剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)資料

4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體極其運(yùn)動(dòng)剛體一一受力時(shí)不改變形狀和體積的物體。注：（1）剛體是固體物件的理想模型。（2）剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系（各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置在運(yùn)動(dòng)中保持不變）。剛體的運(yùn)動(dòng)分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線。（用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)處理）轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度因此描述各質(zhì)元的角剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于各質(zhì)元間的相對(duì)位置保持不變，量是一樣的。因此描述各質(zhì)元的角用角量描寫(xiě)剛體的整體運(yùn)動(dòng)。角坐標(biāo)：o=M）角位移：A9=9（t+At）-9（t）角速度：,、「A9d9①=lim =——A—0Atdt角速度的方向：右手螺旋法則。角加速度：以=竺dt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：（1） 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；（2） 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)A9,①,以均相同，但v,頊不同；（3） 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)。三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)------剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量。剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比勻變速直線運(yùn)動(dòng)＞勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)v=v+at 0 o=o+at尤=尤+vt+十a(chǎn)t209=9+ot+士at2v2=V2+2a(尤-尤)0 0 2o2=o2+2a(9-9)0 0四、角量與線量的關(guān)系a=raT=ro2a

=ro24-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力矩設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中i質(zhì)點(diǎn)受力為F外+尸fj=1■，—四、,,gr12、現(xiàn)對(duì)i質(zhì)點(diǎn)所受力的力矩：Mi—r乂氣卜+'f）j=1對(duì)i求和，剛體所受力的力矩為我=￡M=1l?xFi ii夕卜i i=1（內(nèi)力矩為零）二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，所以剛體對(duì)給定軸的力矩為ZMizZ /ZZMiz=rma=(△r2m)a=J—=J以iiTiidtii即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律:繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。它在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位相當(dāng)于牛頓第二定律在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的地位。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其的計(jì)算1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令J=Zmr：，將其定義為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。i轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：?jiǎn)蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=mr2質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=Zmr2質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=』r2dmm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是千克二次方米（kg?m2）例：如圖所示，求質(zhì)量為m,長(zhǎng)為z的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒

的中心并與棒垂直；（2）的中心并與棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直解（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直在棒上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為dx距軸0的距離為x,設(shè)棒的線密度（即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量）為，x=m則該質(zhì)元的質(zhì)量dm=Adx該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ=x2dm=人x2dx整個(gè)棒對(duì)中心周6的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=jdJ=j2人x2dx=—ml2i 122（2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=j1人x2dx=—ml20 3由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同例設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤(pán)分別繞通過(guò)各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解（1）求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如圖所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元。其質(zhì)量為dm,該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ=R2dm考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=jdJ=jR2dm=R2fdm=mR2m m(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤(pán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。整個(gè)圓盤(pán)可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，其面積為dS=2nrdr，設(shè)圓盤(pán)的面密度(單位面積上的質(zhì)量)，。=晶則小圓環(huán)的質(zhì)量dm=cdS=b2nrdr該小圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ=r2dm=b2兀r3dr則整個(gè)圓盤(pán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=jdJ=jrb2兀r3dr=—mR20 2表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剮體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的特點(diǎn):與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；與剛體質(zhì)量對(duì)軸的分布有關(guān)，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；⑶與軸的位置有關(guān)，對(duì)質(zhì)量分布均勻的物體，其對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小;(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性。例如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B。A放在傾角為a的光滑斜面上，通過(guò)定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連定滑輪是半徑為R的圓盤(pán)，其質(zhì)量也為m物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求繩中張力T1和T2及物體的加速度a(輪軸光滑)。解物體A，B，定滑輪受力如圖，對(duì)于作平動(dòng)的物體A,B分別由牛頓定律得弓-mgsina=ma人mg-r\=maB又 T^=T1,T；=T2對(duì)定滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 T2R-T1R=Ja1由于繩不可伸長(zhǎng)，所以七=氣=RaiJ=-mR22聯(lián)立以上各式得+3sinaT=——5——mg+2sinaT=——-——mg2 52(1一sina)aA=aB= 5 g例轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，在t=0時(shí)角速度為％此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩M的大小與角速度①的平方成正比，比例系數(shù)為k（k為大于零的常數(shù)），當(dāng)3=%/3時(shí)，飛輪的角加速度是多少?從開(kāi)始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少?解（1）由題知M=-kw2，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有-kw2—J8k①2a=— J方 1將°=3%代入，求得這時(shí)飛輪的角速度為a=—竺9J（2）為求經(jīng)歷的時(shí)間I，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)成微分方程的形式，即M=Jp=J—,dtdt分離變量，并考慮到t=0時(shí)，w=w0,兩邊積分d=」J, 1 ,一 2J故^=孑①0當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為t=k^~0小結(jié)：1、 本節(jié)內(nèi)容分為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分和動(dòng)力學(xué)部分。2、 在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，重點(diǎn)掌握描述運(yùn)動(dòng)的角量、線量及角量與線量的關(guān)系。3、 動(dòng)力學(xué)部分重點(diǎn)掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律，它的地位如同質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的牛頓第二定律。分析方法也與牛頓第二定律相似。4、 注意剛體受變力矩作用時(shí)的力矩分析，同樣應(yīng)在任意位置，不能在特定位置。5、 學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容應(yīng)反復(fù)與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)類(lèi)比。4-3角動(dòng)量、角動(dòng)量守恒定律一、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量^WWWWL=rxp=rxmv質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度V在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)O的位矢r，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量為：大?。篖=rmvsin0

方向：符合右手法則.注意：作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓心的角動(dòng)量：L=mr4如2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理dLdfp6wdpdr5w=rxp/=rx+——xpdtdt dtdtr因?yàn)榭誼r=0dt則式=R型=WxFdtdt定義：力矩rrdLM=——dt等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O的角動(dòng)量艮L作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O的角動(dòng)量將上式變形，得rrMdt=dL兩邊積分有：rrrjt2Mdt=L2-L1定義沖量矩：jt2Mdt。t所以，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.3、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守?定律一艮L質(zhì)點(diǎn)角，動(dòng)量守恒定律：質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為一恒矢量。注：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律常用于質(zhì)點(diǎn)僅受有心力的情況，如行星的運(yùn)動(dòng)。（此時(shí)，動(dòng)量不守恒）二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量L=L=Zmrv=1!mrviM dL d（加）M=——=-——-dtdt積分有：…積分有：…dLd（J.）M=——即：L=Js2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理ftt0

Z—dtdt、M）dt=jLdL=Js-JsL w0剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理-----剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)合外力矩為零時(shí)，有：J=恒量艮L剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：如果物體所受的合外力矩為零，或者不受外力矩的作用，物體的角動(dòng)量保持不變。小結(jié)：1、 本節(jié)從力矩的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)，分別引入了角動(dòng)量、沖量矩、角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒。2、 角動(dòng)量定理及守恒定律的應(yīng)用4-4力矩的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能設(shè)剛體以角速度。設(shè)第i個(gè)質(zhì)元質(zhì)量為△mi，離軸的距離為r.,它的線速度為v.=r.w，則i質(zhì)元的動(dòng)能為： 1Amv2=1Am(r①)22ii2ii整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：-V1.-15 1一E=乙—Amr2①2=—（乙Amr2）①2=—加2i=1 i=1剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。(轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也與軸的位置有關(guān)。).力矩的功如圖所示。設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力Fi作用于P點(diǎn)經(jīng)dt時(shí)間后P點(diǎn)沿一圓周軌道移動(dòng)d%孤長(zhǎng)，半徑ri掃過(guò)dO角，并有I茶|=dsj=ridO，由功的定義式有dA=Fds=FrdQ=MdB式中F七Fcosa:,M=FdB然后對(duì)求和，得dA='(ZM.)dB=MdB式中M為作用于剛體上外力矩之和。上式說(shuō)明力矩所作元功等于力矩和角位移的乘積。當(dāng)剛體在力矩M作用下，由％轉(zhuǎn)到62時(shí)，力矩的功為BTOC\o"1-5"\h\z2

A=L MdBB力矩的功率是 1dA dB\o"CurrentDocument"P=——=M——=M①dt dt當(dāng)輸出功率一定時(shí)，力矩與角速度成反比。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理如果將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)成如下形式分離變量并積分，又考慮到6=61時(shí)，①二任所以fe2MdO=f°2J3d3e1 °1于是可得j%MdO=項(xiàng)2--J①2Oi 2221此即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為z的均勻細(xì)棒OA可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)今使棒從水平位置開(kāi)始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時(shí)，中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度。

解 棒受力如圖2-39所示，其中重力G對(duì)0軸的力矩大小等于mg1cos9，是0的函數(shù)，軸的支持力對(duì)0軸的力矩為零。2由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，有jRmgLcos9d9=—加2-—加2=上加0 2 2 2o2等式左邊的積分為重力矩的功。即A=16mg2cos9d9=-mg（h一h）則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為—~-v=o1=—.6glA2例如圖，物體的質(zhì)量為m1,m2且m1>m2。圓盤(pán)狀定滑輪的質(zhì)量為M1和M2，半徑為R］、R2，質(zhì)量均勻分布。繩輕且不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑。試求當(dāng)m1下降了x距離時(shí)兩物體的速度和加速度。解 以兩物體、兩滑輪、地球成為一系統(tǒng)，A外=0，A內(nèi)非=0，故機(jī)械能守恒。以m1下降x時(shí)的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"C,1 …1 …1 1,…mgx+mgx=mg2x+—mv2+—mv2+—J①2+_J①21 2 2 21 22 211 222由于V=wR=wR,J=1MR2,J=-MR211 22 1 2 11 2 2 22解得V2= 頓［心X2m+m）+M+M由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體所受合力為恒力，a為常數(shù)，v2=2ax，故有2（m-m）g2（m+m）+M+M質(zhì)點(diǎn)與剛體力學(xué)規(guī)律對(duì)照表質(zhì)點(diǎn)剛體（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)） _ r——力兄質(zhì)量m力矩M=rxF，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=Jr2dm牛頓第二定律F=ma轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJ動(dòng)量mv，沖量了F■”角動(dòng)量乙3八沖量矩M?d動(dòng)量定理免動(dòng)量定理JM-dt=mv—mvM-dt=Jw—Jw000動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律Xf=0Zmv=常矢M=0iiZJw.=常矢11平均動(dòng)能2miv2轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2°2力的功力矩的功A=JbF-drA=JeMdQae0動(dòng)能定理動(dòng)能定理4 1 1A=—mv2——mv21_ 1-A=—Jw2—Jw22 2 02 2 0功能原理功能原理

例如圖，質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞過(guò)其一端的水平軸0轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)將棒拉到水平位置（0人’）后放手，棒下擺到豎直位置（OA）時(shí)，與靜止放置在水平面A處的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離s后停止。設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)四處處相同，解此題可分解為三個(gè)簡(jiǎn)單過(guò)程:（i）棒由