,N（2,0）,P（2、話,:）.判斷M,N,P三點是否在一條直線上.3 6【分析】把三點坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)后利用斜率研究三點共線問題.【解】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式x=pcos0,y=psin0得三點的直角坐標(biāo)分別為M（1,—\/3）,N（2,0）,p（3,P3）,又k =^~~~二J3，由于k二k，所以MN 2—1 NP3—2 MNNPM,N,P三點共線.點撥】熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題的關(guān)鍵.兀 2兀例7在極坐標(biāo)系中，已知兩點A（3,—?。?B（1，丁），求A,B兩點間的距離.答案例84利用余弦定理解決。答案例84利用余弦定理解決。已知AABC的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A[5,卡\BI6丿'5冗、5,—，I2丿，判斷三角形ABC的三角x又OA=—22x又OA=—22戀-噸二133，+4二&33，同理，bC=-K33，.?.|ac|=|bC，/-AABC^等腰三角形又|ab|二OA=|ob=5，所以AC2=OA2+OC2—2OA-OC-cosZAOC=52+形的形狀,并計算其面積.【分析】判斷△ABC的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，不妨先計算邊長兀 5兀 5?！窘狻咳鐖D，對于ZAOB二一，ZBOC=，ZAOC二一，3 6 6OB\=5,\pC\=4羽，由余弦定理得：AB邊上的高h(yuǎn)='(AC(2—2(AB(丿2-應(yīng)AB邊上的高h(yuǎn)='(AC(2—2(AB(丿AABC 2點撥】合理選擇三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.課下練習(xí)】兀 [x—2x,1?點（怎,1）經(jīng)過伸縮變換＜,o后的點的坐標(biāo)是（A）2 〔y—3yA.(兀,3)B.G,3)(1、C.5,3)2.將曲線x2—y2+2x—0變成曲線x'2—16y'2+4x'—0的伸縮變換是（D）B.y'—B.y'—2y'1x—x2'1

y—2yx'—2xD-1'1Iy=2y一了八 一 一3.已知點M的極坐標(biāo)為（-5,-3丿，下列所給出的四個坐標(biāo)中不能表示點M的坐標(biāo)是（A）A.5,

VB.5,

VC.A.5,

VB.5,

VC.5,

VD./—5,V5兀、T丿在極坐標(biāo)系中，點M（5,：）關(guān)于直線0=2的對稱點的一個極坐標(biāo)是 .（5,2）6 4 3兀 4兀 4兀在極坐標(biāo)系中，已知A（6,y）,月⑶?。?，則線段AB中點的極坐標(biāo)是 .（1，?。?.已知Q（p,0），分別按下列條件求出點P的極坐標(biāo)。（1）P是點Q關(guān)于極點0的對稱點；（2）P是點Q關(guān)于直線0=y的對稱點;（3）P是點Q關(guān)于極軸的對稱點。答案：（1）（-p，2￡兀+0）；（2）（p，2￡兀+兀-0）；（3）（p，2￡兀+2兀-0）。在極坐標(biāo)系中，求A（3,才）與BQ，豐）兩點間的距離.解：由極坐標(biāo)的定義知|AB=,.32+12—2x3x1xcos寸=v7.8.在極坐標(biāo)系中，已知△ABC三個頂點的極坐標(biāo)為A(2，10°)，B(-4,220°)，C(3，100°)，(1)求AABC的面積；(2)求△ABC的AB邊上的高.解:△ABC的AB邊上的高h(yuǎn)*8+2爲(wèi) S△ABC=S△OAB+S△OBC_S△OAC=2+3占-3=3方—1，(2)IABI=21'5—23.9.已知點B和點C的直角坐標(biāo)為（2,—2）和（0,—15）求它們的極坐標(biāo).（P>0,0W0<22）。解析：???P=\：'x2+y2=2口匈0=|=-1，又Jx>0