D格林公式同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)

會計學(xué)1D格林公式同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共26頁即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共26頁2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域,如圖證畢定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共26頁推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共26頁例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共26頁例2.

計算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共26頁例3.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域為D,由格林公式知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共26頁在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共26頁二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共26頁說明:

積分與路徑無關(guān)時,曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共26頁證明(2)(3)在D內(nèi)取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共26頁證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共26頁證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域為證畢定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共26頁說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共26頁例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域為D,

則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共26頁例5.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共26頁例6.

驗證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共26頁或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共26頁例7.設(shè)質(zhì)點在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共26頁思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共26頁內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價條件在

D

內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共26頁思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問下列計算是否正確?提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共26頁2.設(shè)提示:作業(yè)P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共26頁

備用題1.

設(shè)

C

為沿從點依逆時針的半圓,計算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共26頁2.

質(zhì)點M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運動到點B(3,4),到原點的距離,解: