代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)第一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日集合上的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果都是在原來的集合R中，具有這種特征的運(yùn)算是封閉的，簡(jiǎn)稱閉運(yùn)算。對(duì)于集合A，一個(gè)從An到B的映射，稱為集合A上的一個(gè)n元運(yùn)算。如果BA,則稱該n元運(yùn)算是封閉的.

5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)第二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義5.1

設(shè)S為集合,函數(shù)f:S×S→S稱為S上的一個(gè)二元運(yùn)算,簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算.f:N×N→N,f(<x,y>)＝x＋y普通的減法不是自然數(shù)集合上的二元運(yùn)算,因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)相減可能得負(fù)數(shù),而負(fù)數(shù)不屬于N.這時(shí)也稱集合N對(duì)減法運(yùn)算不封閉.第三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日(1)自然數(shù)集合N上的乘法是N上的二元運(yùn)算,但除法不是.(2)整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法是Z上的二元運(yùn)算,而除法不是.(3)非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算,而加法、減法不是.(4)設(shè)Mn(R)表示所有n階實(shí)矩陣的集合(n≥2),即則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算,(5)S為任意集合,則∪,∩,—,為S的冪集P(S)上的二元運(yùn)算,(6)S為集合,是S上的所有函數(shù)的集合,則合成運(yùn)算.是上的二元運(yùn)算.第四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日算符通常用?,*,?,…等符號(hào)表示二元運(yùn)算，稱為算符.設(shè)f:S×S→S是S上的二元運(yùn)算,對(duì)任意的x,y∈S,如x與y的運(yùn)算結(jié)果是z,即f(<x,y>)＝z,可利用算符?簡(jiǎn)記為x?y=z第五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日N元運(yùn)算定義5.2

設(shè)S為集合,n為正整數(shù),則函數(shù)

稱為S上的一個(gè)n元運(yùn)算,簡(jiǎn)稱為n元運(yùn)算.

例如,求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的一元運(yùn)算,求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是非零實(shí)數(shù)集R*上的一元運(yùn)算,在冪集合P(S)上,如果規(guī)定全集為S,那么求集合的絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算可以看作是P(S)上的一元運(yùn)算.在空間直角坐標(biāo)系中求某一點(diǎn)(x,y,z)的坐標(biāo)在x軸上的投影可以看作是實(shí)數(shù)集R上的三元運(yùn)算f(<x,y,z>)＝x,因?yàn)閰⒓舆\(yùn)算的是有序的3個(gè)實(shí)數(shù),而結(jié)果也是實(shí)數(shù).第六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日使用算符表示n元運(yùn)算若f(<a1,a2,···,an>)=b,則可記為?(a1,a2,···,an)＝b前綴表示法：

?(a)＝b一元運(yùn)算,｜?(a1,a2)＝b二元運(yùn)算,

?(a1,a2,a3)＝b三元運(yùn)算.如果集合S是有窮集,S上的一元和二元運(yùn)算也可以用運(yùn)算表給出.表5,1和5.2是一元和二元運(yùn)算表的一般形式,第七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例5.2設(shè)S＝{1,2},給出P(S)上的運(yùn)算~和的運(yùn)算表,其中全集為S.

解所求的運(yùn)算表如表5.3、表5.4所示.第九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例5.3設(shè)S={1,2,3,4},定義S上二元運(yùn)算如下：x?y=(xy)mod5,x,yS?123411234224133314244321第十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日二元運(yùn)算的性質(zhì)定義5.3設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)任意的x,y∈S都有x?y＝y(tǒng)?x則稱運(yùn)算?在S上是可交換的,或者說.在S上適合交換律.例如,實(shí)數(shù)集上的加法和乘法都是可交換的,但減法不可交換,在冪集P(S)上的∪,∩,都是可交換的,但相對(duì)補(bǔ)不是可交換的.第十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義5,4設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)任意的x,y,z∈S都有(x?y)?z＝x?(y?z),則稱運(yùn)算?在S上是可結(jié)合的,或者說.在S上適合結(jié)合律.普通的加法和乘法在N,Z,Q,R上都是可結(jié)合的,∪,∩,在冪集P(S)上也是可結(jié)合的.矩陣加法和乘法在Mn(R)上是可結(jié)合的,其中矩陣加法還是可交換的,但矩陣乘法不是可交換的.第十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義5.5設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)任意的x∈S都有x?x=x則稱該運(yùn)算?適合冪等律,也可以說S中的全體元素都是冪等元.例如，冪集P(S)上∪和∩適合冪等律,但對(duì)稱差不適合冪等律（除非P(S)=）,是運(yùn)算的冪等元.第十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義5.6設(shè)?和*是S上的兩個(gè)二元運(yùn)算,如果對(duì)任意的x,y,z∈S有x*(y?z)=(x*y)?(x*z),(y?z)*x＝(y*x)?(z*x),則稱運(yùn)算*對(duì)?是可分配的,也稱*對(duì)?適合分配律.例如,在實(shí)數(shù)集上普通乘法對(duì)加法是可分配的,在n階實(shí)矩陣的集合Mn(R)上矩陣乘法對(duì)矩陣加法是可分配的,而在冪集P(S)上∪和∩是互相可分配的.第十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義5.7設(shè)?和*是S上的兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算,如果對(duì)任意的x,y∈S都有x*(x?y)＝x,x?(x*y)＝x,則稱?和*滿足吸收律.例如,在冪集P(S)上∪和∩是滿足吸收律的.第十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日左幺元,右幺元,幺元定義5.8設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,如果存在元素el(或er)∈S使得對(duì)任何x∈S,都有

el

?x＝x(或x?er=x)則稱el(或er)是S中關(guān)于運(yùn)算?的一個(gè)左幺元(或右幺元).若e∈S關(guān)于°既是左幺元,又是右幺元,則稱e為S上關(guān)于運(yùn)算?的幺元.第十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日誰是幺元?自然數(shù)集合上的加法運(yùn)算的幺元是誰?自然數(shù)集合上的乘法運(yùn)算的幺元是誰?在Mn(R)上,矩陣加法的幺元是誰?在Mn(R)上,矩陣乘法的幺元是誰?在冪集P(S)上,∪運(yùn)算的幺元是誰?在冪集P(S)上,∩運(yùn)算的幺元是誰?R*是非零實(shí)數(shù)集,任意的a,bR*有a?b=a,運(yùn)算?的幺元是誰?第十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日左幺元,右幺元,幺元定理5.1設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,el,er分別為運(yùn)算?的左幺元和右幺元,則有el＝er＝e.且e為S上關(guān)于運(yùn)算?的唯一的幺元.

證明el＝el

?er, el

?er＝er

所以,el=er把el＝er記作e.假設(shè)S中存在幺元e’,則有e’=e?e’＝e所以,e是S中關(guān)于運(yùn)算?的唯一的幺元,第十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日左零元,右零元,零元定義5.9設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,若存在元素l(或r)∈S使得對(duì)任意的x∈S有

l?x＝l(或x?r＝r)則稱l(或r)是S上關(guān)于運(yùn)算?的左零元(或右零元)若∈S關(guān)于運(yùn)算?既是左零元,又是右零元,則稱為S上關(guān)于運(yùn)算?的零元.自然數(shù)集N上普通乘法的零元是誰?普通加法零元是誰?Mn(R)上矩陣乘法的零元?矩陣加法零元?在冪集P(S)上∪運(yùn)算的零元是?∩運(yùn)算的零元是?R*是非零實(shí)數(shù)集,任意的a,bR*有a?b=a,運(yùn)算?的零元?第十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定理5.2設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,l,r分別為運(yùn)算?的左零元和右零元,則有

l＝r＝且為S上關(guān)于運(yùn)算?的唯一的零元.第二十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定理:設(shè)<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),且集合A中元素的個(gè)數(shù)大于1.如果該代數(shù)系統(tǒng)中存在幺元e和零元θ,則θ≠e.證明：用反證法，設(shè)θ=e，那么對(duì)于任意xA,必有x=e*x=θ*x=θ=e于是，A中所有元素都是相同的，這與A中含有多個(gè)元素相矛盾。第二十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日左逆元、右逆元、逆元定義5.10設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,e∈S為運(yùn)算°的幺元.對(duì)于任意的x∈S,如果存在yl∈S(或yr∈S)使得

yl°x＝e(或x?yr＝e)則稱yl(或yr)是x的左(或右)逆元,若y∈S既是x的左逆元,又是x的右逆元,則稱y是x的逆元.自然數(shù)集關(guān)于加法運(yùn)算的逆元?整數(shù)集關(guān)于加法運(yùn)算的逆元?Mn(R)上矩陣乘法的逆元?在冪集P(S)上∪運(yùn)算的逆元?第二十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定理5.3

設(shè)?為S上可結(jié)合的二元運(yùn)算,e為該運(yùn)算的幺元.對(duì)于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,則有

yl＝y(tǒng)r＝y(tǒng),且y是x的唯一的逆元.證明:yl＝y(tǒng)l?e＝y(tǒng)l?(x?yr)=(yl?x)?yr＝e?yr＝y(tǒng)r.令yl=yr=y,假設(shè)y’∈S是x的逆元,則有

y’＝y(tǒng)’?e＝y(tǒng)’?(x?y)＝(y’?x)?y＝e?y＝y(tǒng).

由這個(gè)定理可知,對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算來說,元素x的逆元如果存在則是唯一的.通常把這個(gè)唯一的逆元記作.第二十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義5.11

設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,如果對(duì)任意的x,y,z∈S滿足以下條件(1)若x?y＝x?z且x不是零元,則y＝z,(2)若y?x＝z?x且x不是零元,則y＝z就稱運(yùn)算?滿足消去律

整數(shù)集合上加法,乘法?冪集P(S)上∪運(yùn)算?∩運(yùn)算滿足消去律嗎?運(yùn)算滿足消去律嗎?第二十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),*是A上的一個(gè)二元運(yùn)算，那么該運(yùn)算的有些性質(zhì)可以從運(yùn)算表中直接看出。即：1.運(yùn)算*具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中每個(gè)元素都屬于A。2.運(yùn)算*具有可交換性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱的。3.運(yùn)算*具有等冪性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表的主對(duì)角線上每一個(gè)元素與它所在行（列）的表頭元素相同。4.A關(guān)于*有零元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列中的元素都與該元素相同。5.A中關(guān)于*有幺元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致。6.設(shè)A中有幺元，a和b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于a所在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。第三十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)∑是字母的有窮集,稱為字母表,∑中的有限個(gè)字母組成的序列稱為∑上的串.對(duì)任何串ω,串中字母的個(gè)數(shù)叫做串的長(zhǎng)度,記作|ω|.長(zhǎng)度是0的串叫做空串.記作λ.對(duì)任給的自然數(shù)k,令∑k=特別有:第三十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日規(guī)定∑*上的二元運(yùn)算?如下:對(duì)任意ω,∈∑*,ω＝a1a2…am,=b1b2…bnω?＝a1a2…amb1b2…bn,運(yùn)算?把串接在串ω的后面,稱之為連接運(yùn)算.它是Σ*上的二元運(yùn)算.對(duì)任意ω,,γ∈∑*有(ω?)

?γ＝ω?(?γ),即連接運(yùn)算滿足結(jié)合律,但不滿是交換律.它的幺元是空串λ.第三十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日Σ*上的一元運(yùn)算—求一個(gè)串的反串,記作′.對(duì)于任意ω∈∑*,ω＝a1a2…an,有

ω’=an…a2a1

對(duì)任意串ω∈∑*,如果ω＝ω′,則稱該串是一個(gè)回文.例如,1,100001,10101都是{0,1}*上的回文.第三十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)給定的Σ,Σ*的任何子集都稱為Σ上的一個(gè)語言,記作L,LΣ*.因?yàn)镻(∑*)是Σ*的所有子集的集合,它恰好表示了Σ上所有語言的集合.例如,∑＝{0,1},那么都是∑上的語言,其中L3是回文語言,第三十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日如果對(duì)于某個(gè)L∈P(∑*)有L’＝L,則稱L為∑上的鏡象語言,易見回文語言一定是鏡象語言,但鏡象語言不一定是回文語言,例如,語言{01,10}是鏡象語言但不是回文語言.第三十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日5.2代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)定義5.12

非空集合S和S上的k個(gè)運(yùn)算f1,f2,…,fk(其中fi為ni元運(yùn)算,i=1,2,…,k)組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),簡(jiǎn)稱代數(shù),記作

<S,f1,f2,…,fk>.例如,<N,＋>,<Z,＋,·,>,<R,＋,·,>都是代數(shù)系統(tǒng),其中＋為普通加法,·為普通乘法,<Mn(R),＋,·>是代數(shù)系統(tǒng),其中＋和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法.第三十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日<P(S),,,~>也是代數(shù)系統(tǒng),它包含兩個(gè)二元運(yùn)算和一個(gè)一元運(yùn)算.

<Zn,,>是代數(shù)系統(tǒng)，其中第三十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)常數(shù) 二元運(yùn)算的幺元或零元,對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)起著重要的作用,稱之為系統(tǒng)的特異元素,或代數(shù)常數(shù).第四十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日子代數(shù)系統(tǒng)、子代數(shù)定義5.13

設(shè)V=<S,f1,f2,…,fk>是代數(shù)系統(tǒng),BS且B≠,如果B對(duì)f1,f2,…,fk都是封閉的,且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù),則稱<B,f1,f2,…,fk>是V的子代數(shù)系統(tǒng),簡(jiǎn)稱子代數(shù).例如.<N,＋,0>是<Z,＋,0>的子代數(shù),因?yàn)镹對(duì)加法封閉,且它們都具有相同的代數(shù)常數(shù)0.<N-{0},＋>不是<Z,＋,0>的子代數(shù).因?yàn)榇鷶?shù)常數(shù)0不出現(xiàn)在N-{0}中.第四十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日平凡的子代數(shù)、真子代數(shù)對(duì)任何代數(shù)系統(tǒng)V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代數(shù)定存在.最大的子代數(shù)就是V本身.如果令V中所有的代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是B,且B對(duì)V中所有的運(yùn)算都是封閉的,那么,B就構(gòu)成了V的最小的子代數(shù).這種最大與最小的子代數(shù)稱為V的平凡的子代數(shù)．如果V的子代數(shù)V’=<B,f1,f2,…,fk>滿足BS,則稱V’是V的真子代數(shù).第四十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例5.5設(shè)V=<Z,＋,0>,令,nZ={nz|zZ}n為自然數(shù)那么,證明，nZ是V的子代數(shù).

證明:任取nZ中的兩個(gè)元素nz1和nz2,nz1,nz2

Z.則有

nz1

＋nz2=n(z1＋z2)nZ,即nZ對(duì)＋運(yùn)算是封閉的．并且0=n·0nZ．所以,nN是<Z,＋,0>的子代數(shù).

當(dāng)n=1時(shí),nZ就是V本身,當(dāng)n=0時(shí),0Z={0}是V的最小的子代數(shù),而其他的子代數(shù)都是V的非平凡的真子代數(shù).第四十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日積代數(shù)定義5.14設(shè)V1=<S1,?>,V2=<S2,*>是代數(shù)系統(tǒng),?和*為二元運(yùn)算.V1和V2的積代數(shù)V1×V2是含有一個(gè)二元運(yùn)算·的代數(shù)系統(tǒng),即V1×V2=<S,·>,其中S=S1×S2,且對(duì)任意的<x1,y1>,<x2,y2>S1×S2有<x1,y1>·<x2,y2>=<x1?x2,y1*y2>設(shè)V1=<Z,＋>,V2=<M3(R),˙>,其中＋和·分別表示整數(shù)加法和矩陣乘法,那么V1×V2是V1×V2=<Z×M3(R),?

>.對(duì)任意的第四十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日如果原來的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)分別含有代數(shù)常數(shù),比如說V1的代數(shù)常數(shù)為a1,V2的代數(shù)常數(shù)為a2,<a1,a2>就是積代數(shù)V1×V2中的代數(shù)常數(shù)．例如,V1=<Z,+,0>,V2=那么積代數(shù)V1×V2的代數(shù)常數(shù)就是

第四十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日這時(shí)有V1×V2=第四十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日3個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù):例如,V=<Z,+,0>,那么有V×V×V=<Z×Z×Z,*,<0,0,0>>并且對(duì)任意的<x1,y1,z1>,<x2,y2,z2>Z×Z×Z有

<x1,y1,z1>*<x2,y2,z2>=<x1+x2,y1+y2,z1+z2>第四十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日如果V1和V2中的二元運(yùn)算都是可交換的(可結(jié)合的或冪等的),則積代數(shù)中相應(yīng)的二元運(yùn)算也是可交換的(可結(jié)合的或冪等的)．如果e1,e2分別為V1和V2的幺元,那么<e1,e2>就是積代數(shù)V1×V2的幺元.如果x1在V1中的逆元為x1-1,x2在V2中的逆元為x2-1,那么在積代數(shù)V1×V2中,<x1,x2>的逆元就是<x1-1,x2-1>.第四十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日5.3

代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)定義5.15

設(shè)V1=<S1,?

>,V2=<S2,*>是代數(shù)系統(tǒng),?和*是二元運(yùn)算,如果存在映射::S1→S2滿足對(duì)任意的x,yS1有

(x?y)=(x)*(y),則稱是V1到V2的同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱同態(tài)．第四十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例如,V1=<Z,＋>,V2=<Zn,>,其中＋為普通加法,為模n加法,即x,yZn有

xy=(x＋y)modn,這里Zn={0,1,…,n-1}．令

:Z→Zn,(x)=(x)modn,則是V1到V2的同態(tài).因?yàn)閷?duì)任意x,y∈Z有

(x＋y)=(x＋y)modn=(x)modn(y)modn=(x)

(y)又比如令

:R→R＋,(x)=ex,那么是<R,＋>到<R＋,·>的同態(tài),因?yàn)閷?duì)任意x,y∈R,下式成立,

(x＋y)=ex＋y=ex·ey=(x)·(y)第五十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日同態(tài)象、同構(gòu)

定義5.16

設(shè)是V1=<S1,?>到V2=<S2,*>的同態(tài),則稱<(S1),*>是V1在下的同態(tài)象．

定義5.17

設(shè)是V1=<S1,?>到V2=<S2,*>的同態(tài),如果是滿射的,則稱為V1到V2的滿同態(tài),記作.如果是單射的,則稱為V1到V2的單同態(tài).如果是雙射的,則稱為V1到V2的同構(gòu),記作第五十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例5.6(1)V=<z,＋>,給定a∈z,令

a:z→z,a(x)=ax,x∈z,那么易證,任取z1,z2∈z有

a(z1＋z2)=a(z1＋z2)=az1＋az2=a(z1)＋a(z2),所以

a是V到自身的同態(tài),這時(shí)也稱為V的自同態(tài).第五十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)a=0時(shí),有z∈Z,0(z)=0,稱0為零同態(tài),其同態(tài)象為<{0},＋>．當(dāng)a=1時(shí),有

z∈Z,1(z)=z為Z的恒等映射,顯然是雙射,其同態(tài)象就是<Z,＋>.這時(shí)1是V的自同構(gòu)．同理可證-1也是V的自同構(gòu).當(dāng)a≠±1且a≠0時(shí),z∈Z有a(z)=az,易證a是單射的,這時(shí)a為V的單自同態(tài),其同態(tài)象是<aZ,＋>是<Z,＋>的真子集.第五十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)令V1=<∑*,?>,V2=<N,+>,定義

:∑*→N如下:

()=||,

∈∑*．易證是V1到V2的映射,且滿足:

1,2∈∑*有

(

1?

2)=|

1?

2|=|

1|+|

2|=

(

1)＋

(

2),所以,為V1到V2的同態(tài),且是滿同態(tài),其同態(tài)象就是V2.如果∑中只含有一個(gè)字母,比如說a,那么∑*={an|n∈N}．這時(shí)是雙射的,就是V1到V2的同構(gòu)了.第五十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日一般的代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)定義5.15的同態(tài)概念可以推廣到一般的代數(shù)系統(tǒng)中去.設(shè)V1=<S1,?,*>,V2=<S2,?’,*’>是代數(shù)系統(tǒng),其中?,*,?’,*’都是二元運(yùn)算．如果

:S1→S2滿足以下條件:x,yS1有

(1)(x?y)=(x)?’(y),(2)(x*y)=(x)*’(y),則稱是V1到V2的同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱同態(tài)．第五十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例如,V1=<Z,＋,·>,V2=<Zn,,⊙>,其中＋,·為普通的加法和乘法.為模n加法,⊙為模n乘法.即對(duì)任意x,y∈Zn有

x⊙y=(xy)modn,令

:Z→Zn,(x)=(x)modn,那么易證

(x＋y)=(x＋y)modn=(x)modn

(y)modn=(x)(y)

(x·y)=(xy)modn=(x)modn⊙(y)modn

=(x)⊙(y)所以是V1到V2的同態(tài),且是滿同態(tài).第五十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日具有一元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)中的同態(tài)設(shè)V1=<S1,?,△>,V2=<S2,*,△’>是代數(shù)系統(tǒng),其中?,*是二元運(yùn)算,△和△′是一元運(yùn)算.如果映射

:S1→S2滿足以下條件(1)x,y∈S1,有(x?y)=(x)*(y),(2)x∈S1,有

(△(x))=△’((x)),則稱是V1到V2的同態(tài).第五十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例如,V1=<R,＋,->,V2=<R＋,·,-1>,其中＋,·為普通加法和乘法,-x表示求x的相反數(shù),x