實驗中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文

河南省實驗中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文河南省實驗中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文PAGEPAGE27河南省實驗中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文河南省實驗中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文（時間：120分鐘，滿分:150分）一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,則虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．已知集合M＝｛x｜x2＜4｝,N＝{x｜＜2}，則＝（）A．｛x｜﹣2＜x＜3} B．{x｜0＜x＜4} C．{x｜﹣2＜x＜2｝ D．{x|0＜x＜2｝3．函數(shù)y＝2在x＝1處的切線方程為(）A．y＝4x+2B．y＝2x﹣4C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+44．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛．如圖所示的四葉形窗花是由一些圓弧構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，若設(shè)外圍虛線正方形的邊長為a，則窗花的面積為(）A．（﹣1﹣) B．(﹣1+）C．（+﹣1） D．（+﹣1）5．數(shù)列｛an}中，a3＝5,a7＝2，若（）是等比數(shù)列，則a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．6．從2名男生和3名女生中任選三人參加比賽,選中1名男生和2名女生的概率為（）A． B． C． D．7．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，則m⊥n的一個充分不必要條件是()A．m⊥α,n∥β，α⊥β B．m⊥α，n⊥β，α∥β C．m?α，n∥β，α⊥β D．m?α，n⊥β，α∥β8．設(shè)a＞0，b＞0，且2a+b＝1，則(）A．有最小值為B．有最小值為C．有最小值為D．有最小值為49．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的x為30，則判斷框內(nèi)填入的條件不可能是（）x≥29？B．x≥30?C．x≥14？ D．x≥16？10．已知，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為(）A．，k∈Z B．,k∈Z C．，k∈Z D．,k∈Z11．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足2f（x）＝f（x+2)，且當x∈[﹣2，0）時，f（x）＝﹣x（x+2）．若對任意x∈（﹣∞,m］，都有f(x)≤3,則m的取值范圍是()A．（﹣∞,］ B．（﹣∞，] C．［，+∞） D．［，+∞）12．已知球O的表面上有A，B，C,D四點，且AB＝2，BC＝，．若三棱錐B﹣ACD的體積為，且AD經(jīng)過球心O,則球O的表面積為(）A．8π B．12π C．16π D．18π二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知a＝，b＝,c＝，則a、b、c三者的大小關(guān)系為．14．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚青氨是否超標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時,先將800袋牛奶按000，001，…，799進行編號，如果從隨機數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號（下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795415．已知向量，滿足|+｜＝|﹣2｜，其中是單位向量，則在方向上的投影為．16．數(shù)列{}滿足，則數(shù)列｛}的前20項和為．三．解答題（第17—21題為必考題，每題12分，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題,每題10分，考生根據(jù)要求作答；本大題共6小題，共60分)17．在△ABC中,角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，＝（）.（1）若，判斷△ABC的形狀；(2）若＝,△ABC的面積為，求△ABC的周長．18．已知數(shù)列{an｝是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列{bn｝是正項等比數(shù)列，其中a1＝b1＝1，＝,﹣4＝．(1)求數(shù)列{an}、{bn｝的通項公式;（2)求數(shù)列{｝的前n項和Tn．19．“孝敬父母，感恩社會”是中華民族的傳統(tǒng)美德．從出生開始,父母就對我們關(guān)心無微不至,其中下表是某位大學(xué)畢業(yè)生統(tǒng)計的父母為我花了多少錢的數(shù)據(jù):歲數(shù)x126121617花費累積y（萬元）139172226假設(shè)花費累積y與歲數(shù)x符合線性相關(guān)關(guān)系,求（1)花費累積y與歲數(shù)x的線性回歸直線方程(系數(shù)保留3位小數(shù)）；（2）24歲大學(xué)畢業(yè)之后,我們不再花父母的錢，假設(shè)你在30歲成家立業(yè)之后，在你50歲之前償還父母為你的花費（不計利息）．那么你每月要償還父母約多少元錢?參考公式：，.20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是邊長為4的菱形，PA＝PC，BD⊥PA，E是BC上一點，且BE＝1，設(shè)AC∩BD＝O．（1）證明：PO⊥平面ABCD;（2）若∠BAD＝60°,PA⊥PE，求三棱錐P﹣AOE的體積．21．已知的數(shù)f（x）＝++．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;(2）若恒成立，求的取值范圍．22．平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù))，以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．(1）求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；（2)若直線l：與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P，Q兩點，且｜OQ|＝2｜OP｜，點M的坐標為（2，0），求△MPQ的面積．23．已知a，b，c為一個三角形的三邊長．證明：（1）;（2）。河南省實驗中學(xué)2020——2021學(xué)年上期期中試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi＝﹣3+i，則虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【解答】解:∵zi＝﹣3+i，∴，∴，則虛部是﹣3，故選：D．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2．已知集合M＝{x｜x2＜4}，N＝{x｜log2x＜2}，則M∩N＝（)A．｛x｜﹣2＜x＜3｝ B．｛x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2｝ D．{x｜0＜x＜2}【解答】解：∵M＝{x｜﹣2＜x＜2｝，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝｛x|0＜x＜2}．故選：D．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域，描述法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．函數(shù)y＝2x(lnx+1）在x＝1處的切線方程為（）A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+4【解答】解:由已知得:y′＝2lnx+4，所以y′|x＝1＝4，切點為（1，2)．故切線方程為:y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2．故選:C．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．4．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久,風(fēng)格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛．窗花是農(nóng)耕文化的特色藝術(shù)，農(nóng)村生活的地理環(huán)境，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)特征以及社會的習(xí)俗方式，也使這種鄉(xiāng)土藝術(shù)具有了鮮明的中國民俗情趣和藝術(shù)特色．如圖所示的四葉形窗花是由一些圓弧構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)對稱圖形,若設(shè)外圍虛線正方形的邊長為a，則窗花的面積為（）A．（2﹣1﹣）a2 B．（2﹣1+）a2 C．（π+﹣1）a2 D．（+﹣1)a2【解答】解：根據(jù)正方形以及“窗花”的對稱性可知：窗花的一個“花瓣（陰影部分）”的面積S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，即S＝＝．故“窗花”面積為4S＝．故選：A．【點評】本題考查扇形的面積公式以及學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．5．數(shù)列｛an}中，a3＝5，a7＝2,若（n∈N*)是等比數(shù)列，則a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)bn＝，則數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，若a3＝5，a7＝2，則b3＝＝1，b7＝＝4，則q4＝＝4，變形有q2＝2,則b5＝b3q2＝2，則有＝2,解可得a5＝3,故選：C．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，注意求出該等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．6．從2名男生和3名女生中任選三人參加比賽，選中1名男生和2名女生的概率為（)A． B． C． D．【解答】解：記2名男生為A1，A2，3名女生為B1，B2，B3,所有的結(jié)果為：A1A2B1，A1A2B2,A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10種情況，符合條件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3,A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共6種情況，所以概率為，故選：C．【點評】本題考查了列舉法求概率問題，是一道基礎(chǔ)題．7．設(shè)m，n是兩條不同的直線,α，β是兩個不同的平面，則m⊥n的一個充分不必要條件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥β B．m⊥α,n⊥β，α∥β C．m?α，n∥β,α⊥β D．m?α，n⊥β，α∥β【解答】解:A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m與n平行、相交或為異面直線，因此無法得出m⊥n,因此不正確；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此無法得出m⊥n，因此不正確；C、α⊥β，m?α，n∥β，可得m與n平行、相交或為異面直線，因此無法得出m⊥n，因此不正確．D、α∥β，m?α，n⊥β,可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正確;故選：D．【點評】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．設(shè)a＞0，b＞0，且2a+b＝1，則(）A．有最小值為2+1 B．有最小值為+1 C．有最小值為 D．有最小值為4【解答】解:根據(jù)題意,，因為a＞0，b＞0，所以,當且僅當，即時等號成立，故有最小值為．故選：A．【點評】本題考查的知識要點：基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的x為30，則判斷框內(nèi)填入的條件不可能是(）A．x≥29？ B．x≥30? C．x≥14？ D．x≥16?【解答】解：執(zhí)行程序,可得x＝2,2是偶數(shù)，x＝3，3不是偶數(shù)，x＝6，不符合判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行否，x＝7,7不是偶數(shù)，x＝14,不符合判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行否，x＝15，不是偶數(shù)，x＝30,此時應(yīng)該滿足條件，結(jié)束循環(huán)，故判斷框內(nèi)的條件為x＝14時不符合要求,x＝30時符合要求，故A，B，D選項均滿足．故選：C．【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．10．已知，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為(）A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z【解答】解:,f（x）圖象向右平移個單位長度得到的解析式為，令2x＝kπ,則,所以對稱軸為,k∈Z．故選：A．【點評】本題主要考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ)的圖象變換規(guī)律和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足2f（x）＝f（x+2），且當x∈[﹣2,0）時，f(x）＝﹣x(x+2）．若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤3，則m的取值范圍是（）A．（﹣∞，］ B．（﹣∞，］ C．［,+∞) D．[，+∞)【解答】解：函數(shù)f（x)的定義域為R，滿足2f(x）＝f（x+2）,可得f（0)＝2f(﹣2）＝0，當x∈［﹣2，0）]時，函數(shù)f(x)在[﹣2,﹣1）上遞增,在(﹣1,0)上遞減，所以f（x)max＝f（﹣1）＝1，由2f(x﹣2）＝f（x）,可得當圖象向右平移2個單位時，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，最大值不斷增大,由f(x)＝f(x+2），可得當圖象向左平移2個單位時，最大值變?yōu)樵瓉淼谋?，最大值不斷變?當x∈［﹣4，﹣2)時,f（x）max＝f(﹣3）＝，當x∈［0,2）時，f（x)max＝f（1）＝2,當x∈[2，4)時，f（x）max＝f（3)＝4，設(shè)x∈［2，4）時，x﹣4∈［﹣2，0），f（x﹣4)＝﹣（x﹣4)（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝﹣4（x﹣4）（x﹣2），x∈[2，4),由﹣4（x﹣4）（x﹣2）＝3，解得x＝或x＝,根據(jù)題意,當m≤時，f(x)≤3恒成立，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)類周期性的應(yīng)用、分段函數(shù)求解析式、恒成立問題等，考查數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，屬于難題．12．已知球O的表面上有A，B,C，D四點，且AB＝2，BC＝2．若三棱錐B﹣ACD的體積為，且AD經(jīng)過球心O,則球O的表面積為（)A．8π B．12π C．16π D．18π【解答】解:由題意可知畫出圖形，如圖所示：球O的球心在AD的中點，取BC的中點E,連接AE，OE，由余弦定理得:,所以AC＝2，即AC2+AB2＝BC2,所以△ABC為直角三角形．則點E為△ABC的外接圓的圓心．由球的對稱性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以,即,解得OE＝，由于AE?平面ABC,OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半徑R＝OA＝,所以球的表面積為S＝4π?22＝16π．故選:C．【點評】本題考查的知識要點:余弦定理，球的對稱性,線面垂直的判定和性質(zhì)，球的表面積公式，錐體的體積公式,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）13．答案為:a＜b＜c【解答】解：∵a＝log20。3,b＝log0.32,c＝20。3,∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0。32＞log0.31，c＝20。3＞0，∴a＜b＜c．14．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚青氨是否超標,現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，…，799進行編號,如果從隨機數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號331，572，455,068，047（下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954．【解答】解：找到第7行第8列的數(shù)開始向右讀，第一個符合條件的是331,第二個數(shù)是572，第三個數(shù)是455，第四個數(shù)是068，第五個數(shù)是877它大于799故舍去，第五個數(shù)是047．故答案為：331、572、455、068、047【點評】抽樣方法,隨機數(shù)表的使用，考生不要忽略．在隨機數(shù)表中每個數(shù)出現(xiàn)在每個位置的概率是一樣的，所以每個數(shù)被抽到的概率是一樣的15．已知向量，滿足｜+｜＝|﹣2|，其中是單位向量,則在方向上的投影為．【解答】解:∵，，∴,∴，∴在方向上的投影是．故答案為:．【點評】本題考查了向量數(shù)量積的運算，投影的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．220三．解答題（共7小題)17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，bcosC＝(acosB+bcosA)cosB．（1）若sin2A＝2sinBsinC,判斷△ABC的形狀;（2)若tanA＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵bcosC＝（acosB+bcosA）cosB．∴由正弦定理可得:sinBcosC＝(sinAcosB+sinBcosA)cosB＝sin（A+B)cosB，可得：sinBcosC＝sinCcosB，可得：sin(B﹣C)＝0,由于B,C∈（0，π)，可得:B﹣C∈（﹣π，π）,所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因為:sin2A＝2sinBsinC，所以由正弦定理可得:a2＝2bc,可得:a2＝b2+c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分（2）∵tanA＝＝,sin2A+cos2A＝1，∴cosA＝，sinA＝＝,…8分由(1）知b＝c，∵cosA＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面積為，可得S＝bcsinA＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周長a+b+c＝5a＝5…12分【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．已知數(shù)列｛an}是公差不為0的等差數(shù)列,數(shù)列｛bn}是正項等比數(shù)列，其中a1＝b1＝1，a5＝b3，a3a9﹣4＝b5．(1）求數(shù)列｛an｝、{bn}的通項公式;（2）求數(shù)列{anbn｝的前n項和Tn．【解答】解:（1）設(shè)數(shù)列｛an}的公差為d（d≠0），數(shù)列{bn}的公比為q（q＞0),由題設(shè)可得：，解得：d＝2，q＝3,∴an＝1+2（n﹣1)＝2n﹣1,bn＝3n﹣1；（2）由（1）知:anbn＝（2n﹣1）?3n﹣1，∴Tn＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）?3n﹣1,又3Tn＝1×31+3×32+…+（2n﹣3)?3n﹣1+（2n﹣1)?3n,兩式相減得：﹣2Tn＝1+2(31+32+…+3n﹣1)﹣（2n﹣1）?3n＝1+2×+(1﹣2n)?3n，整理可得:Tn＝（n﹣1）?3n+1．【點評】本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本量的計算及錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題．19．“孝敬父母，感恩社會”是中華民族的傳統(tǒng)美德．從出生開始，父母就對我們關(guān)心無微不至,其中對我們物質(zhì)幫助是最重要的一個指標，下表是某位大學(xué)畢業(yè)生統(tǒng)計的父母為我花了多少錢的數(shù)據(jù):歲數(shù)x126121617花費累積y（萬元）139172226假設(shè)花費累積y與歲數(shù)x符合線性相關(guān)關(guān)系,求（1）花費累積y與歲數(shù)x的線性回歸直線方程（系數(shù)保留3位小數(shù))；（2）24歲大學(xué)畢業(yè)之后,我們不再花父母的錢，假設(shè)你在30歲成家立業(yè)之后，在你50歲之前償還父母為你的花費（不計利息）．那么你每月要償還父母約多少元錢？參考公式:＝＝．＝﹣．【解答】解：(1）由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花費累積y與歲數(shù)x的線性回歸直線方程為．(2）當x＝24時，＝1。463×24﹣0。167≈35（萬元)，30歲成家立業(yè)之后,在50歲之前償還，共計20年，所以每月應(yīng)還元．【點評】本題考查回歸直線方程的求法與應(yīng)用,考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長為4的菱形,PA＝PC，BD⊥PA，E是BC上一點，且BE＝1，設(shè)AC∩BD＝O．（1）證明：PO⊥平面ABCD；（2）若∠BAD＝60°,PA⊥PE，求三棱錐P﹣AOE的體積．【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中點，∵BD⊥PA,PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC,∵PO?平面PAC,∴BD⊥PO，∵PA＝PC,O是AC的中點，∴PO⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD．（2)解：由四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°,得△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴BD＝AB＝4，∵O是BD的中點，∴BO＝2，在Rt△ABO中，AO＝＝2,在Rt△PAO中，PA2＝AO2+PO2＝12+PO2，取BC的中點F,連結(jié)DF，則DF⊥BC,∴在Rt△POE中,PE2＝OE2+PO2＝3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB?BEcos120°＝21，∵PA⊥PE，∴PA2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝，∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE＝﹣＝,∴三棱錐P﹣AOE的體積VP﹣AOE＝＝＝．【點評】本題考查線面垂直、三棱錐的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．21.解：(1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，十∞)，，①當a?0時，由f′（x)＝0，解得，令f′（x）＞0,得，所以f（x）在上單調(diào)遞增;令f′(x)＜0,得，所以f（x）在上單調(diào)遞減．②當﹣2＜a＜0時，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′(x）＞0,得，所以f（x）在上單調(diào)遞增；令f′(x）＜0，得，所以f（x）在上單調(diào)遞減．③當a＝﹣2時，f′（x）?0，f（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增．④當a＜﹣2時，由f′（x)＝0,解得或,且．令f′（x）＞0,得，所以