2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考I卷）壓軸真題解讀7．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.【思想方法】1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.8．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查了正四棱錐的外接球問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.【感悟升華】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題.12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，極值點(diǎn)與對(duì)稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想.【答案】BC【解析】因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【知識(shí)拓展】周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.16．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是________________．【命題意圖】本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生很強(qiáng)的綜合能力【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.21．已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【命題意圖】本題考查了直線與雙曲線的綜合【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．(2)不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，即，解得，于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．22．已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【命題意圖】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性求得x1、x3和x2的數(shù)量關(guān)系．【解析】(1)的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.(2)由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無零點(diǎn)，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.壓軸模擬專練1．（2022·河南鄭州·三模）已知，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，則，當(dāng)，；當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且則，因此，所以又因?yàn)椋裕霉?，?綜上，.故選：B2．（2022·河南洛陽·三模）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造，，，在時(shí)為減函數(shù)，且，所以在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即.故選：D3．（2022·河南·高三模擬）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點(diǎn).在中，，D為AC的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則.因?yàn)槎娼鞘?50°，所以，所以，.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且D為AC的中點(diǎn)，所以.設(shè)為外接圓的圓心，則.設(shè)三棱錐外接球的球心為O，因?yàn)椋設(shè)在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.4．（2022·山東菏澤高三模擬）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，解得或，則或（舍去），故，則,而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，,則,又,故平面SCM，取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則,則平面SCM,故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長(zhǎng)，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B.5．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若圖像上存在兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)稱為函數(shù)的“友情點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”）.若，且，，，則（

）A．有無數(shù)個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)” B．恰有個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)?，，所以是奇函?shù)，所以圖像上存在無數(shù)對(duì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有無數(shù)個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”；又因?yàn)椋?，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)，，即，所以當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，，所以，在上是增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，因?yàn)椋笖?shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，因?yàn)?，指?shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，由可得，故所以.故選：AD.6．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．C．若，則實(shí)數(shù)m的最小值為D．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【答案】BC【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，解得，由得，當(dāng)時(shí)，，則，所以，同理，當(dāng)時(shí)，，以此類推，可得到的圖象如下圖所示，對(duì)于A，根據(jù)上述規(guī)律，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，根據(jù)圖象，剛好是相鄰兩個(gè)自然數(shù)中間的數(shù)，則剛好是每一段圖象中的極大值，代入函數(shù)解析式得，所以B正確，對(duì)于C，根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，，，由圖可得C是正確的，對(duì)于D，有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)的直線，如圖所示，當(dāng)函數(shù)與的圖象相切時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，相切時(shí)斜率小于直線的斜率，直線的斜率為，所以有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤，故選：BC7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為________.【答案】##【解析】如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，則平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如圖，在平面中，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由，知，化簡(jiǎn)整理得，，圓心，半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，即為圖中的其中，，，則由弧長(zhǎng)公式知故答案為：.8．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.過點(diǎn)作的切線，分別與軸和軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，面積的最小值為___________.【答案】2【解析】設(shè)直線方程為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，且，所以，所以橢圓，聯(lián)立可得，所以，所以，又因?yàn)榕c坐標(biāo)軸交于，所以，取等號(hào)時(shí)，所以面積的最小值為，故答案為：.9．（2022·山西·太原五中二模）已知橢圓，過原點(diǎn)的兩條直線和分別與橢圓交于和，記得到的平行四邊形的面積為．(1)設(shè)，用的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；(2)請(qǐng)從①②兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答①設(shè)與的斜率之積，求面積的值．②設(shè)與的斜率之積為．求的值，使得無論與如何變動(dòng)，面積保持不變．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，則點(diǎn)到直線的距離為；當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，則點(diǎn)到直線的距離為，也滿足，則點(diǎn)到直線的距離為；因?yàn)椋瑒t；(2)若選①，設(shè)，設(shè)，直線與橢圓聯(lián)立可得，同理直線與橢圓聯(lián)立可得，不妨令，則，，則；若選②，設(shè)，設(shè)，直線與橢圓聯(lián)立可得，則，同理可得，則，兩邊平方整理得，由面積與無關(guān)，可得，解得，故時(shí)，無論與如何變動(dòng)，面積保持不變．10．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過，橢圓的離心率為的．(1)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)過原點(diǎn)且斜率存在的直線l與橢圓相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，直線PA與橢圓相交于點(diǎn)B，直線PC與橢圓相交于點(diǎn)D，設(shè)的面積分別為試問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，①因?yàn)闄E圓的離心率為．所以，即，②由①②可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè)，則，即由題意知，設(shè)直線的斜率分別為，則直線PA的方程為，則由，消去y得，解得或，則由，消去y得，解得或，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，所以

同理

所以故為定值11．（2022·浙江·高三模擬）已知函數(shù)．(1)若曲線