上海市奉賢縣奉賢中學2022年高三數學文月考試題含解析

上海市奉賢縣奉賢中學2022年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.R上的奇函數滿足，當時，，則A.

B.

C.

D.參考答案：A由得函數的周期為3，所以，選A.2.若實數a、b、c成等差數列，點P(–1,0)在動直線l：ax+by+c=0上的射影為M，點N(0,3)，則線段MN長度的最小值是

．參考答案：略3.已知tanα=2，則=（） A． B． C． D．參考答案：A【考點】二倍角的正弦；三角函數的化簡求值． 【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值． 【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系、誘導公式求得所給式子的值． 【解答】解：∵tanα=2，則=sinαcosα===， 故選：A． 【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，屬于基礎題．4.

將平面上的每個點都以紅，藍兩色之一著色．證明：存在這樣兩個相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點同色．參考答案：證明：首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形．任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點同色．設此兩點為P、Q，不妨設P、Q同著紅色．過P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無紅色點，則在l1上任取異于P的兩點R、S，則R、S必著藍色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍色．△RST即為三頂點同色的直角三角形．設直角三角形ABC三頂點同色(∠B為直角)．把△ABC補成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數，n>1，本題中取n=1995)．連結對邊相應分點，把矩形ABCD分成n2個小矩形．AB邊上的分點共有n+1個，由于n為奇數，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，(否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色)，不妨設相鄰分點E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E￠、F￠，若E￠、F￠異色，則△EFE￠或△DFF￠為三個頂點同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形，…．這樣依次考察過去，不妨設這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色．同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同色的小直角三角形．否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色．現考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個直角三角形的頂點分別同色．證明2：首先證明：設a為任意正實數，存在距離為2a的同色兩點．任取一點O(設為紅色點)，以O為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個紅點，則存在距離為2a的兩個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a．故存在距離為2a的兩個藍色點．下面證明：存在邊長為a，a，2a的直角三角形，其三個頂點同色．如上證，存在距離為2a的同色兩點A、B(設為紅點)，以AB為直徑作圓，并取圓內接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形．若C、D、E、F為藍色，則存在滿足要求的藍色三角形．下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的兩個同色三角形，滿足要求．證明3：以任一點O為圓心，a及1995a為半徑作兩個同心圓，在小圓上任取9點，必有5點同色，設為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，則此五點中必存在三點同色，設為A￠、B￠、C￠．則DABC與DA￠B￠C￠為滿足要求的三角形．

5.設a∈R，則“＜1”是“a＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據不等式的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由＜1得a＜0或a＞1，∴“＜1”是“a＞1”成立的必要不充分條件，故選：B．6.已知i為虛數單位，則復數z=在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【專題】數系的擴充和復數．【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數z所對應點的坐標得答案．【解答】解：∵z==，∴復數z=在復平面內對應的點的坐標為（2，﹣1），位于第四象限．故選：D．【點評】本題考查了復數的代數表示法及其幾何意義，考查了復數代數形式的乘除運算，是基礎題．7.“m=4”是“直線mx+（1﹣m）y+1=0和直線3x+my﹣1=0垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】直線與圓；簡易邏輯．【分析】根據直線垂直的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：若直線mx+（1﹣m）y+1=0和直線3x+my﹣1=0垂直，則3m+m（1﹣m）=0，即m（4﹣m）=0，解得m=0或m=4，則“m=4”是“直線mx+（1﹣m）y+1=0和直線3x+my﹣1=0垂直”的充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據直線垂直的等價條件是解決本題的關鍵．8.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1，F2，過F2的直線交雙曲線的右支于P，Q兩點，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】先作出圖形，并作出雙曲線的右準線l，設P到l的距離為d，根據雙曲線的第二定義即可求出Q到l的距離為．過Q作l的垂線QQ1，而過P作QQ1的垂線PM，交x軸于N，在△PMQ中有，這樣即可求得d=，根據已知條件及雙曲線的定義可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根據雙曲線的第二定義即可得到，進一步可整理成，這樣解關于的方程即可．【解答】解：如圖，l為該雙曲線的右準線，設P到右準線的距離為d；過P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分別交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；過P作PM⊥QQ1，垂直為M，交x軸于N，則：；∴解得d=；∵根據雙曲線的定義，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根據雙曲線的第二定義，；整理成：；∴解得（舍去）；即該雙曲線的離心率為．故選A．【點評】考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準線方程，雙曲線的焦距、焦點的概念，以及對雙曲線的定義的運用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關系．9.如圖，在四面體A-BCD中，截面AEF經過四面體的內切球(與四個面都相切的球)的球心0，且與BC、DC分別交于E、F，如果截面MF將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC表面積分別為，則必有（)A.S1與S1的大小不確定

B.C.

D.參考答案：D10.設向量，滿足，且，則向量在向量方向上的投影為(

）A．

B．

C.

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數的值域為，若關于的不等式的解集為，則實數的值為

.參考答案：12.一個幾何體的三視圖如右圖所示，正視圖是一個邊長為2的正三角形，側視圖是一個等腰直角三角形，則該幾何體的體積為

．參考答案：4

13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．參考答案：

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的棱柱，代入柱體體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的棱柱，底面面積為：S=2×2=4，底面周長為：C=2×（2+）=4+4，高h=4，故幾何體的表面積為：2S+Ch=；故答案為：．14.設數列{an}滿足a2+a4=10，點Pn（n，an）對任意的n∈N*，都有向量=(1,2)，則數列{an}的前n項和Sn=

．參考答案：n2．【分析】運用向量的坐標運算和等差數列的定義得{an}等差數列，公差d=2，將a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n項和Sn．【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差數列，公差d=2，將a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn=n（1+2n﹣1）=n2．故答案為：n2．15.的展開式中，的系數為

（用數字作答）．

參考答案：-70

16.設定義在區(qū)間上的函數的圖像與的圖像交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為，直線與的圖像交于點,則線段的長為參考答案：17.對于，不等式的解集為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在組合體中，是一個長方體，是一個四棱錐．，，點且．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求與平面所成的角的正切值；（Ⅲ）若，當為何值時，．

參考答案：解析:(Ⅰ)證明：因為，，所以為等腰直角三角形，所以．

……1分因為是一個長方體，所以，而，所以，所以．

……3分因為垂直于平面內的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得．…4分(Ⅱ)解：過點在平面作于，連接．……5分因為，所以，所以就是與平面所成的角．……6分因為，，所以．

……7分所以與平面所成的角的正切值為．

……8分(Ⅲ)解：當時，．

……9分當時，四邊形是一個正方形，所以，而，所以，所以．

……10分而，與在同一個平面內，所以．

……11分而，所以，所以．

……12分方法二、方法二：(Ⅰ)如圖建立空間直角坐標系，設棱長，則有，，，．

……2分于是，，，所以，．……3分所以垂直于平面內的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得．

……4分(Ⅱ)，所以，而平面的一個法向量為．…5分所以．

……6分所以與平面所成的角的正弦值為．

……7分所以與平面所成的角的正切值為．

……8分(Ⅲ)，所以，．設平面的法向量為，則有，令，可得平面的一個法向量為．

……10分若要使得，則要，即，解得．…11分所以當時，．

……12分19.設函數，(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)當，時，求證：.參考答案：：(1)函數的定義域為，當時，，令：，得：或，所以函數單調增區(qū)間為：，.，得：，所以函數單調減區(qū)間為，.(2)若證，成立，只需證：，即：當時成立.設.∴，顯然在內是增函數，且，，∴在內有唯一零點，使得：，且當，；當，.∴在遞減，在遞增.，∵，∴.∴，∴成立.20.(本小題滿分12分）已知函數(1).求函數f(x)的單調區(qū)間及極值;(2).若x1≠x2滿足f(x1)=f(x2),求證：x1＋x2＜0參考答案：（1）∵，∴當時，；當時，.則的增區(qū)間是，減區(qū)間是.所以在處取得極小值，無極大值.

………6分（2）∵且，由（1）可知異號.不妨設，，則.令=，

………8分則，所以在上是增函數.

………10分又，∴，又∵在上是增函數，∴，即.

………12分21.某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇；方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束.若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲獎金為0元.方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲獎金400元.（1）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金（元）的分布列；（2）某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，試比較哪個方案更劃算？參考答案：（1）詳見解析；（2）選甲方案試題分析：(1)由題意可知的取值可以是，結合題意求解相應的概率即可求得分布列；(2)利用(1)中的結論結合題意求解相應的數學期望，選擇期望值更大的數值即可確定選擇的方案.試題解析：（1），，.所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲金（元）的分布列為：5001000

（2）由（1）可知，選擇方案甲進行抽獎所獲得獎金的均值，若選擇方案乙進行抽獎中獎次數，則，抽獎所獲獎金的均值，故選擇方案甲較劃算.點睛：離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布——兩點分布與超幾何分布；并善于靈活運用兩性質：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗分布列的正誤．22.綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項目．為預估今年7月份游客購買水果的情況，隨機抽樣統(tǒng)計了去年7月份100名游客的購買金額．分組如下：[0,20)，[20,40)，…[100,120]，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）請用抽樣的數據估計今年7月份游客人均購買水果的金額（同一組中的數據用該組區(qū)間中點作代表）．（2）若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達人”．填寫下面列聯(lián)表