《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》設(shè)計(jì)賴啟煥

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)基本信息名稱橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程執(zhí)教者賴起煥課時(shí)1課時(shí)所屬教材目錄人教版選修1-1教材分析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的基礎(chǔ)上，運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)又一次實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。它為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式，鞏固坐標(biāo)法解決幾何問題的基礎(chǔ)。學(xué)情分析高二學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓，對于用坐標(biāo)法就曲線方程，有一定的思維基礎(chǔ)。但是，對于用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言描述出橢圓的定義，還比較困難。對初中的幾何知識(shí)記憶深刻。對于根式的化簡，局限在一個(gè)根號(hào)的情況下知道平方.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力目標(biāo)掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，明確焦點(diǎn)、焦距的概念，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。過程與方法目標(biāo)通過讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓的形成過程，結(jié)合初中學(xué)習(xí)的知識(shí)，親自總結(jié)出橢圓的定義，體驗(yàn)坐標(biāo)法在處理幾何問題中的優(yōu)越性，從而進(jìn)一步掌握求曲線方程的方法和數(shù)形結(jié)合的思想，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過認(rèn)真觀察，小心求證，親歷證明，動(dòng)手推演，激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生的小組協(xié)作能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和對稱美。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.難點(diǎn)橢圓的定義的得出和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教法學(xué)法教學(xué)手段1、教法設(shè)計(jì)：采用情境教學(xué)法，使學(xué)生身處教師設(shè)置的情境之中，學(xué)生跟隨教師的主導(dǎo)，身處情境之中，一步步克服難點(diǎn)，掌握重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。2、學(xué)法設(shè)計(jì)：小組討論，個(gè)人展示。3、教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué).通過多媒體和數(shù)學(xué)學(xué)科的整合，有利于引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增大知識(shí)信息的容量，使內(nèi)容充實(shí)、形象、直觀，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧兩點(diǎn)間距離公式圓的定義和方程學(xué)生自主學(xué)習(xí)，課前預(yù)習(xí)。復(fù)習(xí)公式，為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)做準(zhǔn)備新課導(dǎo)入1分鐘[問一]展示生活中的橢圓圖片和“神舟六號(hào)”圍繞地球運(yùn)行軌跡是什么圖形？學(xué)生觀察圖片得出這些平面圖形都是橢圓形。讓學(xué)生形成橢圓的感性認(rèn)識(shí)，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，明白生活實(shí)踐中有很多數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察周圍事物的能力，得出橢圓的定義10分鐘(二)自主探究，形成概念[問二]一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定長，可以形成一個(gè)圓，那么，如果老師在圓內(nèi)再加一個(gè)點(diǎn)，會(huì)怎樣呢？教師通過幾何畫板演示橢圓的形成過程學(xué)生結(jié)合初中學(xué)習(xí)的“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”得出橢圓的初步定義[設(shè)計(jì)意圖]“思維從疑問開始”，由于學(xué)生熟知“到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓”，通過創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)了學(xué)生的求知欲.。使學(xué)生急于想知道兩個(gè)點(diǎn)和一個(gè)定長，能形成什么樣的點(diǎn)的軌跡，但現(xiàn)有知識(shí)又無從回答，形成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲.此處為多媒體與數(shù)學(xué)學(xué)科的融合點(diǎn)。概念深化1.在定長(設(shè)為2a）不變的條件下，（1）當(dāng)定點(diǎn)F1、F2重合在一點(diǎn)時(shí)，畫出的圖形是什么？（2）改變兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2之間的距離，畫出的圖形是什么？（3）當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2之間的距離等于定長時(shí)，畫出的圖形是什么？（4）當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2固定，能使定長小于兩定點(diǎn)之間的距離嗎？能畫出圖形嗎？教師拖動(dòng)幾何畫板上的F2點(diǎn)，讓學(xué)生直觀感受，得出結(jié)論學(xué)生觀察教師演示，定義深化，得出常數(shù)>的結(jié)論多媒體與數(shù)學(xué)學(xué)科的融合點(diǎn)。利用多媒體的直觀性原則，直接得出能構(gòu)成橢圓的條件。按學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律與心理特征引導(dǎo)學(xué)生自己探索、分析，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)新的概念，這有利于學(xué)生對概念的全面理解，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生從量變到質(zhì)變的辨證思維.橢圓到底應(yīng)該怎么定義呢？在歸納定義時(shí)，再次強(qiáng)調(diào)定義要滿足三個(gè)條件：①平面內(nèi)（這是大前提）；②任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)；③常數(shù)大于|F1F2|.學(xué)生自己概括橢圓定義.定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。加深對橢圓定義的理解及記憶。推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程10分鐘由橢圓定義，知道了它的基本幾何特征，這只是一種“定性”的描述，但是對于這種曲線還具有哪些性質(zhì)，尚需進(jìn)一步研究.根據(jù)解析幾何的基本思想方法，我們需要利用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程“定量”的描述，然后通過對橢圓的方程的討論，來研究其幾何性質(zhì).[問三]1.求曲線方程的一般步驟是什么？求曲線方程的一般步驟——建系、設(shè)點(diǎn)、寫出點(diǎn)集、列出方程、化簡方程、證明（可省略）2.建立坐標(biāo)系的一般原則有哪些？建系的一般原則為：使已知點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程盡可能簡單，即原點(diǎn)取在定點(diǎn)或定線段的中點(diǎn)，坐標(biāo)軸取在定直線上或圖形的對稱軸上，充分利用圖形的對稱性.學(xué)生小組討論，由學(xué)科組長指定組員組織語言作答。讓學(xué)生明確思維的目的，通過復(fù)習(xí)舊知，為下一步學(xué)習(xí)搭橋鋪路.調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性[問四]怎樣建立坐標(biāo)系，才能使求出的橢圓方程最為簡單？利用幾何畫板，拖動(dòng)直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生觀察，坐標(biāo)系建在什么地方，才能充分表現(xiàn)圖形的對稱性。由教師給出|F1F2|=2c(c>0)常數(shù)2a(a>0).為了更進(jìn)一步利用方程探討橢圓的其他性質(zhì)需要盡量簡化方程形式，使數(shù)量關(guān)系更加明朗化.首先讓學(xué)生明確，含根號(hào)的等式化簡的目的就是要去掉根號(hào)，變無理式為有理式；啟發(fā)學(xué)生，化簡含兩個(gè)根式之和的等式，只要將兩個(gè)根式分別放在等號(hào)兩邊，其中一邊只含一個(gè)根式，平方一次后即可轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)根式的化簡問題.此方程形式還不夠簡捷，還有變形的必要。教師給出令聯(lián)想到截距式方程，兩邊同時(shí)除以觀察老師演示，就坐標(biāo)系的建立方式，踴躍發(fā)言通過前面知識(shí)的回憶，學(xué)生思考、相互交流，很容易選定下列建立坐標(biāo)系的方案.1. 建系：以兩定點(diǎn)F1、F2的連線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖12. 設(shè)點(diǎn)：設(shè)M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，|F1F2|=2c(c>0)，則有F1（－c,0）、F2(c,0).又設(shè)M與F1和F2的距離的和等于常數(shù)2a(a>0).3.列出方程：4.化簡方程：由學(xué)生自己化簡，小組間討論，化簡出學(xué)生得出此為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的融合點(diǎn)利用多媒體的直觀性，可以直接觀察出最對稱的建系方式。在解決解析幾何問題中，熟練運(yùn)用代數(shù)變形技巧是十分重要的，學(xué)生常因運(yùn)算能力不強(qiáng)而功虧一簣，故在此，教師不失時(shí)機(jī)地加強(qiáng)了運(yùn)算技能的訓(xùn)練.教師指出：叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為推出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程3分鐘[問五]如果焦點(diǎn)F1、F2在y軸上，并且點(diǎn)O與線段F1F2的中點(diǎn)重合，a、b、c的意義同上，橢圓的方程形式又如何呢？教師采用電子白板的抓屏工具，抓取屏幕中焦點(diǎn)在軸上的的橢圓部分，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，橢圓就豎起來了，即得到焦點(diǎn)在軸上的橢圓圖像。同學(xué)們課下可以按照焦點(diǎn)在x軸上的橢圓公式的推導(dǎo)方式，推導(dǎo)一下。得出焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程：焦點(diǎn)為（-c,0）(c,0)此為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的融合點(diǎn)，利用學(xué)生的直觀感受，學(xué)生很容易的觀察到，兩個(gè)圖像比較，軸和軸發(fā)生了交換。課內(nèi)小結(jié)3分鐘為了讓學(xué)生加深對橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，比較橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，填表.（學(xué)生討論回答，教師板書）不同點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)共同點(diǎn)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判定初步運(yùn)用，當(dāng)堂反饋10分鐘1.判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，并指明a2，b2和焦點(diǎn)坐標(biāo).2.課本上例13.課后練習(xí)P361學(xué)生在學(xué)案上作答，并起立說明做題依據(jù)。此為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的融合點(diǎn)，利用希沃平臺(tái)的作答器，做出選擇，教師根據(jù)學(xué)生的作答情況進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，針對性的講評(píng)。該例題使學(xué)生進(jìn)一步理解橢圓的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，并在解題過程中感受"數(shù)形結(jié)合"思想的優(yōu)越性.課堂小結(jié)2分鐘由學(xué)生歸納，教師完善1.橢圓的定義（注意定義中的三個(gè)條件）2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（注意焦點(diǎn)的位置與方程形式的關(guān)系）3.解題的時(shí)候，已知是橢圓，注意使用待定系數(shù)法。4.解析法求方程的一般步驟。布置作業(yè)1分鐘課后練習(xí)P362P422板書設(shè)計(jì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課重點(diǎn)：3、課堂反饋：1、橢圓的定義2、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)4、作業(yè)教學(xué)反思本節(jié)課圍繞著教學(xué)目標(biāo)逐步展開，學(xué)生通過教師的引導(dǎo)，一步步利用多媒體和數(shù)學(xué)的完美結(jié)合，從圓拓展到橢圓，從形延伸到數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形的完美結(jié)合。信息技術(shù)的應(yīng)用，使本課中的難點(diǎn)的攻克變得容易，小組討論的形式，是學(xué)生能夠互相交流，互相學(xué)習(xí)，讓