2022-2023學(xué)年浙大附中玉泉、丁蘭高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙大附中玉泉、丁蘭高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合,，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式化簡(jiǎn)，再根據(jù)交集的概念可求出結(jié)果.【詳解】由，得，所以，因?yàn)?，所?故選：C2．設(shè)命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；②與③與；④與A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】B【分析】解：根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，來(lái)判斷它們是同一函數(shù)即可.【詳解】解：對(duì)于①函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋x域不同，故不是同一函數(shù)；對(duì)于②函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，且兩函?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，故為同一函數(shù)；對(duì)于③函數(shù)的定義域滿足，則定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)闈M足或，則定義域?yàn)椋x域不同，故不是同一函數(shù)；對(duì)于④函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，且兩函?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，故為同一函數(shù).故選：B.4．下列四個(gè)函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及函數(shù)在上單調(diào)遞減，逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于A，，，，所以為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符題意；對(duì)于B，，定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，不符題意；對(duì)于C，，，，所以為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符題意；對(duì)于D，，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，符合題意．故選：D．5．命題“，”是命題“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)分析判斷.【詳解】若，，則，，∴.若，則，，或，.當(dāng)，時(shí)，，.所以命題“，”是命題“”的充分不必要條件.故選：A.6．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系下中的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由拋物線開(kāi)口向下，可得，可排除A，C，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)得，可知過(guò)原點(diǎn)可排除B，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)開(kāi)口向下，所以，所以的圖象必在二四象限，可排除選項(xiàng)A，C因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以即過(guò)點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)D正確；故選：D.7．若不等式對(duì)一切都成立，則a的最大值為（

）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由不等式分離參數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的最大值.【詳解】依題意，不等式對(duì)一切都成立，即對(duì)一切都成立，令，任取，，由于，所以，所以在區(qū)間上遞減，，所以，所以的最大值為.故選：D8．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當(dāng)時(shí)，，則不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，，至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上，實(shí)數(shù)的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.二、多選題9．設(shè)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)求解；BD選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，作差法比較大小.【詳解】因?yàn)?，為分母，所以，由不等式的基本性質(zhì)可知：，A正確；不妨設(shè)，滿足，但，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，且恒成立，所以，故，C正確；當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在區(qū)間，使得，則稱(chēng)區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列說(shuō)法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”B．是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”C．是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”D．是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”【答案】BC【分析】利用“和諧區(qū)間”的定義，逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知不等式的解集為，則（

）A． B．C．的解集為 D．【答案】ACD【分析】利用二次不等式的解集與方程之間的關(guān)系可判斷ABC選項(xiàng)；利用二次不等式的解法可判斷C選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則，A對(duì)；且、是關(guān)于的二次方程的兩根，則，所以，，，則，B錯(cuò)；不等式即為，即，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ACD.12．若實(shí)數(shù)，，滿足，以下選項(xiàng)中正確的有（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】BCD【分析】直接利用均值不等式判斷A；根據(jù)“1”的代換的方法判斷B；整理為，利用“1”的代換的方法判斷C；對(duì)作平方處理，結(jié)合均值不等式判斷D.【詳解】實(shí)數(shù)，，，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)B正確；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD三、填空題13．______．【答案】8【分析】根據(jù)給定條件化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪求解作答.【詳解】.故答案為：814．冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】-1【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)知，得或.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，∴.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，屬于中檔題.15．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】由題意可得，解不等式組即可得出答案.【詳解】由題意得,即，解得：．所以的取值范圍為.故答案為：.16．已知函數(shù)，有下列結(jié)論：①，等式恒成立；②，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；③、，若，則一定有；④存在無(wú)數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn).則其中正確結(jié)論序號(hào)為_(kāi)_____.【答案】①③④【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，可判斷①的正誤；取可判斷②的正誤；判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③的正誤；數(shù)形結(jié)合可判斷④的正誤.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則有，可得，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，、，若，則一定有，③對(duì)；對(duì)于④，令，即，則為函數(shù)在上的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則有，令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在無(wú)數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，④對(duì).故答案為：①③④.四、解答題17．若集合，集合(1)若，求．(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)集合并集的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)集合交集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因此；?）因?yàn)?，所以，因此有，所以?shí)數(shù)m的取值范圍為.18．已知關(guān)于x不等式的解集為M．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若M不為空集，求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列不等式求解，（2）由題意得的取值范圍，再分離常數(shù)后求解值域，【詳解】（1）若，則，即，解得，故m的取值范圍是，（2）若M不為空集，則，解得或，而，而，，故即的值域?yàn)?9．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(2)解不等式．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義判斷、證明即可得出結(jié)論；（2）由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、定義域可的關(guān)于的不等式組，即可解得的取值范圍.【詳解】（1）解：函數(shù)為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，理由如下：奇偶性：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)；單調(diào)性：任取、且，則，則，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).（2）解：由可得，所以，，解得，所以，不等式的解集為.20．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的解集為，其中，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集確定一元二次方程的根，結(jié)合韋達(dá)定理列方程求解實(shí)數(shù)a，b的值即可；（2）化簡(jiǎn)不等式，由再分類(lèi)討論求不等式的解集即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，的解集為，則1，是方程的解，且，則有，解得：，；（2）解：不等式，即，則有，其中，①當(dāng)時(shí)，不等式為，則不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式為，則不等式的解集為，③當(dāng)時(shí)，則，不等式的解集為或，④當(dāng)時(shí)，則，不等式的解集為．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．21．某店國(guó)慶期間對(duì)某新上市商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，已知a（萬(wàn)件）該商品的進(jìn)價(jià)成本總共為（萬(wàn)元），每件商品的售價(jià)定為元．開(kāi)展該促銷(xiāo)活動(dòng)需要一筆促銷(xiāo)費(fèi)用，該商品的銷(xiāo)售量由促銷(xiāo)費(fèi)用決定，經(jīng)測(cè)算該商品的銷(xiāo)售量a（萬(wàn)件）與促銷(xiāo)費(fèi)用x（萬(wàn)元）滿足以下關(guān)系：．(1)將該商品的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x（萬(wàn)元）的函數(shù)；(2)促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，商家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【答案】(1)(2)促銷(xiāo)費(fèi)用投入10萬(wàn)元時(shí)，商家的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為960萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)銷(xiāo)售額產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．【詳解】（1）解：由于，則則該商品的利潤(rùn)（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為960（萬(wàn)元），促銷(xiāo)費(fèi)用投入10萬(wàn)元時(shí)，商家的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為960萬(wàn)元．22．已知，函數(shù)．(1)當(dāng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（不需要證明）；(2)記在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式；(3)對(duì)（2）中的，當(dāng)，時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的形式，可直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）分、兩種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得出的表達(dá)式；（3）令，分、兩種情況討論，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由題意可知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)