上海市呂巷中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

上海市呂巷中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平面直角坐標系中，A(0,0)B(1，2)兩點繞定點P順時針旋轉(zhuǎn)θ角分別到A’(4，4),B’(2，5)兩點，則cosθ的值為Ａ．0

Ｂ．-3/5?

Ｃ．-1/2?

Ｄ．-1/3?

參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=（m﹣2x）lnx﹣x，x∈（1，e]有兩個零點，則實數(shù)m的最大值為（）A．3e2 B．3e C．6e2 D．6e參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】令f（x）=0得m﹣2x=，借助函數(shù)圖象得出m的最值．【解答】解：令f（x）=0得m﹣2x=，令g（x）=（1＜x≤e），則g′（x）=≤0，∴g（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，作出y=m﹣2x和y=g（x）的函數(shù)圖象，則兩圖象有2個交點，∴當直線y=m﹣2x經(jīng)過點（e，e）時，m取得最大值3e．故選B．【點評】本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，如果，那么三邊長a、b、c之間滿足的關(guān)系是（

） A． B． C． D．參考答案：B略4.已知集合A={x|x2﹣6x+8≤0}，B={1，2，3，4，5}，則陰影部分所表示的集合的元素個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】1J：Venn圖表達集合的關(guān)系及運算．【分析】由陰影部分表示的集合為A∩B，然后根據(jù)集合的運算即可．【解答】解：由Venn圖可得陰影部分對應(yīng)的集合為A∩B，A={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，則A∩B={2，3，4}，則對應(yīng)集合元素個數(shù)為3，故選：C【點評】本題主要考查集合的基本運算，利用Venn圖確定集合的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5.設(shè)A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，則實數(shù)a的值為()A．1

B．－1C．1或－1

D．1，－1或0參考答案：D6.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=（4+i）+（﹣3﹣2i）的虛部是（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣i參考答案：D【考點】A6：復數(shù)代數(shù)形式的加減運算．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的加減運算化簡得答案．【解答】解：z=（4+i）+（﹣3﹣2i）=1﹣i∴復數(shù)z的虛部為﹣1．故選：D．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的加減運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S＝88，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．k>7?

B．k>6?

C．k>5?

D．k>4?

參考答案：B略8.已知過定點P（2，0）的直線l與曲線y=相交于A，B兩點，O為坐標原點，當S△AOB=1時，直線l的傾斜角為（）A．150° B．135° C．120° D．不存在參考答案：A【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】判斷曲線的形狀，利用三角形的面積求出∠AOB，推出原點到直線的距離，建立方程求出直線的斜率，然后求解傾斜角．【解答】解：曲線y=，表示的圖形是以原點為圓心半徑為的上半個圓，過定點P（2，0）的直線l設(shè)為：y=k（x﹣2）．（k＜0）即kx﹣y﹣2k=0．S△AOB=1．∴，可得∠AOB=90°，三角形AOB是等腰直角三角形，原點到直線的距離為：1．∴1=，解得k=，∵k＜0．∴k=，∴直線的傾斜角為150°．故選：A．【點評】本題考查直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．9.函數(shù)的部分圖象大致為A

BC

D參考答案：A10.如圖，在△ABC中，若,則的值為()A.－3

B.3

C.2

D.－2參考答案：B∵∴又，∴故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a=（－2，1），b=（0，1），若存在實數(shù)λ使得b⊥（λa+b），則λ等于

.參考答案：答案：

12.已知F1、F2分別為雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M為△PF1F2的內(nèi)心，滿足S=S△+λS若該雙曲線的離心率為3，則λ=（注：S、S△、S分別為△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面積）參考答案：【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑r，運用三角形的面積公式和雙曲線的定義，以及離心率公式，化簡整理即可得到所求值．【解答】解：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑r，由滿足S=S△+λS，可得r?|PF1|=r?|PF2|+λ?r?|F2F1|，即為|PF1|=|PF2|+λ?|F2F1|，即為|PF1|﹣|PF2|=λ?|F2F1|，由點P為雙曲線右支上一點，由定義可得2a=λ?2c，即a=λc，由e===3，解得λ=．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的面積公式的運用，注意運用定義法解題，以及離心率公式，考查運算能力，屬于中檔題．13.某地球儀上北緯緯線長度為cm，該地球儀的表面上北緯東經(jīng)對應(yīng)點與北緯東經(jīng)對應(yīng)點之間的球面距離為

cm（精確到0.01）．參考答案：14.已知函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，給出如下命題：①0是函數(shù)y=f（x）的一個極值點；②函數(shù)y=f（x）在x=﹣處切線的斜率小于零；③f（﹣1）＜f（0）；④當﹣2＜x＜0時，f（x）＞0．其中正確的命題是

．（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】x＞0時，f'（x）＜0；x=0時，f'（x）=0；x＜0時，f'（x）＞0．所以0是函數(shù)y=f（x）的一個極值點．由f'（﹣）＞0，知函數(shù)y=f（x）在處切線的斜率大于0．由﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0，知f（﹣1）＜f（0）．【解答】解：∵x＞0時，f'（x）＜0；x=0時，f'（x）=0；x＜0時，f'（x）＞0．∴0是函數(shù)y=f（x）的一個極值點．∵f'（﹣）＞0，∴函數(shù)y=f（x）在處切線的斜率大于0．∵﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0，∴f（﹣1）＜f（0）．﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0．故答案為：①③．15.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為：.則它們相交所得弦長等于_______.參考答案：略16.給定實數(shù)集合滿足（其中表示不超過的最大整數(shù)，），，設(shè)，分別為集合的元素個數(shù)，則，的大小關(guān)系為

.參考答案：|P|＜|Q|17.設(shè)是橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點，當取最大值時的余弦值為．則橢圓的離心率為

．參考答案：設(shè)分別為橢圓的長軸長，短軸長，當點位于短軸端點時，最大，得

；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，正的中心恰為橢圓的上頂點，且．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，點在軸上，是以角為頂角的等腰直角三角形，求直線的方程．參考答案：（1）正的邊長為（為橢圓的半焦距），且點在軸上依題意∴∵∴

………………1分∵∴…3分∴∴∴橢圓的方程為…………4分（2）由（1）知，正的邊長為，∴點的縱坐標為∴點的坐標為若直線的斜率不存在，即橢圓的上下頂點，顯然當點為或時，是以角為頂角的等腰直角三角形，此時直線的方程為……………6分若直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，與聯(lián)立得，∴……7分設(shè)，線段的中點為∴∵∴∴∴…9分…………………10分……11分∵∴∴∴且滿足……………12分∴直線的斜率存在時，直線方程為………………13分綜上，所求直線的方程為和…………………14分19.已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對三邊分別為a,b,c,且．(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面積S=12,b=6,求a的值．參考答案：解得…………6分（Ⅱ），又，解得，……8分由，得……9分∴……11分∴.………12分考點：同角公式、兩角和差的三角函數(shù)，余弦定理的應(yīng)用.

略20.（13分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值．參考答案：解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為由題意易知，

得

;

當時，當時，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

…………6分

（Ⅱ）①

當時，在遞減，無極值.②

當時，由得當時，當時，時，函數(shù)的極大值為;函數(shù)無極小值.

…………13分21.在平面直角坐標系中，已知橢圓C：=1，設(shè)R（x0，y0）是橢圓C上任一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，切點分別為P，Q．（1）若直線OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率都存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由直線OP，OQ互相垂直，且與圓R相切，可得OR=4，再由R在橢圓上，滿足橢圓方程，求得點R的坐標，即可得到圓R的方程；（2）運用直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合二次方程的韋達定理和點R滿足橢圓方程，化簡整理，即可得證．【解答】解：（1）由題圓R的半徑為，因為直線OP，OQ互相垂直，且與圓R相切，所以，即，①又R（x0，y0）在橢圓C上，所以，②由①②及R在第一象限，解得，所以圓R的方程為：；（2）證明：因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x均與圓R相切，所以，化簡得，同理有，所以k1，k2是方程的兩個不相等的實數(shù)根，所以．又因為R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．【點評】本題考查橢圓的方程和運用，同時考查直線和圓相切的條件，以及韋達定理的運用，考查運算化簡能力，屬于中檔題．22.（本題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點(1)求的長；(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.參考答案：【知識點】直線的參數(shù)方程；簡單曲線的極坐標方程．N3(1)；