圓錐曲線的方程（復(fù)習(xí)課件） 高二數(shù)學(xué) （人教A版2019選修第一冊）

第3

章圓錐曲線的方程人教A版2019選修第一冊單元復(fù)習(xí)01圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程02圓錐曲線的幾何性質(zhì)03直線與圓錐曲線的位置關(guān)系目錄04圓錐曲線的綜合問題橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程相同點焦點位置的判斷不同點圖形焦點坐標(biāo)定義a、b、c

的關(guān)系分母哪個大，焦點就在相應(yīng)的軸上.平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡.xyF1F2POxyF2F1POa2-c2=b2對橢圓定義的理解

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和（2a）等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距。當(dāng)2a=|F1F2|時，其軌跡為線段；當(dāng)2a<|F1F2|時，其軌跡不存在.焦點位置x軸y軸方程圖形范圍對稱性頂點離心率橢圓的簡單幾何性質(zhì)：F1F2M??xyOB2B1A1A2F1F2M??xyOB2B1A1A2

雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)雙曲線定義a、b、c

的關(guān)系平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡．記憶口訣：化成標(biāo)準(zhǔn)形式，焦點跟著正項走

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（2a）（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距。對雙曲線定義的理解當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a時，僅表示雙曲線的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時，其軌跡為兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時，其軌跡不存在.當(dāng)2a=0時，其軌跡為線段F1F2的中垂線.圖象范圍對稱性頂點漸近線離心率或或關(guān)于坐標(biāo)軸和原點都對稱雙曲線的簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸和原點都對稱圖像

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦

通徑y(tǒng)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱

(0,0)拋物線的簡單幾何性質(zhì)一、圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.求圓錐曲線方程的常用方法(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：動點滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量.(3)代入法：動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的.如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程.(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù).2.求圓錐曲線方程體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).例1

(1)已知動點M的坐標(biāo)滿足方程

＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線 D.以上都不對√∴動點M到原點的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等.∴點M的軌跡是以原點為焦點，直線3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則點P的坐標(biāo)為(x，2y).因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，方法二

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)是(x0，y0)，把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，(1)應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件.(2)涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決.(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決.歸納總結(jié)二、圓錐曲線的幾何性質(zhì)1.本類問題主要有兩種考查類型：(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì)，其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點.(2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程，基本方法是待定系數(shù)法，其步驟可以概括為“先定位、后定量”.2.圓錐曲線的性質(zhì)的討論和應(yīng)用充分體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).例2

(1)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：

＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是√因為四邊形AF1BF2為矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，解析設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2，求解離心率的三種方法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝

，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法.(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法.(3)幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀.歸納總結(jié)三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式.2.借用直線與圓錐曲線問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).(1)求橢圓的方程；解由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以通過代數(shù)法判斷.(2)一元二次方程的判別式Δ、弦長公式是代數(shù)法解決問題的常用工具.歸納總結(jié)1.圓錐曲線的綜合問題包括位置關(guān)系證明及定值、最值問題，解決的基本思路是利用代數(shù)法，通過直線與圓錐曲線的方程求解.2.圓錐曲線的綜合問題的解決培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).四、圓錐曲線的綜合問題例4已知拋物線C：y2＝2px(p>0)經(jīng)過點P(2,2)，A，B是拋物線C上異于點O的不同的兩點，其中O為原點.(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；解由拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點P(2，2)知4p＝4，解得p＝1.則拋物線C的方程為y2＝2x.解由題意知，直線AB不與y軸垂直，設(shè)直線AB：x＝ty＋a，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.所以－2a＝－4，解得a＝2.所以直線AB：x＝ty＋2.所以直線AB過定點(2,0).(2)若OA⊥OB，求△AOB面積的最小值.當(dāng)且僅當(dāng)y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2時，等號成立.所以△AOB面積的最小值為4.(1)解決最值問題常見的題型，可用建立目標(biāo)函數(shù)的方法求解.(2)圓錐曲線的綜合問題可以從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想，通過聯(lián)想與類比，使問題獲解.歸納總結(jié)隨堂檢測5.(2019·全國Ⅱ高考)已知F1,F2是橢圓C: