MBA統(tǒng)計(jì)學(xué)方差課程

統(tǒng)計(jì)學(xué)─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第九章方差分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題一個(gè)養(yǎng)蟹戶要遇到許多影響生產(chǎn)的因素或因子（factor），如水溫，飼料，水質(zhì)等。要想穩(wěn)定高產(chǎn)，就要進(jìn)行各種因素的不同水平(level)的搭配（組合）試驗(yàn)。這里的“水平”就是一個(gè)因素可能取的值。如有三種飼料，那飼料因素就有三個(gè)水平。而如果水溫有四種水平，則水溫和飼料就有12種可能的搭配。試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題試驗(yàn)設(shè)計(jì)模型可以說就是回歸模型的一種。試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題本身有很大一部分是如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)，使得人們有可能用最少的資源得到最好的結(jié)果。這里，我們不打算詳細(xì)討論如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)，而把主要精力放在試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的方差分析和建立線性模型上。

方差分析方差分析（analysisofvariance，ANOVA）是分析各個(gè)自變量對因變量影響的一種方法。這里的自變量就是定性變量的因子及可能出現(xiàn)的稱為協(xié)變量（covariate）的定量變量。分析結(jié)果是由一個(gè)方差分析表表示的。方差分析原理為：把因變量的值隨著自變量的不同取值而得到的變化進(jìn)行分解，使得每一個(gè)自變量都有一份貢獻(xiàn)，最后剩下無法用已知的原因解釋的則看成隨機(jī)誤差的貢獻(xiàn)。然后用各自變量的貢獻(xiàn)和隨機(jī)誤差的貢獻(xiàn)進(jìn)行比較（F檢驗(yàn)），以判斷該自變量的不同水平是否對因變量的變化有顯著貢獻(xiàn)。輸出就是F-值和檢驗(yàn)的一些p-值。下面看一個(gè)例子。單因素方差分析回顧

飼料比較數(shù)據(jù),n=19頭豬,用p=4種飼料喂養(yǎng)一段時(shí)間后的重量增加問題:四種飼料是否不同?

飼料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6

SPSS中的數(shù)據(jù)形式飼料例子(繼續(xù)):

飼料(fodder)為自變量(單因子),重量增加(weight)為因變量(一個(gè)數(shù)量變量)(SPSS計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)形式有所不同)飼料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6

均值A(chǔ)=133.36均值B=152.04均值C=189.72均值D=220.78對數(shù)據(jù)的描述性輸出（SPSS）

(ANOVA-CONTRASTS/POSTHOC-LSD,T2/OPTION-DES.,HOMO./MEANPLOT)

DescriptivesWEIGHT

NMeanStd.DeviationStd.Error95%ConfidenceIntervalforMean

MinimumMaximum

LowerBoundUpperBound

A5133.366.807943.04460124.9068141.8132125.3143.1B5152.046.957233.11137143.4015160.6785143.8162.7C5189.726.350352.83996181.8350197.6050182.8198.6D4220.786.105943.05297211.0591230.4909212.3225.8Total19171.5234.311377.87157154.9730188.0481125.3225.8四種飼飼料的的箱圖圖四種飼飼料的的均值值圖模型中的假假定:涉及的檢驗(yàn)驗(yàn):H0:m1=…=mp線性模型:公式:總平平方和=組組間平方和和+組內(nèi)平平方和其中,SST有自由度n-1,SSB有自由度p-1,SSE有自由度n-p,在正態(tài)分分布的假設(shè)設(shè)下,如如果各組增增重均值相相等(零假假設(shè)),則則有自由度為為p-1和n-p的F分布.ANOVAWEIGHT由SPSS可以得到方方差分析表表:

SumofSquaresDfMeanSquareFSig.BetweenGroups20538.69836846.233157.467.000WithinGroups652.1591543.477

Total21190.85818

該表說明各各飼料之間間有顯著不不同.(比較一元總總體的)ANOVAWEIGHT(重量)方差分析析表的說說明:

SumofSquares(平方和)Df自由度MeanSquare(均方)FSig.BetweenGroups(處理)SSBP-1MSB=SSB/(p-1)F=MSB/MSEP(F>Fa)WithinGroups(誤差)SSEn-pMSE=SSE/(n-p)

Total(總和)SSTn-1

這里n為觀測值值數(shù)目p為水平數(shù)數(shù),Fa滿足P(F>Fa)=a.這是自自由度為為p-1和n-p的F-分布的概概率TestofHomogeneityofVariances(Arobusttest)這是SPSS輸出之一一,明白白即可,不用記記住LeveneStatisticdf1df2Sig..024315.995F0.05(3,15)面積=0.05F(3,15)分分布密度度圖SPSS操作CompareMeans→OneWayANOVA:fodder(飼料)→FactorWeight(重量)→DependentListOptions:DescriptiveHomogeneityofVarianceMeanPlot銷售數(shù)據(jù)據(jù)(sales.txt)研究這個(gè)個(gè)數(shù)目的的主要目目的是看看銷售額額（因變變量）是是否受到到促銷方方式、售售后服務(wù)務(wù)和獎(jiǎng)金金這三個(gè)個(gè)自變量量的影響響（頭兩兩個(gè)是定定性變量量，亦稱稱為因子子，分別別有3個(gè)個(gè)和2個(gè)個(gè)水平；；而定量量變量獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是協(xié)協(xié)變量））以及怎怎樣的影影響。9.1方方差分分析(只考慮慮主效應(yīng)應(yīng),不考考慮交互互效應(yīng)及及協(xié)變量量)首先假定定因變量量受到的的僅有主主效應(yīng)（（maineffect）而沒有有交互效效應(yīng)（interaction）和協(xié)變變量的影影響。主效應(yīng)就就是每個(gè)個(gè)自變量量對因變變量的單單獨(dú)影響響，而交交互效應(yīng)應(yīng)是當(dāng)兩兩個(gè)或更更多的自自變量的的某些水水平同時(shí)時(shí)出現(xiàn)時(shí)時(shí)除了主主效應(yīng)之之外的附附加影響響。9.1方方差差分分析析(只只考考慮慮主主效效應(yīng)應(yīng),不不考考慮慮交交互互效效應(yīng)應(yīng)及及協(xié)協(xié)變變量量)拿我我們們例例子來說說，，當(dāng)當(dāng)單單獨(dú)獨(dú)考考慮慮時(shí)時(shí)，，假假定定主主動動促促銷銷比比被被動動促促銷銷可可以以多多產(chǎn)產(chǎn)生生8萬元元效效益益，，而而有有售售后后服服務(wù)務(wù)比比沒沒有有售售后后服服務(wù)務(wù)多多產(chǎn)產(chǎn)生生9萬元元效效益益。。那那么么在在沒沒有有交交互互作作用用時(shí)時(shí)，，同同時(shí)時(shí)采采取取主主動動促促銷銷和和售售后后服服務(wù)務(wù)會會產(chǎn)產(chǎn)生生8＋9＝17萬元元的的效效益益（（稱稱為為可可加加的的））。。但如如果果存存在在交交互互效效應(yīng)應(yīng)，，那那么么同同時(shí)時(shí)采采取取主主動動促促銷銷和和售售后后服服務(wù)務(wù)會會產(chǎn)產(chǎn)生生一一個(gè)個(gè)附附加加的的效效應(yīng)應(yīng)即即交交互互效效應(yīng)應(yīng)（（可可能能是是正正面面的的，，也也可可能能是是負(fù)負(fù)面面的的）），，這這時(shí)時(shí)的的總總效效應(yīng)應(yīng)就就不不是是17萬元了了。如只考考慮主效應(yīng)應(yīng)。用y表示銷銷售額額，ai表示促促銷（（下標(biāo)標(biāo)表示示不同同水平平），，bj表示售售后服服務(wù)；；則相相應(yīng)的的只有有主效效應(yīng)的的線性性模型型為：：這里的的下標(biāo)標(biāo)i代代表促促銷的的水平平，下下標(biāo)j代表表是否否有售售后服服務(wù)，，下標(biāo)標(biāo)k代代表每每種ij組組合中中的第第k個(gè)個(gè)觀測測；最最后一一項(xiàng)eijk為隨機(jī)機(jī)誤差差。9.1方方差分分析(只考考慮主主效應(yīng)應(yīng),不不考慮慮交互互效應(yīng)應(yīng)及協(xié)協(xié)變量量)公式:總平平方和和=組組間平平方和和+組組內(nèi)平平方和和其中,SSA有自由由度p-1,SSB有自由由度q-1,SSE有自由由度(p-1)(q-1),在在正態(tài)態(tài)分布布的假假設(shè)下下,如如果果各組組增重重均值值相等等(零零假設(shè)設(shè)),則則分別有自由由度為p-1和(p-1)(q-1)及自自由由度度為為q-1和(p-1)(q-1)的的F分布布.用我我們們數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)擬擬合合這這個(gè)個(gè)模模型型，，SPSS輸輸出出為為促銷銷(promot)的的F檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量(其其自自由由度度來來自自promot和error的自自由由度度:2,20)取取值值為為13.880,p-值為為0.000(更更精精確確些些是是0.0001658).而售售后后服服務(wù)務(wù)的的F檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量為為25.497，p-值為為0.000(更更精精確確些些是是0.00006135).R2為0.981.這里里的的估估計(jì)計(jì)只只有有相相對對意意義義。。一一定定要要放放在在模模型型中中，，或或者者考考慮慮同同一一因因子子水水平平之之間間的的差差，，比如如a1-a3、a2-a3、b1-b2等等等。。對于于這這個(gè)個(gè)模模型型，，參參數(shù)數(shù)估估計(jì)計(jì)為為這個(gè)個(gè)模模型型還還可可以以有有截截距距，，這這時(shí)時(shí)的的SPSS默默認(rèn)認(rèn)約約束束是是固固定定a3=b2=0；；而而目目前前的的沒沒有有截截距距的的a1，a2，a3的估估計(jì)計(jì)實(shí)實(shí)際際上上等等于于截截距距的的估估計(jì)計(jì)加加上上有有截截距距時(shí)時(shí)的的a1，a2，a3的估估計(jì)計(jì)。。由于于約約束束條條件件不不一一樣樣，，所所以以各各種種軟軟件件的的各各種種選選項(xiàng)項(xiàng)的的估估計(jì)計(jì)不不盡盡相相同同，，但但相相對對大大小小是是不不會會變變的的。。沒有交互作用用的模型可以以從下面點(diǎn)圖圖中直觀看出出。圖10.1中下面兩兩條折線分別別連接了有及沒有售后服務(wù)時(shí)三三種促銷狀況況的銷售均值值。由于模型型選擇為無交交互作用，所所以這兩條線線是平行的。。從該圖可以以看出，兩個(gè)個(gè)因子效應(yīng)綜綜合效應(yīng)是簡簡單的加法。。SPSS實(shí)現(xiàn)現(xiàn)(只有因子主效效應(yīng)的方差分分析)拿sales.sav為例，在SPSS中選Analyze－GeneralLinearModel－Univariate進(jìn)入主對話框框；然后把sales選入DependentVariable，把promot和service選入FixedFactors；然后點(diǎn)擊Model，選擇Custom，在BuildTerms中選擇Maineffects,再把promot(F)和service(F)選入Model；選擇或不選擇擇Includeinterceptinmodel則確定是否在在模型中包含含常數(shù)項(xiàng)；回回到主對話框框（Continue），這時(shí)點(diǎn)OK即可；如果要輸出參參數(shù)估計(jì)可以以在Options選諸如ParameterEstimates等。9.2方差差分析(考慮交互效效應(yīng)但不考慮慮協(xié)變量)加上交互效應(yīng)應(yīng)，這時(shí)的線線性模型就又又多了一項(xiàng)(ab)ij：而計(jì)算機(jī)的方方差分析表的的輸出(主要要部分)為：：這個(gè)模型的交交互作用可以以用下面的來來描述：還要說明的是是，如果每一一種因子水平平的組合只有有一個(gè)觀測值值（這里例中中每個(gè)組合有有四個(gè)觀測值值），那么，，無法對是否有有交互作用進(jìn)進(jìn)行判斷；這是由于數(shù)據(jù)據(jù)量不夠，交交互作用即使使有也混在誤誤差項(xiàng)中，無無法剝離出來來進(jìn)行分析。。SPSS實(shí)現(xiàn)現(xiàn)(有交互效應(yīng),但沒有協(xié)變變量的方差分分析)sales.sav為例例，在SPSS中選Analyze－GeneralLinearModel－Univariate進(jìn)入主主對話框；然后把sales選入DependentVariable，把promot和service選入入FixedFactors；然后點(diǎn)擊Model，選選擇Custom，在BuildTerms中選擇Interaction，先把promot(F)和service(F)選入Model，，再把promot(F)和service(F)同時(shí)選選入Model（出現(xiàn)“promot*service””）；選擇或不選擇擇Includeinterceptinmodel則確定是是否包含常數(shù)數(shù)項(xiàng)；回到主主對話框（Continue），這這時(shí)點(diǎn)OK即即可；如果要要輸出參數(shù)估估計(jì)可以在Options選諸如ParameterEstimates等。