初等數(shù)學(xué)與解題研究

初等數(shù)學(xué)與解題研究第一講解題研究和初等數(shù)學(xué)概論為什么要解題學(xué)生的解題是為什么？教師的解題又是為什么？數(shù)學(xué)解題的目的美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.P.Halmos）說：“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟?！泵兰傺览麛?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞（GeorgePolya）稱：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題?！薄皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都一無例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)?！皵?shù)學(xué)教育應(yīng)該以解題為中心”“解題教學(xué)正是達(dá)到教學(xué)目的的最好手段”解題對原有知識(shí)和技能的應(yīng)用可保持并鞏固相應(yīng)知識(shí)的記憶提高相應(yīng)技能的熟練程度通過解題教學(xué)還可使學(xué)生提高和發(fā)展推理能力、化歸能力、形式化處理問題的能力、分析和解決問題的能力因此，數(shù)學(xué)教育中解題教學(xué)幾乎成了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的必不可少的手段。解題教學(xué)是模仿教學(xué)，還是思維教學(xué)解題教學(xué)是模仿教學(xué)？？？？模仿教學(xué)，簡單地說，就是解題教學(xué)以教師課堂解例題為示范，學(xué)生課后模仿練習(xí)為主，把教學(xué)建立在學(xué)生的模仿性、被動(dòng)性和依賴性上，實(shí)質(zhì)是一種接受學(xué)習(xí)。17世紀(jì)捷克教育家夸美紐斯美國心理學(xué)家奧蘇貝爾對接受學(xué)習(xí)有系統(tǒng)論述?！澳７陆虒W(xué)”以行為主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，認(rèn)為解題教學(xué)就是解題教學(xué)行為上“刺激—反應(yīng)”的變化。模仿教學(xué)對數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)實(shí)踐有很大影響，許多教師認(rèn)為解題教學(xué)就是教師例題示范，學(xué)生練習(xí)模仿，課堂教學(xué)就是給學(xué)生講清解題思路與步驟，學(xué)生解題時(shí)模仿效法。持這種觀點(diǎn)的人們認(rèn)為，中小學(xué)生具有較大的可塑性，模仿能力強(qiáng)，在解題教學(xué)中，不需要向?qū)W生解釋過多的道理，只要認(rèn)真做好解題步驟、思路和解法等方面的示范，讓學(xué)生進(jìn)行模仿，就可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握解題方法，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的目的。解題教學(xué)是思維教學(xué)思維教學(xué)，是指解題教學(xué)不僅在于解題基本活動(dòng)形式本身，更重要的是解題認(rèn)知活動(dòng)思維的產(chǎn)生，實(shí)質(zhì)上是一種發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。思維教學(xué)最早可以追溯到蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，18世紀(jì)法國啟蒙運(yùn)動(dòng)思想家、教育家盧梭曾倡導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)，現(xiàn)代美國教育心理學(xué)家布魯納則對發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)有過精辟的論述。思維教學(xué)是建立在以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的認(rèn)知心理學(xué)的基礎(chǔ)之上的，認(rèn)為解題教學(xué)就是解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化。第一，解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué)，而活動(dòng)的本質(zhì)屬性是解題思維的活動(dòng)。因此，解題教學(xué)就其本質(zhì)來說，是對解題思路的分析活動(dòng)，是對解題方法的感悟與思考，是對學(xué)生解題思維活動(dòng)的調(diào)動(dòng)與展開，從而達(dá)到對學(xué)生理解及概括水平的培養(yǎng)。第二，解題教學(xué)是學(xué)生解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過程教學(xué)。奧加涅相在《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中曾指出：“思維和解題過程的密切聯(lián)系是公認(rèn)的。著名心理學(xué)家O.K.吉霍米諾夫也具體地闡述過這種聯(lián)系：‘在心理中，思維被看作是解題活動(dòng)?！m然思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過解題來實(shí)現(xiàn)。解題教學(xué)不僅要向?qū)W生暴露“怎樣解題”的思維過程，還要向他們展示“為什么這樣解”以及“怎樣學(xué)會(huì)解”的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的思維方法，教師應(yīng)盡量讓學(xué)生的解題思維活動(dòng)顯性化，也就是多讓學(xué)生進(jìn)行交流思考，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到自己解決問題的依據(jù)、步驟、原因和所產(chǎn)生的思維障礙。換言之，解題教學(xué)的金科玉律是達(dá)到對學(xué)生思維訓(xùn)練的目的，因而，解題教學(xué)本質(zhì)上應(yīng)該是一種思維教學(xué)。數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)二、思維能力三、經(jīng)驗(yàn)題感四、情感態(tài)度初等數(shù)學(xué)研究1．有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域(記為Q)，且是最小數(shù)域．

2．有理數(shù)域是有序域．3．有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)．“阿基米德性質(zhì)”——即設(shè)a，b為任意兩個(gè)自然數(shù)，則存在自然數(shù)n，使得nb＞a有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)，即對于任意的正有理數(shù)a，b，必存在n∈N，使na＞b．有理數(shù)——有理數(shù)的概念定理1有理數(shù)集是一個(gè)有序集，即(1)對于任意兩個(gè)有理數(shù)a，b，有且僅有下列情況之一成立：a＞b，b＞a，a=b．(2)對于任意三個(gè)有理數(shù)a，b和c，若a＞b，b＞c，則a＞c．有理數(shù)集的性質(zhì)4．有理數(shù)域具有稠密性．有理數(shù)域具有稠密性，即任意兩個(gè)有理數(shù)a，b(設(shè)a＜b)之間總存在無限多個(gè)有理數(shù)．5．有理數(shù)集是可數(shù)集．一切能與正整數(shù)集建立一一對應(yīng)關(guān)系的集合叫做可數(shù)集．把一切正有理數(shù)寫成既約分?jǐn)?shù)m/n的形式，按以下的方法來排列所有的有理數(shù)：

(1)0排在最前邊；

(2)對于正分?jǐn)?shù)，按照它的分子與分母的和的大小排列，較小的和排在前邊，較大的和排在后邊．如果和相等，分子大的排在前邊；

(3)對于負(fù)分?jǐn)?shù)，把它緊排在與它的絕對值相等的正分?jǐn)?shù)的后邊；

(4)分?jǐn)?shù)值相等的分?jǐn)?shù)，只保留最前邊的一個(gè)．學(xué)習(xí)的范圍數(shù)學(xué)解題的理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)解題的策略和方法中考、高考、數(shù)學(xué)競賽試題的研究分析學(xué)會(huì)編制數(shù)學(xué)問題和試題數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)學(xué)生任務(wù)分組研究分析中考、高考、競賽試題編制相關(guān)的模擬試題中考研究分類（2003-2013）二次函數(shù)問題平面幾何證明動(dòng)點(diǎn)問題開放性、創(chuàng)新性問題代數(shù)幾何綜合題qq群:362550873高考研究分類（2003-2013）高考選擇題分析高考填空題分析高考中的向量運(yùn)算、線性規(guī)劃等分析高考中的數(shù)列問題分析高考中的概率統(tǒng)計(jì)問題分析高考中的立體幾何問題分析高考中的解析幾何問題分析高考中的三角函數(shù)問題分析高考中的函數(shù)和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題分析高考中的創(chuàng)新問題分析備選內(nèi)容華羅庚金杯試題分析（小學(xué)、初中）希望杯試題分析（初中