上海浦西中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析_第1頁(yè)
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上海浦西中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.某小組共有10名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的不同選法共

)種。A

27

B

48

C

21

D

24參考答案:B略2.已知點(diǎn)(m,n)在直線上,則的最小值為(

A.1

B.2

C.

D.4參考答案:D略3.如圖,平面四邊形ABCD中,,,,將其沿對(duì)角線BD折成四面體,使平面平面BCD,若四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的體積為(

)A.

B.3πC.

D.2π參考答案:C由題意平面四邊形中,,,,將其沿對(duì)角線折成四面體,使平面平面,若四面體頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,可知,所以是外接球的直徑,所以,球的半徑為;所以球的體積為,故選C.

4.設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線的焦點(diǎn)的距離是

(

)A.4

B.6

C.8

D.12參考答案:B略5.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù),則(

)A. B. C. D.參考答案:A【分析】通過(guò)變形,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義可以直接得出答案.【詳解】.選A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義,適當(dāng)?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵.6.甲校有3600名學(xué)生,乙校有5400名學(xué)生,丙校有1800名學(xué)生,為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況,計(jì)劃采用分層抽樣法,抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本,應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生(

)(A)30人,30人,30人

(B)30人,45人,15人(C)20人,30人,40人

(D)30人,50人,10人參考答案:B7.已知橢圓的離心率為,則b等于(

).A.3

B.

C.

D.參考答案:B8.已知數(shù)列{an},“對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=

3x+2上”是“{an}為等差數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案:A略9.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.C. D.參考答案:D【分析】不等式等價(jià)于或分別解不等式組后,取并集可求得的取值范圍.【詳解】或,解得:或,即,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查與分段函數(shù)有關(guān)的不等式,會(huì)對(duì)進(jìn)行分類討論,使取不同的解析式,從而將不等式轉(zhuǎn)化為解絕對(duì)值不等式和對(duì)數(shù)不等式.10.離散型隨機(jī)變量的分布列如下則等于(

)A、0.1

B、0.24

C、0.01

D、0.71參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點(diǎn)分別為和,點(diǎn)在橢圓上,如果線段的中點(diǎn)在軸上,那么

。參考答案:12.執(zhí)行右側(cè)的程序框圖,若輸入n=3,則輸出T=

。參考答案:2013.已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn),則直線的方程為

。參考答案:略14.已知,,則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率是

.參考答案:15.如圖,長(zhǎng)方體中,是邊長(zhǎng)為的正方形,與平面所成的角為,則棱的長(zhǎng)為_(kāi)______;二面角的大小為_(kāi)______.參考答案:16.復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a=_________.參考答案:-3略17.已知橢圓C:的左焦點(diǎn)為(-1,0),又點(diǎn)(0,1)在橢圓C上,則橢圓C的方程為_(kāi)_________.

參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.(1)求點(diǎn)M的軌跡M的方程;(2)設(shè)直線l:,交軌跡C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試在軌跡C的AOB部分上求一點(diǎn)P,使得△ABP的面積最大,并求其最大值.參考答案:(1)因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,所以點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到直線m:x=-1的距離……………2分由拋物線定義知道,點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),m為準(zhǔn)線的拋物線或x軸負(fù)半軸設(shè)軌跡C的方程為:,

軌跡C方程為:.或……………5分(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)直線l化成斜截式為當(dāng)直線l的平行線與拋物線相切時(shí)△ABP的面積最大……………6分由圖知P點(diǎn)在第四象限.拋物線在x軸下方的圖象解析式:,所以

………7分,解得,所以P點(diǎn)坐標(biāo)……………8分P點(diǎn)到l的距離……………9分A,B兩點(diǎn)滿足方程組

化簡(jiǎn)得.x1,x2

為該方程的根.

所以 …………11分 ……………12分19.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5.(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積;(2)設(shè)M是BC中點(diǎn),求直線A1M與平面ABC所成角的大小.參考答案:(1)20;(2)【分析】(1)三棱柱的體積,由此能求出結(jié)果;(2)連結(jié)是直線與平面所成角,由此能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】解:(1)∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形,兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5.∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積:V=S△ABC×AA120.(2)連結(jié)AM,∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形,兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5,M是BC中點(diǎn),∴AA1⊥底面ABC,AM,∴∠A1MA是直線A1M與平面ABC所成角,tan∠A1MA,∴直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan.【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的體積的求法,考查線面角的大小的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.20.(本小題滿分12分)如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)面PDC為正三角形,且面PDC⊥面ABCD,E為PC中點(diǎn)。(1).求證:PA∥平BDE;(2).求證:平面BDE⊥平面PBC;(3).求二面角D-PB-C的正切值。參考答案:略21.已知集合M={x|x2<(a+1)x},N={x|x2+2x﹣3≤0},若M?N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:考點(diǎn):集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.專題:集合.分析:需要分類討論:a+1<0、a+1=0、a+1>0三種情況下的集合M是否符合題意,由此求得a的取值范圍.解答: 解:由已知得N={x|﹣3≤x≤1},M={x|x(x﹣a﹣1)<0(a∈R)},由已知M?N,得①當(dāng)a+1<0即a<﹣1時(shí),集合M={x|a+1<x<0}.要使M?N成立,只需﹣3≤a+1<0,解得﹣4≤a<﹣1;②當(dāng)a+1=0即a=﹣1時(shí),M=?,顯然有M?N,所以a=﹣1符合題意.③當(dāng)a+1>0即a>﹣1時(shí),集合M={x|0<x<a+1}.要使M?N成立,只需0<a+1≤1,解得﹣1<a≤0,綜上所述,所以a的取值范圍是[﹣4,0].點(diǎn)評(píng):本題考查集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,綜合性強(qiáng),具有一定的難度.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意分類討論思想的合理運(yùn)用.22.已知函數(shù)f(x)=(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),h(x)=1﹣x﹣xlnx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;(2)求h(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對(duì)任意x>0,g(x)<1+e﹣2.參考答案:【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點(diǎn),即可得到所求切線的方程;(2)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),求h(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).由h(x)=1﹣x﹣xlnx,確定當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),0<<1,即可證明結(jié)論.【解答】解:(1)f(x)=的導(dǎo)數(shù)為=,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線斜率為0,切點(diǎn)為(1,),可得曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y=;(2)h(x)=1﹣x﹣xlnx求導(dǎo)數(shù)得h′(x)=﹣1﹣(1+lnx),x∈(0,+∞),令h′(x)=﹣2﹣lnx=0,x∈(0,+∞),可得x=e﹣2,當(dāng)x∈(0,e﹣2)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x∈(e﹣2,+∞)時(shí),h′(x)<0.因此h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e﹣2),單調(diào)遞減區(qū)間為(e﹣2,+∞);(2)證明:因?yàn)間(x)=xf′(x).所以g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).由h(x)=1﹣x﹣xlnx,求導(dǎo)得

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