2023年中山大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題解答

2023年中山大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題解答.科目代碼：670摘要：本文給出了中山大學(xué)2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題的一個(gè)參考答案.關(guān)鍵詞：中山大學(xué)；研究生數(shù)學(xué)分析白建超2023年5月30日1.(每題15分，共60分)計(jì)算以下各題:(1)(2).(3).(4),其中為立體的邊界曲面.解(1)(2)首先做一下說(shuō)明：對(duì)積分做變換，那么，所以.故(3)首先級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，因?yàn)橛杀戎蹬袆e法的極限形式有，即，所以對(duì)，當(dāng)時(shí)收斂，極限不存在，即發(fā)散；當(dāng)時(shí)收斂，極限存在，記當(dāng)那么,兩式相減解得.又,所以(4)記上頂面為，錐面：.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.那么.2.(15分)考察函數(shù)在點(diǎn)的可微性.解本人感覺(jué)此題有問(wèn)題，應(yīng)該是假設(shè)不是，顯然和都不存在，也不存在，故不可微.下面給出我的個(gè)人見(jiàn)解：而與的取值有關(guān)，故此極限不存在，所以在點(diǎn)的不可微.3.(15分)求空間一點(diǎn)到平面的最短距離.解設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，那么目標(biāo)函數(shù)為.可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在約束條件的最小值問(wèn)題.此題有兩種解法(方法1)利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，設(shè)，對(duì)分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即代入得從而,所以點(diǎn)到平面的最短距離為.(方法2)可以將約束條件代入函數(shù)中消去，轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)的極小值問(wèn)題,由于計(jì)算比擬復(fù)雜，不再贅述，有興趣的讀者可以做一下.4.(20分)設(shè)，求由拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)所圍成的平面區(qū)域的面積.解如下圖，解得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為故所求的區(qū)域面積為附圖：5.(20分)設(shè)，試問(wèn)為何值時(shí)，方程存在正實(shí)根.解令，那么有因?yàn)樵谏蠂?yán)格單調(diào)遞減，且有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解得顯然成立，故當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減.而，所以方程在時(shí)不存在正實(shí)根.當(dāng)時(shí)，令解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,又，，由介值性定理知，方程在內(nèi)有唯一的正實(shí)根.6.(2