初等數(shù)學與解題研究

初等數(shù)學與解題研究第一講解題研究和初等數(shù)學概論為什么要解題學生的解題是為什么？教師的解題又是為什么？數(shù)學解題的目的美國數(shù)學家哈爾莫斯（P.P.Halmos）說：“數(shù)學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數(shù)學的心臟?！泵兰傺览麛?shù)學家、數(shù)學教育家G·波利亞（GeorgePolya）稱：“掌握數(shù)學就意味著善于解題?！薄皵?shù)學學習中真正發(fā)生數(shù)學的地方都一無例外地充滿著數(shù)學解題活動?！皵?shù)學教育應該以解題為中心”“解題教學正是達到教學目的的最好手段”解題對原有知識和技能的應用可保持并鞏固相應知識的記憶提高相應技能的熟練程度通過解題教學還可使學生提高和發(fā)展推理能力、化歸能力、形式化處理問題的能力、分析和解決問題的能力因此，數(shù)學教育中解題教學幾乎成了實現(xiàn)數(shù)學教學目的的必不可少的手段。解題教學是模仿教學，還是思維教學解題教學是模仿教學？？？？模仿教學，簡單地說，就是解題教學以教師課堂解例題為示范，學生課后模仿練習為主，把教學建立在學生的模仿性、被動性和依賴性上，實質(zhì)是一種接受學習。17世紀捷克教育家夸美紐斯美國心理學家奧蘇貝爾對接受學習有系統(tǒng)論述。“模仿教學”以行為主義學習理論為基礎，認為解題教學就是解題教學行為上“刺激—反應”的變化。模仿教學對數(shù)學等學科教學實踐有很大影響，許多教師認為解題教學就是教師例題示范，學生練習模仿，課堂教學就是給學生講清解題思路與步驟，學生解題時模仿效法。持這種觀點的人們認為，中小學生具有較大的可塑性，模仿能力強，在解題教學中，不需要向?qū)W生解釋過多的道理，只要認真做好解題步驟、思路和解法等方面的示范，讓學生進行模仿，就可以鞏固數(shù)學知識，掌握解題方法，實現(xiàn)解題教學的目的。解題教學是思維教學思維教學，是指解題教學不僅在于解題基本活動形式本身，更重要的是解題認知活動思維的產(chǎn)生，實質(zhì)上是一種發(fā)現(xiàn)式學習。思維教學最早可以追溯到蘇格拉底的“產(chǎn)婆術”，18世紀法國啟蒙運動思想家、教育家盧梭曾倡導發(fā)現(xiàn)教學，現(xiàn)代美國教育心理學家布魯納則對發(fā)現(xiàn)學習有過精辟的論述。思維教學是建立在以建構(gòu)主義為基礎的認知心理學的基礎之上的，認為解題教學就是解題思維認知結(jié)構(gòu)的變化。第一，解題教學是解題活動的教學，而活動的本質(zhì)屬性是解題思維的活動。因此，解題教學就其本質(zhì)來說，是對解題思路的分析活動，是對解題方法的感悟與思考，是對學生解題思維活動的調(diào)動與展開，從而達到對學生理解及概括水平的培養(yǎng)。第二，解題教學是學生解題思維認知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過程教學。奧加涅相在《中小學數(shù)學教學法》中曾指出：“思維和解題過程的密切聯(lián)系是公認的。著名心理學家O.K.吉霍米諾夫也具體地闡述過這種聯(lián)系：‘在心理中，思維被看作是解題活動?！m然思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過解題來實現(xiàn)。解題教學不僅要向?qū)W生暴露“怎樣解題”的思維過程，還要向他們展示“為什么這樣解”以及“怎樣學會解”的解題認知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的思維方法，教師應盡量讓學生的解題思維活動顯性化，也就是多讓學生進行交流思考，使學生清晰地認識到自己解決問題的依據(jù)、步驟、原因和所產(chǎn)生的思維障礙。換言之，解題教學的金科玉律是達到對學生思維訓練的目的，因而，解題教學本質(zhì)上應該是一種思維教學。數(shù)學解題的基礎一、知識結(jié)構(gòu)二、思維能力三、經(jīng)驗題感四、情感態(tài)度初等數(shù)學研究1．有理數(shù)集是一個數(shù)域(記為Q)，且是最小數(shù)域．

2．有理數(shù)域是有序域．3．有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)．“阿基米德性質(zhì)”——即設a，b為任意兩個自然數(shù)，則存在自然數(shù)n，使得nb＞a有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)，即對于任意的正有理數(shù)a，b，必存在n∈N，使na＞b．有理數(shù)——有理數(shù)的概念定理1有理數(shù)集是一個有序集，即(1)對于任意兩個有理數(shù)a，b，有且僅有下列情況之一成立：a＞b，b＞a，a=b．(2)對于任意三個有理數(shù)a，b和c，若a＞b，b＞c，則a＞c．有理數(shù)集的性質(zhì)4．有理數(shù)域具有稠密性．有理數(shù)域具有稠密性，即任意兩個有理數(shù)a，b(設a＜b)之間總存在無限多個有理數(shù)．5．有理數(shù)集是可數(shù)集．一切能與正整數(shù)集建立一一對應關系的集合叫做可數(shù)集．把一切正有理數(shù)寫成既約分數(shù)m/n的形式，按以下的方法來排列所有的有理數(shù)：

(1)0排在最前邊；

(2)對于正分數(shù)，按照它的分子與分母的和的大小排列，較小的和排在前邊，較大的和排在后邊．如果和相等，分子大的排在前邊；

(3)對于負分數(shù)，把它緊排在與它的絕對值相等的正分數(shù)的后邊；

(4)分數(shù)值相等的分數(shù)，只保留最前邊的一個．學習的范圍數(shù)學解題的理論基礎數(shù)學解題的策略和方法中考、高考、數(shù)學競賽試題的研究分析學會編制數(shù)學問題和試題數(shù)學解題能力的培養(yǎng)學生任務分組研究分析中考、高考、競賽試題編制相關的模擬試題中考研究分類（2003-2013）二次函數(shù)問題平面幾何證明動點問題開放性、創(chuàng)新性問題代數(shù)幾何綜合題qq群:362550873高考研究分類（2003-2013）高考選擇題分析高考填空題分析高考中的向量運算、線性規(guī)劃等分析高考中的數(shù)列問題分析高考中的概率統(tǒng)計問題分析高考中的立體幾何問題分析高考中的解析幾何問題分析高考中的三角函數(shù)問題分析高考中的函數(shù)和導數(shù)應用問題分析高考中的創(chuàng)新問題分析備選內(nèi)容華羅庚金杯試題分析（小學、初中）希望杯試題分析（初中