保定市易縣中學2020屆高三數(shù)學模擬試題理含解析

河北省保定市易縣中學2020屆高三數(shù)學模擬試題理含解析河北省保定市易縣中學2020屆高三數(shù)學模擬試題理含解析PAGE25-河北省保定市易縣中學2020屆高三數(shù)學模擬試題理含解析河北省保定市易縣中學2020屆高三數(shù)學模擬試題理（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則()A。 B。C. D.或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得或,再根據(jù)集合運算即可。【詳解】因為或,，所以或．故選：D【點睛】本題考查分式不等式的解法以及集合運算，是基礎題.2。若復數(shù)為實數(shù)，則正整數(shù)的最小值為（)A。2 B.4 C。6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知只能為偶數(shù)，分別計算比較即可。【詳解】因為，，所以正整數(shù)的最小值為4．故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的運算，屬基礎題。3.已知雙曲線的漸近線方程為,則該雙曲線的焦距為(）A。4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程和雙曲線的漸近線方程得，再根據(jù)計算即可解決.【詳解】設雙曲線的半焦距為,由雙曲線的漸近線方程為，可得，所以，．所以雙曲線的焦距為10．故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程及性質(zhì)，是基礎題。4。下圖是某市2014年到2020年貧困戶的戶數(shù)（單位：萬戶）與時間的條形圖(時間的取值1，2，…，7依次對應2014年至2020年）。若關于的線性回歸方程為，則（)A。2。2 B。4.2 C。6.2 D。6。4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條形圖，可求出，由回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，可求出?！驹斀狻勘绢}考查線性回歸方程.依題意，得,，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查回歸直線，注意回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，屬于基礎題。5。執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán)?！驹斀狻康谝淮窝h(huán):；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán):，退出循環(huán)，輸出的為.故選:B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題。6.函數(shù)在的圖象大致為（)A。 B。C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】由可排除選項C、D；再由可排除選項A?！驹斀狻恳驗?故為奇函數(shù),排除C、D;又，排除A.故選：B。【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特殊點的函數(shù)值等，是一道基礎題。7。若,滿足約束條件，則的最大值為()A.21 B。16 C。13 D。11【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，確定最優(yōu)點，并求最大值。【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，聯(lián)立解得．觀察可知，當直線過點時，有最大值16．故選：B【點睛】本題考查線性規(guī)劃,重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎題型.8。《九章算術(shù)》中有一道“良馬、駑馬行程問題”.若齊國與長安相距3000里，良馬從長安出發(fā)往齊國去，駑馬從齊國出發(fā)往長安去，同一天相向而行。良馬第一天行155里,之后每天比前一天多行12里,駑馬第一天行100里,之后每天比前一天少行2里,則良馬和駑馬第幾日相遇（）A.第10日 B。第11日 C.第12日 D.第60日【答案】A【解析】【分析】先求出良馬和駑馬日行程的通項公式，列出式子，即可求解.【詳解】依題意，可知良馬第日行程為，同理，可得駑馬第日行程為，令，整理可得，所以。故選:A【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)學文化。，關鍵點是對題意的翻譯,屬于簡單題目.9.已知函數(shù)，則有關函數(shù)的說法正確的是(）A。的圖象關于點對稱 B。的最小正周期為C。的圖象關于直線對稱 D。的最大值為【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡函數(shù)得，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知．令，可得．當時，，故函數(shù)的圖象不關于點對稱,也不關于直線對稱,故A，C錯誤；函數(shù)的最小正周期，故B正確；函數(shù)的最大值為1，故D錯誤；故選：B.【點睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題。10.已知內(nèi)接于半徑為3的圓，，為圓上的動點，則的取值范圍是（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】以的中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設，則，求出,即得的取值范圍。詳解】以的中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，。設，則，所以，，所以。故選：C.【點睛】本題主要考查坐標法研究平面向量的問題，考查平面向量的坐標運算和數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11.已知點為拋物線上異于原點的動點，為的焦點.若，則直線的斜率的取值范圍是（)A。 B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】設,以、為基底表示向量即可求得點M的坐標，代入直線斜率公式求出直線OM的斜率表達式，再利用基本不等式即可求得范圍。【詳解】設，顯然，由題意，則，可得.當時,，當且僅當時取等號；當時，,當且僅當時取等號。故。故選:C【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題、向量的線性運算及坐標表示、基本不等式求和的最小值，屬于較難題.12.若函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由題意可得，在上有兩個不同的實數(shù)根，等價于在上有兩個不同的實數(shù)根，也等價于直線與的圖像在內(nèi)有兩個交點，所以只需利用導數(shù)研究函數(shù)在上的極值、最值和單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)圖像可得結(jié)果?！驹斀狻拷猓河深}意，令,可得.函數(shù)在上有兩個極值點，則需在上有兩個不同的實數(shù)根,等價于在上有兩個不同的實數(shù)根，也等價于直線與的圖像在內(nèi)有兩個交點.令，則。令，可得在區(qū)間上為減函數(shù),且。所以當時，，故，在上為增函數(shù)，當時，，故，在上為減函數(shù)，所以.又，，所以，所以.故選：D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)極值、單調(diào)性，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，考查了轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.二、填空題：13.若圓臺的母線與高的夾角為,且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥咳粼O圓臺的上、下底面半徑分別為，,圓臺高為,則由題意可得，，從而可求出圓臺的高。【詳解】設上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，根據(jù)軸截面可知，即,所以.故答案為:【點睛】本題考查圓臺的幾何特征，圓臺中的上、下底面半徑與高的關系，屬于基礎題。14。甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為，他們每次射擊是否擊中目標互不影響,則甲恰好比乙多擊中目標1次的概率為_________.【答案】【解析】【分析】事件“甲恰好比乙多擊中目標1次”可拆成三個互斥事件：甲擊中1次乙擊中0次，甲擊中2次乙擊中1次，甲擊中3次乙擊中2次,然后可計算概率．【詳解】甲恰好比乙多擊中目標1次分為甲擊中1次乙擊中0次，甲擊中2次乙擊中1次，甲擊中3次乙擊中2次三種情形，其概率.故答案：．【點睛】本題考查相互獨立事件的概率,考查互斥事件的概率公式，解題關鍵是把事件拆成三個互斥事件的和．這樣可通過概率公式計算概率．15。設是等比數(shù)列的前項和，，且，則_________。【答案】4或0【解析】【分析】由，得，從而得，然后得或，進而求出公比和通項，即可得結(jié)果.【詳解】解:設等比數(shù)列的公比為，由,得，由，得，即，所以.若，則，此時；若,則，此時。所以或.故答案為：4或0【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了分類思想和計算能力，屬于基礎題。16。已知大、小兩個球外切,且兩球與一個正四面體的三條側(cè)棱都相切，記大球、小球的半徑分別為，，則的值為________.【答案】【解析】【分析】設正四面體棱長為，大球球心、小球球心分別為，,取底面的中心為,連接,,先作，易知，再作，則，可得出，，又,進而得出和的關系，最后求出的值即可?！驹斀狻咳鐖D所示，設正四面體棱長為，大球球心、小球球心分別為,，取底面的中心為，連接，，可知,都在正四面體的高上，因為大球與三條側(cè)棱都相切，作，易知，又因為小球與三條側(cè)棱相切，且與大球外切，作,則,因為，，所以，所以，，又，所以，所以?！军c睛】本題考查空間幾何體與球的相切問題，考查邏輯思維能力和計算能力，考查空間想象能力，屬于?？碱}.三、解答題:17.在中,角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）;（2)。【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化得，再結(jié)合內(nèi)角和定理與正弦的和角公式化簡得，即可解決。(2）結(jié)合（1）與余弦定理得，再用面積公式求解即可.【詳解】（1）由,及正弦定理得。又，所以,即.因為，所以。所以。因為，所以.(2)由（1)知,.由余弦定理得。所以.所以。所以的面積.【點睛】本題考查利用正余弦定理解解三角形，考查運算能力，是基礎題。18.如圖，四棱錐中，，，。（1)求證：平面;（2)若，且，平面平面，，求直線與平面所成的角?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取線段的靠近的三等分點為，連接，，則，所以且，再結(jié)合已知可證得四邊形為平行四邊形,從而有，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2）取中點為，連接，過作交于，可證得直線，,兩兩垂直，所以以為原點，分別以射線，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求直線與平面所成的角?！驹斀狻浚?）如圖，取線段的靠近的三等分點為，連接,.則，所以且.又且,所以四邊形為平行四邊形。所以。又平面，平面，所以平面。(2）如圖,取中點為，連接,過作交于.因為平面平面,,由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面。所以直線,，兩兩垂直,以為原點，分別以射線，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.則，,，.所以，，。設平面的法向量為，則取，得.所以,所以直線與平面所成的角為45°.【點睛】此題考查了線面平行的證明,求直線與平面所成的角,考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題。19.某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件,質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的,否則該零件不合格．（1)假設某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學期望；（2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由．附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則．【答案】（1）見解析(2)需要，見解析【解析】【分析】（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立，零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布，利用補集的思想求得，再根據(jù)公式求得;（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望，與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】（1），由于滿足二項分布，故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當充分大時，,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應用,考查二項分布的期望，考查補集思想的應用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力。20.已知中心在原點的橢圓的左焦點為,與軸正半軸交點為，且。（1）求橢圓的標準方程；（2)過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當時，直線過定點?！敬鸢浮?1）；（2）見解析.【解析】分析】（1）在中，計算出的值，可得出的值，進而可得出的值,由此可得出橢圓的標準方程；(2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)已知條件得出，利用韋達定理和斜率公式化簡得出與所滿足的關系式，代入直線的方程,即可得出直線所過定點的坐標.【詳解】（1）在中,，，，，，，，因此，橢圓的標準方程為；（2）由題不妨設，設點,聯(lián)立，消去化簡得，且,，，，,∴代入，化簡得，化簡得，，,，直線，因此，直線過定點.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算能力,屬于中等題.21.已知函數(shù)。(1)證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；(2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值。【答案】（1）證明見解析；（2)【解析】【分析】（1）求解出導函數(shù)，分析導函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；（2）根據(jù)導函數(shù)零點，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關系，從而的值可求.【詳解】（1)證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增。又，令,，則在上單調(diào)遞減，，故。令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.（2)解：由（1)可知存在唯一的，使得，即（*)。函數(shù)在上單調(diào)遞增?！喈敃r，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.∴.由（*）式得.∴,顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù),方程有且僅有唯一的解,把代入（*）式,得，∴，即所求實數(shù)的值為。【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)時，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點的存在性定理進行判斷;（2）函數(shù)的“隱零點”問題，可通過“設而不求”的思想進行分析.22.在極坐標系中，曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標;(2)求證：?！敬鸢浮?1），；