平穩(wěn)時間序列模型的建立概述

第三章平穩(wěn)時間序列模型的建立

本章首先介紹利用時間序列的樣本統(tǒng)計特征識別時間序列模型，然后分別介紹模型定階、模型估計和模型檢驗的多種方法，對Box-Jenkins建模方法和Pandit-Wu建模方法歸納總結(jié)，最后給出實際案例。第一節(jié)模型識別與定階一、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的估計（一）自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的估計1）是平穩(wěn)時間序列自協(xié)方差的無偏估計量；則是平穩(wěn)時間序列自協(xié)方差的漸進無偏估計量。2）通常是正定的。（二）偏自相關(guān)函數(shù)的估計

二、模型的初步識別（一）截尾性的判斷假設(shè)yt是一個真實MA（q）模型，例1，某資產(chǎn)組合過去100個交易日收益率情況（二）偏相關(guān)系數(shù)截尾性的判斷假設(shè)yt是一個AR（p）過程，~（三）ARMA（p，q）模型識別模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾截尾拖尾PACF截尾拖尾拖尾三、模型的定階1、殘差的方差殘差方差小，相應(yīng)的階數(shù)合理。模型殘差平方和自由度殘差方差AR(1)8184.65468120.03095AR(2)7920.03767117.76331AR(3)7919.294766119.536102、ACF和PACF定階法模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相關(guān)函數(shù)（ACF）拖尾截尾拖尾偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）截尾拖尾拖尾模型殘差平方和自由度殘差方差MA(1)80065.715837.1543MA(2)72345.915735.6262MA(3)71123.965635.6381MA(4)71104.135535.9956兩模型幾乎沒有差異。（四）模型定階的最正確準則函數(shù)法1、根本思想：確定一個函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型擬合原始數(shù)據(jù)的接近程度，同時又考慮模型中所含參數(shù)的個數(shù)。當該函數(shù)取最小值時，就是最適宜的階數(shù)。衡量模型擬合數(shù)據(jù)的接近程度的指標是殘差方差。2、最正確準則函數(shù)包括AIC、BIC等準則。AIC準則是1973年由赤池（Akaike）提出，此準則是對FPE準則(用來判別AR模型的階數(shù)是否適宜)的推廣，用來識別ARMA模型的階數(shù)。該準則既適合于AR，也適合于ARMA模型。第二節(jié)模型參數(shù)的估計一、模型參數(shù)的矩方法估計二、最小二乘估計三、極大似然估計一、模型參數(shù)的矩估計（一）AR(p)模型的矩估計于是可得如下的Yule-Walk方程：于是可得到的矩估計：例1，AR(1)模型的矩估計例2，AR(2)模型參數(shù)的矩估計（三）MA(q)模型參數(shù)的矩估計第四章已經(jīng)推導出MA(q)的自協(xié)方差結(jié)果，將代替，代替(i=1,2…q),得如下方程組：上式是含有q+1個參數(shù)的非線性方程組，解此方程組，即可以求出各參數(shù)：方程組可以直接求解，也可以用迭代法求解。例3.MA(1)模型參數(shù)的矩估計例4.求AR(2)模型系數(shù)的矩估計AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計優(yōu)點估計思想簡單直觀不需要假設(shè)總體分布計算量?。ǖ碗A模型場合）缺點信息浪費嚴重只用到了p+q個樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計精度差通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值

二、最小二乘估計對于ARMA模型或MA模型參數(shù)的估計，一般采用非線性最小二乘法，或極大似然估計法。模型參數(shù)的極大似然估計四、模型參數(shù)的最小平方和估計第三節(jié)模型的適應(yīng)性檢驗

一、模型的適應(yīng)性檢驗二、模型的平穩(wěn)性和可逆性分析一、模型的適應(yīng)性檢驗假設(shè)建立的模型恰當?shù)拿枥L了已給數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)序列的ARMA模型，那么模型擬合的殘差應(yīng)是白噪聲序列，即均值為零、常數(shù)方差、彼此不相關(guān)。ARMA模型的適應(yīng)性檢驗，主要就是檢驗殘差是否為白噪聲序列。

散點圖法

估計相關(guān)系數(shù)法F檢驗法卡方檢驗法F檢驗法如果,則拒絕原假設(shè)，即認為ARMA（p，q）與ARMA（p-1，q-1）模型的擬合精度有顯著性差異，降階是不恰當?shù)?。反之，如果，則兩個模型的擬合精度沒有顯著性差異，降階是合理的?？ǚ綑z驗法設(shè)為估計出的殘差序列，其樣本自相關(guān)函數(shù)為：通常用Q統(tǒng)計量檢驗原假設(shè)是否為白噪聲。例5對某商場100天的銷售金額取對數(shù)后進行一階差分得到每日銷售額增長率序列

從信息準則可見，AR（1）模型的信息準則最小，因此初步認定是AR（1）模型。接下來對模型的殘差是否存在相關(guān)性進行檢驗。本章小結(jié)

1．樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)是識別平穩(wěn)時間序列模型的重要方法。由于樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)是隨機變量，因此判斷其是否截尾的方法是通過構(gòu)造統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗。如果滯后假設(shè)干期的樣本自相關(guān)函數(shù)不顯著，而偏自相關(guān)函數(shù)是統(tǒng)計顯著異于零的，則可能是MA模型，反之則可能是AR模型，假設(shè)二者均統(tǒng)計顯著異于零，則可能是ARMA模型。2．模型階數(shù)越高，往往殘差方差越小，但待估參數(shù)增加，有效樣本量隨之也減小，因此在模型定階時需要遵循“約減”原則，即當殘差方差變化不大時，盡量選擇階數(shù)低的模型。此外，AIC，BIC等信息準則考慮了模型殘差與模型階數(shù)之間的權(quán)衡關(guān)系，是重要的模型定階準則。3．對于AR模型，參數(shù)估計比較簡單，可以利用線性最小二乘方法。而MA和ARMA模型的參數(shù)估計相對困難，需要用到非線性最小二乘方法。對于ARMA模型，最小平方和估計和極大似然估計是兩種重要的估計方法，從極大似然估計出發(fā)可以得到最小平方和估計。4．模型檢驗是建立時間序列模型的重要步驟。除了傳統(tǒng)的系數(shù)顯著性檢驗之外，時間序列模型還需要對參數(shù)是否冗余、殘差是否還存在相關(guān)性進行檢驗。只有通過模型檢驗之后，時間序列模型才能最后確定。常用的參數(shù)冗余檢驗有F檢驗，殘差相關(guān)性檢驗有卡方檢驗。5．Box-Jenkins方法是以序列的自相關(guān)函