等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)(1)會用不等式組表示不等關(guān)系．(2)能夠用作差法比較兩個數(shù)或式的大?。?3)掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)．(4)能利用不等式的性質(zhì)證明不等式或解決范圍問題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點要點一不等式與不等關(guān)系1．不等式的定義所含的兩個要點(1)不等符號＜、≤?、＞、≥?或≠.(2)所表示的關(guān)系是________________．2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號語言＞≥＜≤≤≥≥≤要點二實數(shù)大小比較的基本事實a>b?________；a＝b?________；a<b?________．?要點三重要不等式?a，b∈R，a2＋b2________2ab，當(dāng)且僅當(dāng)________時，等號成立．要點四等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的比較等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a＝b?b＝aa>b?________a＝b，b＝c?a＝ca>b，b>c?________a＝b?a＋c＝b＋ca>b?________a＝b?ac＝bca>b，c>0?________；a>b，c<0?________?a＝b，c＝d?a＋c＝b＋da>b，c>d?________?a＝b，c＝d?ac＝bda>b>0，c>d>0?________a＝b≥0?an＝bna>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)助學(xué)批注批注?不等符號“≤”是指“<”或者“＝”．批注?不等符號“≥”是指“＞”或者“＝”．批注?比較兩實數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無關(guān)．批注?要特別注意“乘數(shù)c的符號”．例如當(dāng)c≠0時，若a>b，則ac2>bc2；若無c≠0這個條件，若a>b，則ac2>bc2就是錯誤的．批注?同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在一個不等式的兩邊同乘一個非零實數(shù)，不等式仍然成立．()(2)同向不等式具有可加性和可乘性．()(3)若兩個數(shù)的比值大于1，則分子上的數(shù)就大于分母上的數(shù)．()(4)若a>b，則1a<12．某路段豎立的的警示牌，是指示司機(jī)通過該路段時，車速vkm/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為()A.v＜60B．v＞60C．v≤60D．v≥363．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．與x有關(guān)4．用不等號填空．(1)如果a＞b＞0，那么1a2______(2)如果a＞b＞c＞0，那么ca______c題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1實數(shù)(式)的比較大小例1已知a＞0，試比較a與1a方法歸納用作差法比較兩個實數(shù)大小的一般步驟鞏固訓(xùn)練1(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p與q的大小關(guān)系為()A．p＞qB．p≥qC．p＜qD．p≤q(2)已知b＞a＞0，m＞0，比較b+ma+m與b題型2利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假例2(1)[2022·山東青島高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，則下述一定正確的是()A．a(chǎn)e＞beB．c2＜d2C．ea?c+ed?b＞0D．(d－c(2)(多選)下列命題為真命題的有()A．若a＞b＞0，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則a2＞b2C．若a＜b＜0，則1a＜D．若a＞b＞0，c＜0則ca＞方法歸納判斷與不等式有關(guān)命題真假的3種常用方法鞏固訓(xùn)練2(1)已知a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)c2＞bc2B．a(chǎn)b＞b2C．1a＞1bD．b(2)(多選)下列命題正確的是()A．ca＜cb且c＞0?aB．a(chǎn)＞b且c＞d?ac＞bdC．a(chǎn)＞b＞0且c＞d＞0?ad＞D．a(chǎn)c2＞bc2題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式例3若bc－ad≥0，bd＞0，求證：a+bb方法歸納利用不等式的性質(zhì)證明不等式的策略鞏固訓(xùn)練3若a＜b＜0，求證：ba＜a題型4利用不等式的性質(zhì)求范圍例4已知1<a<4，2<b<8.試求2a＋3b與a－b的取值范圍．方法歸納利用不等式的性質(zhì)求范圍的策略鞏固訓(xùn)練4已知1<a<6，3<b<4，求a－b，ab2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一1．(2)不等關(guān)系要點二a－b>0a－b＝0a－b<0要點三≥a＝b要點四b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：C3．解析：因為M－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以答案：A4．解析：(1)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，∴1a2＜(2)∵a＞b＞0，∴0＜1a＜1又c＞0，∴ca＜c答案：(1)＜(2)＜題型探究·課堂解透例1解析：因為a－1a＝a2?1a＝所以當(dāng)a＞1時，a?1a+1有a＞1a當(dāng)a＝1時，a?1a+1a＝0，有a＝當(dāng)0＜a＜1時，a?1a+1有a＜1a綜上，當(dāng)a＞1時，a＞1a當(dāng)a＝1時，a＝1a當(dāng)0＜a＜1時，a＜1a鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由題意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.(2)作差：b+ma+m?ba＝ab+am?ab?bmaa+m＝ma?baa+m.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m答案：(1)C(2)見解析例2解析：(1)因為a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，所以ae＜be，c2＞d2，故A，B錯誤；－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以1a?c＜1b?d，所以ea?c即ea?c對于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－12，e則(d－c)e＝2＝ab(2)選項A：當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，判斷錯誤；選項B:推導(dǎo)符合不等式性質(zhì)，判斷正確；選項C：1a?1b＝b?aab可知ab＞0，b－a＞0，則b?aab＞0，即1a＞選項D：ca?cb＝cb?a可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0則cb?aab＞0，即ca答案：(1)C(2)BD鞏固訓(xùn)練2解析：(1)當(dāng)c＝0時，ac2＞bc2不成立，A錯誤．因為a＞b＞0，所以ab＞b2，1b＞1a，(2)A，ca＜cbc>0?1a＜1b；當(dāng)a＜0，b＞0時，滿足已知條件，但推不出a＞b，∴A錯誤；B，當(dāng)a＝3，bC，a＞b＞0，c＞d＞0?ad＞bc＞0?ad＞D，顯然c2＞0，∴兩邊同乘以c2得a＞b，∴D正確．答案：(1)B(2)CD例3證明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd＞0，兩邊同除以bd，得a+bb方法二：∵a+bb?c+dd＝ad+bd?bc?bd∴a+bb鞏固訓(xùn)練3證明：由于ba?ab＝∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴b+ab?aab＜0，故ba例4解析：∵1<a<4，2<b<8，∴2<2a<8，6<3b<24