上海清華中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

上海清華中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，，則A∩B=（

）A.{－1,0} B.{0,1}C.{－1,0,1} D.{－2,0,1,2}參考答案：A【分析】解出集合，利用交集的定義可得出集合.【詳解】，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的運(yùn)算，同時(shí)也涉及了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖由圖中數(shù)據(jù)可知身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）A．20 B．25 C．30 D．35參考答案：C【考點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意，可由直方圖中各個(gè)小矩形的面積和為1求出a值，再求出此小矩形的面積即此組人數(shù)在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此組的人數(shù)【解答】解：由圖知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03∴身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)在樣本的頻率為0.03×10=0.3故身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.3×100=30故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個(gè)小矩形的面積的意義及各個(gè)小矩形的面積和為1，本題考查了識(shí)圖的能力3.過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2+y2=1的切線交橢圓x2+4y2=4于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值是(

)A.2

B.4

C.3

D.2參考答案：A4.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（

）.A．60° B．90° C．105° D．75°參考答案：B略5.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）A．①②

B．①③

C．①④

D．②④參考答案：D6.水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，若，的面積為，則AB的長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.8參考答案：B【分析】依題意由的面積為，解得，所以，，根據(jù)勾股定理即可求．【詳解】依題意，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以，，又因?yàn)?，由勾股定理得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖還原幾何圖形，屬于簡(jiǎn)單題.利用斜二測(cè)畫法作直觀圖，主要注意兩點(diǎn)：一是與x軸平行線段仍然與軸平行且相等；二是與y軸平行的線段仍然與軸平行且長(zhǎng)度減半.7.用數(shù)學(xué)歸納法證明+++…＜1（n∈N*且n＞1）由n=k到n=k+1時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．+﹣C．+﹣ D．+﹣﹣參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】分別寫出n=k、n=k+1時(shí)不等式左邊的表達(dá)式，然后相減即得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊=+++…+，n=k+1時(shí)，左邊=++…+++，兩式相減得：+﹣，故選：B．8.下列運(yùn)算不屬于我們所討論算法范疇的是（）A．已知圓的半徑求圓的面積B．隨意抽４張撲克牌算到二十四點(diǎn)的可能性C．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)求直線方程D．加減乘除法運(yùn)算法則參考答案：B9.不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（）

A．

B．

C．

D．無(wú)窮大參考答案：D10.點(diǎn)p（x，y）是直線x+3y﹣2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則代數(shù)式3x+27y有（）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值6參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.四面體中，面與面成的二面角，頂點(diǎn)在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，則

；參考答案：12.在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn),則的取值范圍是

.參考答案：13.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且=，則=．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差數(shù)列，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)S3=1，則S6=3，∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差數(shù)列，∴S9=6，S12=10，∴=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】正確運(yùn)用等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差數(shù)列是關(guān)鍵．14.在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則ab的最大值等于

．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出滿足約束條件的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，求出a，b的關(guān)系式，利用基本不等式，可求ab的最大值．【解答】解：約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖3個(gè)頂點(diǎn)是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由圖易得目標(biāo)函數(shù)在（1，2）取最大值1，此時(shí)a+2b=1，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知識(shí)可得：1≥∴ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=時(shí)，取等號(hào)∴ab的最大值等于故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，書中給出了如下問(wèn)題：“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里．良馬初日行一百零三里，日增一十三里．駑馬初日行九十七里，日減半里．良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，問(wèn)幾何日相逢？”其大意為：“現(xiàn)有良馬和駑馬同時(shí)從長(zhǎng)安出發(fā)到齊去，已知長(zhǎng)安和齊的距離是1125里．良馬第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良馬到齊后，立刻返回去迎駑馬，多少天后兩馬相遇？”在這個(gè)問(wèn)題中兩馬從出發(fā)到相遇的天數(shù)為．參考答案：9【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】利用等差數(shù)列的求和公式與不等式的解法即可得出．【解答】解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；設(shè)第m天相逢，則a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化為m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16.設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB面積的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即和x軸垂直時(shí)，面積最小，代值計(jì)算即可．【解答】解：拋物線焦點(diǎn)為（，0），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即和x軸垂直時(shí)，面積最小，將x=代入y2=3x，解得y=±，故S△OAB=××2×=．故答案為：17.若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)__________．參考答案：∵底面面積是，∴底面半徑是，又∵圓錐側(cè)面積為，，∴，且圓錐高，∴圓錐的體積為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線l的斜率為，且過(guò)點(diǎn)和橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F2，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線（其中2c為焦距）上，直線m過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1交橢圓C于M、N兩點(diǎn)． （1）求橢圓C的方程； （2）若，求直線m的方程； （3）設(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線m繞點(diǎn)F1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求λ的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】綜合題；方程思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（1）利用點(diǎn)斜式即可得出直線l的方程，令y=0即可得出橢圓的焦點(diǎn)（c），利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，利用準(zhǔn)線方程x=，即可得出a，再利用b2=a2﹣c2即可得到橢圓的方程； （2）由題意方程可得F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），設(shè)直線MN的方程為x=ty﹣2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理以及向量的模的運(yùn)算，解方程可得t，進(jìn)而得到所求直線的方程； （3）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，可得||||sin∠MON=λ，即有λ=S△MON=|OF1||y1﹣y2|，再由韋達(dá)定理和基本不等式，即可得到所求范圍． 【解答】解：（1）由題意可得直線l：y=x﹣2， 令y=0，解得x=2，可得c=2， 即橢圓的焦點(diǎn)為（±2，0）， 設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）， 則，解得x=3，即=3，可得a2=6， 則b2=a2﹣c2=2． ∴橢圓的方程為+=1； （2）由題意方程可得F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）， 設(shè)直線MN的方程為x=ty﹣2， 代入橢圓方程可得，（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0， 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣， 由，可得（x1+x2﹣4）2+（y1+y2）2=50， 又x1+x2=t（y1+y2）﹣4， 即有（﹣8）2+（）2=50， 解得t2=1，即t=±1， 則直線m的方程為x=±y﹣2； （3）， 可得||||sin∠MON=λ， 即有λ=S△MON=|OF1||y1﹣y2| =|y1﹣y2|== ==≤=， 當(dāng)且僅當(dāng)=，即t=±1時(shí)，S取得最大值． 則有λ的取值范圍是（0，]． 【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)適合題意的方程、向量的運(yùn)算與基本不等式是解題的關(guān)鍵． 19.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），點(diǎn)P(2,2).（Ⅰ）將曲線C的方程化為普通方程，并指出曲線C是哪一種曲線；（Ⅱ）直線l與曲線C交于點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，求直線l的斜率..參考答案：（Ⅰ）曲線的普通方程是，曲線是圓.

……5分（Ⅱ）點(diǎn)滿足：所以，即.因?yàn)椋?從而.所以.故直線的斜率為.

……10分20.網(wǎng)購(gòu)已成為當(dāng)今消費(fèi)者喜歡的購(gòu)物方式，某機(jī)構(gòu)對(duì)A、B、C、D四家同類運(yùn)動(dòng)服裝網(wǎng)店的關(guān)注人數(shù)x（千人）與其商品銷售件數(shù)y（百件）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)對(duì)比，得到表格：網(wǎng)店名稱ABCDx3467y11122017由散點(diǎn)圖得知，可以用回歸直線方程y=bx+a來(lái)近似刻畫它們之間的關(guān)系（1）求y與x的回歸直線方程；（2）在（1）的回歸模型中，請(qǐng)用R2說(shuō)明，銷售件數(shù)的差異有多大程度是由關(guān)注人數(shù)引起的？（精確到0.01）參考公式：：；；R2═1﹣參考數(shù)據(jù)：xiyi=320；x2=110．參考答案：【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出x，y的平均數(shù)，即得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．（2）相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式，求得R2的值，即可求得銷售件數(shù)的差異有多大程度是由關(guān)注人數(shù)引起的．【解答】解：（1）由==5，==15，xiyi=320，=110，===2，∴=15﹣2×5=5，∴線性回歸方程為=2x+5；（2）（yi﹣）2=54，（yi﹣）2=14，R2═1﹣=1﹣=0.74，說(shuō)明銷售件數(shù)的差異有74%程度是由關(guān)注人數(shù)引起的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)及相關(guān)指數(shù)的計(jì)算，考查樣本中心點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題．21.已知多面體ABCDE中，DE⊥平面ACD，，，，O為CD的中點(diǎn).（1）求證：AO∥平面BCE；（2）求直線BD與平面BCE所成角的正弦值.參考答案：（1）見(jiàn)證明；（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)平行關(guān)系得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到線面平行；（2）結(jié)合第一問(wèn)得到的平行關(guān)系可得到平面，再由垂直關(guān)系證明平面，得到就是直線與平面所成角，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，∵為的中點(diǎn)，∴，且，∵，，，∴，，則四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面；（2）由題意可得，∵平面，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面；∴就是直線與平面所成角.在中，，，∴.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，直線和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長(zhǎng)度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的