最新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列匯總

2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)

習(xí)系列

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2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》——高中數(shù)學(xué)選修2-2

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

無論哪個(gè)省市的考題中可以看出，一定會重視對導(dǎo)數(shù)的考察，所以同學(xué)一定將導(dǎo)數(shù)學(xué)細(xì)學(xué)

精！

基礎(chǔ)知識【理解去記】

1．極限定義：(

1)若數(shù)列{un}滿足，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈

N時(shí)，恒有|un-A|<ε成立(A為常數(shù))，則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)的極限，記為limf(x),limf(x)limf(x)

xx，另外xx0 =A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右極

limf(x)

限。類似地xx0 表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。

limlimlim

2．極限的四則運(yùn)算：如果xx0f(x)=a,xx0g(x)=b，那么xx0[f(x)±g(x)]=a±b,

limlimgf((xx))ab(b0).

xx0[f(x)?g(x)]=ab,xx0g(x)b

limlim

3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且xx0f(x)存在，并且xx0f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和

最小值

5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)(Δx充分

limy

小)，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若x0x存在，則稱f(x)在x0處可

dy導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作f'(x0)或y'xx0或dxx0，即f'(x0)limf(x)f(x0)

0xx0 。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)

在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是： f(x)在

點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)f'(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。

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6．【必背】八大常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

1)(c)'=0(c為常數(shù))；

a1

2)(xa)'ax(a為任意常數(shù))；

3)(sinx)'cosx;

(4)(cosx)'sinx;

(5)(ax)'axlna;

(6)(ex)'ex;

1

7)(logax)'xlogax；

(lnx)'18) x

7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則

1)[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)；(2)[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'(x)；(3)

[1]'u'(x)[u(x)]u(x)v'(x)u'(x)v(x)[cu(x)]'cu'(x)(c為常數(shù))；(4)u(x) u2(x)；(5)u(x)

u2(x)

8．

****【必會】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對

點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且(f[(x)])'=f'[(x)]'(x)

9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性：(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；(2)若對

一切x∈(a,b)有f'(x)0，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；(3)若對一切x∈(a,b)有

f'(x)0，則

f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。

10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則f'(x0)0.

11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，(1)若當(dāng)x∈

(x-δ,x0)時(shí)f'(x)0，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)f'(x)0，則f(x)在x0處取得極小值；(2)若當(dāng)x

∈(x0-δ，x0)時(shí)f'(x)0，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)f'(x)0，則f(x)在x0處取得極大值。

12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且f'(x0)0,f''(x0)0。(1)若f''(x0)0，則f(x)在x0處取得極小值；(2)若f''(x0)0，則f(x)在x0處取得極大值。

13．【了解】羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存

在ξ∈(a,b)，使f'()0.

［證明］若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)，f'(x)0.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在［a,b］上連續(xù)，所以f(x)在［a,b］上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，

不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故f'(c)0，綜上得證。

二、基礎(chǔ)例題【必會】

1．極限的求法。

例1求下列極限：(

1)

lim

n

lim

；(2)n1

n

aan(a0)

an ；(3)

lim

n

1

n2

1

n22

1

2

nn

；(4)

limn(n1n

［解］

1)

lim

n

12

22

nn

n(n1)

n

2lim2n=n2n2

lnim12

2

2n

1

2；

2)當(dāng)a>1時(shí)，

n

lnim1aan

limn1

lim

n

1

n

1n

1.

n

lnimann1an當(dāng)0<a<1時(shí)，

liman

n

1liman

n

0.

n

當(dāng)a=1時(shí)，lnim1aan

limn1

n

3)因?yàn)閚2nn21

1

n22

1

n2n

n

n2 1

lim n lim 1

n 2 n

nn2nn11n

1,lim

n

lim1,n

1lim所以n

n2

1

1n22

1

n2n

4)

例2

2)

[解]

m

li

m

li

limn(nn

1n)lim

n

1.

n

1

2

x22)?(1+x2

n

n1n

求下列極限：

lim33

x11x3

lim

(1)n(1+x)(1+x2)(1+

1 x2

lim

1x；(3)x13x1

lim

1)n(1+x)(1+x2)(1+

22 2n

x)?(1+x)

1

(

2

n2

x

1

m

lin

m

li

2

(

)

x

m1

lix

x。

lim

)(|x|<1)；

m

li

lim(x1)(x1)(3x1x)lim(x1)(3x1x)=x12(1x)x12

22.

2．連續(xù)性的討論。

例3設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。

[解]當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，

利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈

[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t-2(x1)(2x)2,x1,2;

2

1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=4(x2)(3x),x2,3.所以

所以

22

limf(x)lim2(x1)(2x)20,limf(x)lim4(x2)(3x)20x2 x2x2x2

lim lim

x2f(x)=2



2f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。

［解］因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為

(x0,y0)，則

x0，切線的斜率為

1

1

1

1

x'|x0 x2

x2(x

x0)

y

2(xx0)

0x0，所以切線方程為

y-y0=x0

，

即 x0

x0 。又因?yàn)榇饲芯€過

11

2

點(diǎn)(2,0)，所以x0 x0

(2x0)

，所以x0=1，

所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-

1

y0

2=0.

4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

5x23xxy

例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=sin(3x+1)；(2) x ；(3)y=ecos2x；

x1

(4)yln(xx1)；(5)y=(1-2x)x(x>0且 2)。

[解](1)y'cos(3x1)(3x1)'3cos(3x+1).

y'

(2)

(5x23x x)'x(5x23xx)(x)'

2x

10x3

5x2

1

2x

x

2x3

cos2xcos2x

3)y'e(cos2x)'ecos2x(sin2x)(2x)'2esin2x.

4)

y'xx21

(xx2

1)'

x211

x21

5)y'[(12x)x]'

[exln(12x)]'

exln(12x)(xln(1

2x))'

x

(12x)xln(12x)

2x

12x

5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。

例6設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。

f'(x)

[解]

1

2x

1(x

xa

0)

，因?yàn)閤>0,a>0，所以f'(x)

x2+(2a-4)x+a2>0；

f'(x)0x2+(2a-4)x+a+<0.

(1)當(dāng)a>1時(shí)，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)a=1時(shí)，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即f'(x)0，所以f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，+∞)內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；(3)當(dāng)0<a<1時(shí)，令f'(x)0，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a-21a或x>2-a+21a，因此，f(x)在(0,2-a-21a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+21a,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-21a<x<2-a+21a時(shí)，x2+(2a-4)x+a2<0，即f'(x)0，所以f(x)在(2-a-21a,2-a+21a)內(nèi)單調(diào)遞減。

6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。

x(0,)

例7設(shè)2，求證：sinx+tanx>2x.

(0,2)時(shí)，

cosx

1

2

cosx

2cosx

1

2

cosx

2

cosx

2

(因?yàn)?<cosx<1)，所以f'(x)=cosx+sec2x-

1

2

2=cosx+cosx

0

.又f(x)在

0,0,

2上連續(xù)，所以f(x)在2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

x∈

[證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則f'(x)=cosx+sec2x-2，

0,2時(shí)，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.

利用導(dǎo)數(shù)討論極值。

例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)

在x1與x2處是取得極大值還是極小值。

［解］因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以

a2

a2b10,a3

f'(x)aa4b10,b1.f'(1)f'(2)0，又f'(x)x+2bx+1，所以2解得6

所以f(x)

212

lnxxx,f'(x)

36

2

3x

1x1

(x1)(2x)

3x

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)0，所以f(x)在(0,1］上遞減；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f'(x)0，所以f(x)在［1，2］上遞增；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)0，所以f(x)在［2，+∞)上遞減。

綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。

例9設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。

[解]首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時(shí)，

sin(1y)x2y1sinx

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x(1y)x(1y)x=(1-

sin(1

y)x

sinx

2y

sinx

sinx

y)2x

(1

y)x

x

(1y)2

x，令g(x)=

x,

cosx(x

tanx)

g'(x)

2

(x),

x

2

x

0,

當(dāng)

2

時(shí)，

因?yàn)?/p>

cosx>0,tanx>x，所以g'(x)

0；

x當(dāng)

2,

時(shí)，

因?yàn)?/p>

cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以g'(x)0；

又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。

sin(1y)xsinx

2

ysinx又因?yàn)?1y)x

又因?yàn)?<(1-y)x<x<π，所以g[(1-y)x]>g(x)，即(1y)x0

，所以當(dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí)，f(x,y)>0.

其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.

當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx≥0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0

三、趨近高考【必懂】

這些高考題取自2009-2010年各個(gè)熱門省市，同學(xué)一定重視，在此基礎(chǔ)上，我會對這些高考

作以刪減，以便同學(xué)在最短時(shí)間內(nèi)理解明白！

1.(2009全國卷Ⅰ理)已知直線y=x+1與曲線yln(xa)相切，則α的值為()

A.1

B.2

C.-1

D.-2

答案B

'1

解:設(shè)切點(diǎn)

P(x0,y0)

，則y0

y'|xx 1

x01,y0ln(x0a),又 xx0x0a

x0a

1y0

0,x0

1a2.故答案選B

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2.(2009安徽卷理)已知函數(shù)f(x)在R上滿足

2

f(x)2f(2x)x28x8，則曲線

yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是

A.y

(

2x

B.yxC.y

3x

2D.y2x3

答案

解析

f(x)

2

2f(2x)x2

8x

8得幾何f(2x)

2

2f(x)(2x)28(2

x)8，

即2f(x)

f(2

x)

x24x4，

f(x)x2∴f/(x)

2x，∴切線方程y

12(x1)，即

2xy1

0選A

3.(2009江西卷文)

若存在過點(diǎn)

(1,0)的直線與曲線y

x3

215

axx

4

9

都相切，則a等

54

26

-

1

214

1

54

26-

74

7

74

答案A

33

解析設(shè)過(1,0)的直線與yx相切于點(diǎn)(x0,x0)，所以切線方程為

32

yx03x0(xx0)

x3

即y3x0x2x0，又(1,0)在切線上，則x00或x02，

x0

0時(shí)，由y

2

0與yax

15

x

4

9a

相切可得

25

64

32727215

x0 yxyaxx9

當(dāng)02時(shí)，由44與4相切可得a1，所以選A.

(2009遼寧卷理)若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x－1)=5,x1+x2＝()

57

A.2B.3C.2D.4

答案C

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解析由題意2x125①

2x22log2(x21)5②

所以2x152x1,x1log2(52x1)

即2x12log2(52x1)

令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)

∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比較得t＝x2

于是2x1＝7－2x2

1

f(x)xlnx(x0),

(2009天津卷理)設(shè)函數(shù) 3則yf(x) ()

1

(,1),(1,e)

A在區(qū)間e內(nèi)均有零點(diǎn)。

1

(,1),(1,e)

B在區(qū)間e內(nèi)均無零點(diǎn)。

C在區(qū)間(1e,1)內(nèi)有零點(diǎn)，

在區(qū)間

(1,e)內(nèi)無零點(diǎn)

(1,1)

D在區(qū)間e內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間

(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)

解析：由題得f`(x)

3x3x，令f`(x)0得x3；令f`(x)0得0x3；

f`(x)0得x3，故知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,)

為增函數(shù)，在點(diǎn)

x

3處有極小值

1

1f(1),fe

e

1

10,f()

1

3

3

e

3e

6.若曲線fx

2ax

Inx存在垂直于

ln30；又

10，故選擇D。

y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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解析由題意該函數(shù)的定義域x0，由

x2ax

1

x。因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線，故此

時(shí)斜率為0，問題轉(zhuǎn)化為x0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)

2ax1

x存在零點(diǎn)。

2ax

解法(分離變量法)上述也可等價(jià)于方程

0在0,內(nèi)有解，顯然可得

1a 2x2

,0

7.(2009陜西卷理)設(shè)曲線ylgxn，則a1a2

xn1(nN*)在點(diǎn)(1，

1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn

令an

a99的值為

答案

-2

點(diǎn)(1，1)在函數(shù)

yxn1的導(dǎo)函數(shù)為y'(n1)x

解析：

1(nN*)的圖像上，

切線是：

1，

令y=0得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)：xn

a1a2...a99lgx1x2...x99

y'|x1n1nn1lg12...98

2399100

1)為切點(diǎn)，

1(n

1)(x1)

99

1lg100

8(2010.全國1文)．設(shè)

f(x)x3

1x22x

2

5

，當(dāng)

2,2]時(shí)，

f(x)m0恒成立，求

實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解析】：

f/(x)

3x2

由f(x)0得3x2

2，由

2

0即3

f/(x)0得3x2

x20，即

x1(

，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是

2

3或x

,2)

,3)，(1,)；

1；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是

23,1)。

。

由f(x)m恒成立，m大于f(x)的最大值。當(dāng)

x[2,2]時(shí)，

(1)當(dāng)x[2,3]時(shí)，

21572

f(x)maxf(2)157x[2,1]

max327；(2)當(dāng) 3時(shí)，

f(x)max

數(shù)，所以

7157

727，從而m

f(x)為增函數(shù)，所以

f(2)157

327；(3)當(dāng)x[1,2]時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)max

f(x)為減函

f(2)7；因?yàn)?/p>

第二章推理與證明

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本章只需重視綜合法、分析法、反證法的特點(diǎn)。及數(shù)學(xué)歸納法的掌握！

一、基礎(chǔ)知識【理解去記】綜合法：“執(zhí)因?qū)Ч狈治龇ā皥?zhí)果導(dǎo)因”反證法:倒著推【不?？肌?/p>

歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊→一般 .

不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法

完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法

數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.

數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù) n0，如果當(dāng)nn0時(shí)，命

題成立，再假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k≥n0)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n01，n02，?，命題都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

1證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；2假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確由1，2可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉

1用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；2證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo).

二、基礎(chǔ)例題【必會】

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

111n

用數(shù)學(xué)歸納法證明：nN時(shí)，1335(2n1)(2n1)2n1點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明，一是要切實(shí)理解原理，二是嚴(yán)格按步驟進(jìn)行，格式要規(guī)范，從n=k到n=k+1時(shí)一定要用歸納假設(shè)，否則不合理。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1

例2.證明n1

n2

3n1

1,(n

N)

點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)n=k+1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用，在證明的過程中，常常利用不等式的傳遞性對式子放縮

建立關(guān)系。同時(shí)在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式里應(yīng)特別注意從n=k到n=k+1過程中項(xiàng)數(shù)的變化量，容易出錯(cuò)

用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n1)71,(nN)能被9整除。

點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后

證明剩下的式子也能被某式(或數(shù))整除，拼湊式關(guān)鍵。

第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識【理解去記】

1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。

2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之

間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面， x軸稱為實(shí)軸，y

軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z

對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=ab.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。

3．共軛與模，若z=a+bi，(a,b∈R),則za-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：

z1

z2

z1

2

z2；(5)

z1 |z1|

1）z1z2z1z2；（2）z1z2z1z2；（3）zz|z|；（4）

|z1||z|

z2

|z1z2||z1||z2|；（6）z2|z2|；（7）||z1|-|z2|≤||z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）

z

|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|；2（9）若|z|=1，則 z。

4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：(1)按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)

算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；(2)按向量形式，加、減法滿足平行四邊

形和三角形法則；(3)按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??

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z1r1

z20,zr

z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若 z2r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記

z1r1ei(12).

為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),z2r2

5.【部分省市考】棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).

n2k 2k

nwr(cosisin)

開方：若wr(cosθ+isinθ)，則n n ，k=0,1,2,?,n-1。

7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡稱單位根，記

22

cosisin2n1

Z1=nn，則全部單位根可表示為1,Z1,Z1,,Z1.單位根的基本性質(zhì)有(這里ZZk

記ZkZ1，k=1,2,?,n-1)：(1)對任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；

0,當(dāng)n|m,

mmm

(2)對任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有1Z1Z2 Zn1=n,當(dāng)n|m,特別1+Z1+Z2+?+Zn-

Z2 Zn1

1=0；(3)xn-1+xn-2+?+x+1=(x-Z1)(x-Z2)?(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-Z1)?(x-Z1).

復(fù)數(shù)相等的充要條件：(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對應(yīng)相等；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等

9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=z;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+z=0(且z≠0).10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。

11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則z=a-bi也是一個(gè)根。

12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)方程的根為bi

x1,2 .

1,22a

二、基礎(chǔ)例題【必會】

1．模的應(yīng)用。

例1求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝16

［證明］若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(z+1)=(z-1)(z-1)，化簡得z+z=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。

例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。

［解］因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)

=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。

所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。

所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.

復(fù)數(shù)相等。

例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條件。

x2x10

［解］若方程有實(shí)根，則方程組xx0有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ<0無實(shí)根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時(shí)，方程無實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為λ≠2。

3．三角形式的應(yīng)用。

例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？

［解］由題設(shè)得

[cos()isin()]ncosn()isin()cos(n)isin(n)

222222，所以

n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。

4．******【?？肌慷?xiàng)式定理的應(yīng)用

例5計(jì)算：

1)C1000

C1400

C100

C100；

C99

C100

[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100=

0

100

C1100i

C1200i2

9999

C100i

100i100

100i

(C1000C1200C1400

C100

C100

)+(

135

C100C100C100

C99

C100

)i，比較實(shí)部和虛部，得

C1000

C1400

C100

C100

=-250，

C100C100C100

C99

C100=0。

5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義

例6以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)

［證明］設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則

B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,CAz1a,BAz1a，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：CNz3ai(z1a)，①BMz2ai(z1a)，②由①+②得z2z3

aiz2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2 ,為定值，所以MN

的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。

例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

［證明］用A，B，C，D表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).

BABCArg()Arg()所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng) DACD，即

DABC

Arg()Arg()

BADC=π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。

6．復(fù)數(shù)與軌跡。

例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。

［解］設(shè)外心M對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗

是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程

24x26(y4).為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得 3

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所以ΔABC的外心軌跡是軌物線

7．復(fù)數(shù)與三角。

例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。

z1+z2+z3=0。所以z1z2z3

［證明］令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則

z1z2z30.又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.

z zi

所以zi?zi=1，即

1

zi

由z1+z2+z3=0得x1x2x32z1z22z2z3

2z3z1

0.

z1z2又

z3z2z3z1

z1z2z3

1

z1

1

z2

1

z3

z1z2z3(z1z2z3)0.

222所以z1z2z30

所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.

所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。

例10求和：S=cos200+2cos400+?+18cos18×200.

［解］令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+?+18sin18×200,則

S+iP=w+2w2+?+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+?+17w18+18w19，②由①-②得(1-

w(1w18)w)(S+iP)=w+w2+?+w18-18w19=1w

19

18w19

18w

所以S+iP=1w

22

，所以

8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式

例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+?+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).

求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.

［證明］記c0zn+c1zn-1+?+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,?,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0，令z=0得-c0ei

θ=(-1)nz1z2?znc0，取模得|z1z2?zn|=1。所以z1,z2,?，zn中必有一個(gè)zi使得|zi|≤1,從而

f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.

單位根的應(yīng)用。

例12證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2?An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

［證明］取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對應(yīng)復(fù)

數(shù)設(shè)為

en

則頂點(diǎn)A2A3?An對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，

3，

n.設(shè)點(diǎn)p對應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,

nn

2k2|pAk|2 |zk|2

且=2n-k1 k1

(z

k1

k)(z

k)

(2

k1

z)

n

k

z

=2n-k1

nk

k1

nn

2nzkzk2n.

k1k1命題得證

10．復(fù)數(shù)與幾何

例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角

頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

［證明］以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及

CiB

Q

復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取1i，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三

DQi(AQ)

角形；又由C-Q=i(B-Q)得i i ，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角

形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。

例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,?,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,?,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。

i

3

［證明］令u=e3，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,

p2=(1+u)A2-up1,

p3=(1+u)A3-up2,

①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=(A2-A1)u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。

三、趨近高考【必懂】

n

1.（2009年廣東卷文）下列n的取值中，使i=1（i是虛數(shù)單位）的是 （）

A.n=2B.n=3C.n=4 D.n=5

4

【解析】因?yàn)閕41,故選C.

答案C

2.（2009廣東卷理）設(shè)z是復(fù)數(shù)，a（z）表示滿足zn1的最小正整數(shù)n，則對虛數(shù)單位i，