高等數(shù)學(xué) 平面及其方程

§7．7平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角法線向量、平面的點(diǎn)法式方程特殊的平面、平面的一般方程、截距式方程兩平面的夾角、兩平面夾角的余弦兩平面平行與垂直的條件點(diǎn)到平面的距離公式1編輯ppt一、平面的點(diǎn)法式方程法線向量：

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．或者叫法矢xyzOn2編輯ppt唯一確定平面的條件：

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量．xyzOM0

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的平面有無窮個(gè)．一、平面的點(diǎn)法式方程法線向量：3編輯ppt唯一確定平面的條件：法線向量：

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量．xyzOM0

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的平面有無窮個(gè)．一、平面的點(diǎn)法式方程4編輯ppt唯一確定平面的條件：一、平面的點(diǎn)法式方程法線向量：

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量．xyzOM0

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的平面有無窮個(gè)．5編輯ppt唯一確定平面的條件：一、平面的點(diǎn)法式方程法線向量：

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量．xyzOM0

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)并有確定法向量{A，B，C}的平面只有一個(gè)．

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的平面有無窮個(gè)．n6編輯ppt唯一確定平面的條件：一、平面的點(diǎn)法式方程法線向量：

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量．xyzOM0

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)并有確定法向量{A，B，C}的平面只有一個(gè)．

過一定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的平面有無窮個(gè)．n7編輯ppt平面方程的建立：設(shè)M(x，y，z)是平面上的任一點(diǎn)．必與平面的法線向量n

垂直，

設(shè)M0(x0，y0，z0)為平面上一點(diǎn)，n{A，B，C}一個(gè)法線向量．為平面的即它們的數(shù)量積等于零：由于n{A，B，C}，所以

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0．這就是平面的方程．此方程叫做平面的點(diǎn)法式方程．xyzOM0Mn8編輯ppt即x2y3z80．

例1

求過點(diǎn)(2，3，0)且以n{1，2，3}為法線向量的平面的方程．

解根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程為(x2)2(y3)3z0，9編輯ppt

解先求出這平面的法線向量n

．

例2

求過三點(diǎn)M1(2，1，4)、M2(1，3，2)和M3(0，2，3)的平面的方程．xyzOM1M2M3可取

n10編輯ppt根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程為14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150．14i9jk，

解先求出這平面的法線向量n

．

例2

求過三點(diǎn)M1(2，1，4)、M2(1，3，2)和M3(0，2，3)的平面的方程．可取11編輯ppt方法二：設(shè)平面方程為A（x-2）+B（y+1）+C（Z-4）=0點(diǎn)M2、M3滿足方程，代入方程：解之得：因此有：12編輯ppt二、平面的一般方程所以任一三元一次方程A

xB

yC

zD0的圖形總是一個(gè)平面．

任一平面都可以用它上面的一點(diǎn)(x0，y0，z0)及它的法線向量方程的一組數(shù)x0，y0，z0，即A

x0

B

y0C

z0D0．

反過來，設(shè)有三元一次方程A

xB

yC

zD0．任取滿足該由于方程A

xB

yC

zD0與方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解，n{A，B，C}來確定，平面的點(diǎn)法式方程是三元一次方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0．則有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，這是平面的點(diǎn)法式方程．方程A

xB

yC

zD0稱為平面的一般方程．平面的法線向量為n{A，B，C}．13編輯ppt

考察下列特殊的平面，指出法線向量與坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的關(guān)系，平面與坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的關(guān)系，平面通過的特殊點(diǎn)或線．

例如，方程3x4yz90表示一個(gè)平面，n{3，4，1}是這平面的一個(gè)法線向量．討論：D=0：A

xB

yC

z0．A=0：B

yC

zD0．B=0：A

xC

zD0．C=0：A

xB

y

D0．A=B=0：C

zD0．B=C=0：A

xD0．A=C=0：B

y

D0．14編輯ppt將其代入所設(shè)方程并除以B(B

0)，便得所求的平面方程為y3z0．

例3

求通過x軸和點(diǎn)(4，3，1)的平面的方程．

解由于平面通過x軸，從而它的法線向量垂直于x軸，于是法線向量在x軸上的投影為零，即A0．

又由于平面通過x軸，它必通過原點(diǎn)，于是D0．

因此可設(shè)這平面的方程為ByCz0．

又因?yàn)檫@平面通過點(diǎn)(4，3，1)，所以有3BC0，或C3B．15編輯ppt

例4

設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)，求這平面的方程(其中a

0，b

0，c

0)．xyzOP(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)n16編輯ppt

解設(shè)所求平面的方程為A

x

B

yC

zD0．因P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)都在這平面上，所以點(diǎn)P、Q、R的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程；即有解得將其代入所設(shè)方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程為此方程稱為截距式方程．而a,b,c依次叫做

例4

設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)，求這平面的方程(其中a

0，b

0，c

0)．平面在x,y,z軸上的截距17編輯ppt1三、兩平面的夾角兩平面的夾角：

兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的平角．)q2)qn2n118編輯ppt來確定．

設(shè)平面

1和

2的法線向量分別為n1{A1，B1，C1}，n2{A2，B2，C2}．那么平面

1和

2的夾角應(yīng)是(n1,^n2)和(-n1,^n2)=p-(n1,^n2)兩者中的銳角，因此，cos

|cos(n1,^n2)|．按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，平面

1和

2的夾角可由cos

19編輯ppt

從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：（1）平面

1和

2互相垂直當(dāng)且僅當(dāng)A1A2B1B2C1C20；（2）平面

1和

2互相平行或重合當(dāng)且僅當(dāng)20編輯ppt

例5

求兩平面xy2z60和2xyz50的夾角．

解n1{A1，B1，C1}{1，1，2}，n2{A2，B2，C2}{2，1，1}，cos

21編輯ppt

例6

一平面通過兩點(diǎn)M1(1，1，1)和M2(0，1，1)且垂直于平面xyz0，求它的方程．

解設(shè)所求平面的法線向量為n{A，B，C}．{1，0，2}．已知另一平面的法線向量為所以可取2i

jk

，從而所求平面方程為2(x1)(y1)(z1)0，即2xyz0．n1{1，1，1}．由已知條件，有n

，n

n1

．n=n122編輯ppt

設(shè)P0(x0，y0，z0)是平面A

x

B

yC

zD0外一點(diǎn)，求P0到這平面的距離．點(diǎn)到平面的距離：

在平面上任取一點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，并作一法線向量n

，則