多重損失模型

第八章多重損失模型本章結構多重損失模型簡介多重損失殘存組確定多重損失表的構造本章中英文單詞對照多重損失模型隨機殘存組確定性殘存組絕對損失率MultipledecrementmodelsRandomsurvivorshipgroupDeterministicsurvivorshipgroupAbsoluterateofdecrement第一節(jié)多重損失模型簡介使用背景如果被保險人投保壽險且在繳費期間死亡，那就意味著他將獲得保險賠付而且不再繳納保險費了。就此人而言，保險人遭受到了損失。在前面七章中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時，各種保險要素的確定。在實際中，除了死亡這個損失變量，我們可能還會遇到其它的提前終止繳費的損失變量，比如，壽險中，被保險人退保；勞動力計劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會對單一考慮死亡因素時的繳納——賠付之間的平衡構成影響。多重損失模型就是在這種背景下產生的。

一、多損失模型的構造兩變量模型

多種損失模型的實質就是一個兩變量模型。變量一是狀況終止的時間，在壽險場合它可以表示為剩余壽命；變量二是狀況終止的原因，這是一個離散隨機變量，比如在壽險場合，我們可以令表示死亡，，表示退保。

相關函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)邊際分布函數(shù)事件的概率多重損失函數(shù)（一）

由原因j引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率

由原因j引起的損失發(fā)生的概率

多重損失函數(shù)（二）的密度函數(shù)的分布函數(shù)

多重損失函數(shù)（三）由各種原因引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率

損失不會發(fā)生在時間t之前的概率

多重損失函數(shù)（四）x+t時刻由原因j造成的損失效力

x+t時刻由所有原因造成的總損失效力

多重損失函數(shù)（五）給定損失時間t，J的條件概率函數(shù)

例8.1考慮2個損失原因的多重損失模型，其損失效力分別為：計算該模型的聯(lián)合、邊際、條件概率密度函數(shù)。計算例8.1答案（一）例8.1答案例8.1答案第二節(jié)殘存組的確定隨機殘存組定義考察一組a歲的個生命，每一個生命的終止（損失）時間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數(shù)確定：隨機殘存組函數(shù)：在年齡

x與x+n之間因原因j而離開的成員的期望個數(shù)

：在年齡

x與x+n之間因各種原因而總共離開的成員的期望個數(shù)

隨機殘存組函數(shù)：原先個a歲成員在x歲時的殘存數(shù)隨機變量的期望確定性殘存組的定義總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數(shù)。則一組個a歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力演變，則原先個歲成員在歲時的殘存數(shù)為

確定性殘存組函數(shù)：在年齡

x與x+n之間因各種原因而離開的成員數(shù)

：現(xiàn)在x歲，將來因為原因j而終結的個體數(shù)確定性殘存組函數(shù)：因原因j而引起的損失效力：各種原因引起的總損失效力第三節(jié)損失表的構造絕對損失率單重損失函數(shù)定義稱為絕對損失率，是指原因j在的決定過程中不與其它損失原因競爭。它也稱為凈損失率（netprobabilitiesofdecrement）或獨立損失率(independentrateofdecrement)。基本關系常數(shù)損失效力假定假定條件等價推出關系式均勻分布假定假定條件等價推出關系式由單重損失函數(shù)推導多重損失函數(shù)多重損失表構造示例年齡單重損失表多重損失表…………650.02……0.040.019……0.039660.025……0.060.024……0.059多重損失表構