人教版高數(shù)必修四第9講：兩角和和差的正余弦及正切公式(學生版)

...wd......wd......wd...兩角和與差的正余弦、正切公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、兩角和的余弦公式：的推導：復習：兩點間的距離公式：設，推導過程：設角、角為任意角如左圖在平面直角坐標系中作,那么作單位圓，設角、角的終邊分別與單位圓交于點B，點C再作由三角函數(shù)定義知：，,，，由：;展開并整理得:上述公式稱為兩角和的余弦公式記為二、兩角和與差的正弦公式：sin(α+β)=cos［-(α+β)］=_______________________________________________sin(α-β)=sin［α+(-β)］=____________________________________________________兩角和與差的正切公式：當cos(α+β)≠0時，tan(α+β)=_________________________________________________如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，那么有tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=tan(α-β)=公式匯編：1．兩角和與差的三角函數(shù)；；。2．二倍角公式；；。3．三角函數(shù)式的化簡常用方法：①直接應用公式進展降次、消項；②三角公式的逆用；③切割化弦，異名化同名，異角化同角等?！?〕化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)?！?〕降冪公式；；?！?〕輔助角公式，=公式的推導：令，那么，于是有：其中由，和共同確定類型一：正用公式例1.:，求的值.舉一反三：【變式1】，，那么.【變式2】，那么.【變式3】和是方程的兩個根，求的值.【高清課堂：三角恒等變換397881例1】【變式4】某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)Ⅱ根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.例2．，,，求的值.舉一反三：【變式1】，是第二象限角，且，求的值.【變式2】函數(shù)的最大值為〔〕A．B．C．D．【變式3】【變式4】，，，，求的值。類型二：逆用公式例3.求值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.舉一反三：【變式1】化簡.【變式2】，那么的值為〔〕A．B．C．D．例4.求值：〔1〕；〔2〕舉一反三：【變式】求值：〔1〕；〔2〕.類型三：變用公式例5．求值：；〔2〕舉一反三：【變式1】求值：=．【變式2】在中，,，試判斷的形狀.類型四：三角函數(shù)式的化簡與求值例6.化簡：〔1〕；(2〕【點評】①三角變換所涉及的公式實際上正是研究了各種組合的角〔如和差角，倍半角等〕的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系。因而具體運用時，注意對問題所涉及的角度及角度關(guān)系進展觀察。②三角變換中一般采用“降次〞、“化弦〞、“通分〞的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降冪公式：，.舉一反三：【變式1】化簡：〔1〕；〔2〕；〔3〕【變式2】假設，且，那么___________.【答案】由，，得，.例7．，，且，求的值.舉一反三：【變式1】，為銳角，那么的值是〔〕A.B.C.或D.【變式2】，，求。一、選擇題1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)2．在△ABC中，假設sinAsinB<cosAcosB，那么△ABC一定為()A．等邊三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形3．化簡sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的結(jié)果是()A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．15．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．26．△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，且cosB＝eq\f(5,13)，那么cosC等于()A．－eq\f(33,65) B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)二、填空題7．假設cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，那么cos(α＋eq\f(π,3))＝________.8．cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，那么cos(x－y)＝________.三、解答題9．sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.求證：cos(α－γ)＝eq\f(1,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________根基穩(wěn)固1．假設eq\r(3)sinx＋cosx＝4－m，那么實數(shù)m的取值范圍是()．A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6C．2<m<6 D.2≤m≤42.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)3．(2012·齊齊哈爾高一檢測)假設cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均為銳角，且α<β，那么α＋β的值為()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)4．cos15°＋sin15°＝________.5．(2012·成都高一檢測)假設cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.6．α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.7．：sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，0<α<eq\f(π,2)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，求cosβ的值．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)8．(2012·蚌埠高一檢測)假設eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cos(x＋φ)，那么φ的一個可能值為()．A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)9．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,8)，那么cosα＋eq\r(3)sinα的值為________．10．向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)，求cos(α－β)．能力提升一、選擇題1.，，那么〔〕Α.B.C.D.2.函數(shù)的最小正周期是〔〕Α.B.C.D.3.在△ΑBC中，，那么△ABC為〔〕Α.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法判定4.設，，,那么大小關(guān)系〔〕Α.B.C.D.5.函數(shù)是〔〕Α.周期為的奇函數(shù)B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù)D.周期為的偶函數(shù)6.，那么的值為〔〕Α.B.C.