河南理工大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件-第7章參數(shù)估計

第七章參數(shù)估計第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第二節(jié)基于截尾樣本的最大似然估計第三節(jié)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)第四節(jié)區(qū)間估計第五節(jié)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計第六節(jié)分布參數(shù)的區(qū)間估計第七節(jié)單側(cè)置信區(qū)間河南理工大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第七章參數(shù)估計理解總體、個體、簡單隨機樣本和統(tǒng)計量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算。了解卡方分布、t分布和F分布的定義及性質(zhì)，了解分布分位數(shù)的概念并會查表計算。了解正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計量的分布。理解點估計的概念。掌握矩估計法和極大似然估計法。了解估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)（無偏性、有效性、一致性）。理解區(qū)間估計的概念。會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。了解兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。第七章參數(shù)估計第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、總體與個體二、樣本與簡單隨機抽樣三、統(tǒng)計量四、正態(tài)總體的常用樣本函數(shù)的分布五、概率分布的分位點數(shù)理統(tǒng)計與概率論一樣也是從量的側(cè)面研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科。但兩者研究方向、方法有很大的差別。數(shù)理統(tǒng)計所研究的問題概率論與數(shù)理統(tǒng)計的關(guān)系

數(shù)理統(tǒng)計以概率論為基礎(chǔ)概率論中對隨機現(xiàn)象所作的假設(shè)又常常由數(shù)理統(tǒng)計去確定。

數(shù)理統(tǒng)計研究內(nèi)容

抽樣方法

數(shù)理統(tǒng)計參數(shù)估計統(tǒng)計推斷假設(shè)檢驗方差分析及回歸分析

數(shù)理統(tǒng)計是運用概率論的知識，研究如何有效地對帶有隨機性影響的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、分析和推斷的學(xué)科，由于隨機性現(xiàn)象廣泛存在于工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會科學(xué)等領(lǐng)域中，因此數(shù)理統(tǒng)計有著最廣泛的應(yīng)用。數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容很多，本課程主要介紹參數(shù)估計、假設(shè)檢驗中的基本內(nèi)容。一、總體與個體在數(shù)理統(tǒng)計中，我們將研究對象的全體稱為總體或母體，而把組成總體的每個元素稱為個體。例如研究一批燈泡的平均壽命時，該批燈泡的全體構(gòu)成了研究的總體，其中每個燈泡就是個體。在實際問題中，研究對象往往是很具體的事物或現(xiàn)象，而我們所關(guān)心的不是每一個個體的種種具體的特征，而是其中某項或某幾項數(shù)量指標(biāo)，記為X。在上例中，X即指該批燈泡的壽命。對不同的個體，X的取值一般是不同的。例如在試驗中觀察若干個個體就會得到X的一種數(shù)值，但在試驗或觀察之前，無法確定會得到一組什么樣的數(shù)值，所以X是一個隨機變量或隨機向量，而X的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體的分布。為方便起見，以后我們將X的可能取值的全體組成的集合稱為總體，或直接稱X為總體，X的分布也就是總體的分布。總體分布一般是全部或部分未知的，為了研究總體X的分布規(guī)律，我們需要對總體X進(jìn)行若干次觀察。由觀察得到總體指標(biāo)的一組數(shù)值(X1,X2,...,Xn)，其中Xi為第i次觀察結(jié)果，并稱(X1,X2,...,Xn)為總體X的一組容量為n的樣本觀察值，樣本觀察值是對總體分布進(jìn)行分析、推斷的基礎(chǔ)。二、樣本與簡單隨機抽樣這種從總體中隨機地抽出若干個個體進(jìn)行觀察或?qū)嶒灒Q為隨機抽樣觀察，從總體中抽出的若干個個體稱為樣本，一般記為(X1,X2,...,Xn)，而一次具體的觀察結(jié)果是完全確定的一組數(shù)值（x1,x2,…,xn），但它又隨著每次抽樣觀察而改變。因此，容量為n的樣本（X1,X2,…,Xn）是n維隨機向量，而具體的觀察值（x1,x2,…,xn）是隨機變量（X1,X2,…,Xn）的一個樣本觀察值。樣本（X1,X2,…,Xn）所有可能取值的全體稱為樣本空間，而樣本觀察值（x1,x2,…,xn）是樣本空間中的一個樣本點。隨機抽樣的目的是為了對總體X的分布進(jìn)行各種分析推斷，所以要求抽取的樣本能很好地反映總體的特性，為此我們要求隨機抽取的樣本（X1,X2,…,Xn）滿足：（1）具有代表性。即樣本的每個分量Xi與X有相同的分布；（2）具有獨立性。即X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量，也就是說，n次觀察值之間是互相獨立的；滿足上述兩條的樣本稱為簡單隨機樣本，今后如無特別說明，所說的樣本均指簡單隨機樣本。由定義得:若X1,X2,...,Xn為F的一個樣本,則X1,X2,...,Xn相互獨立,且它們的分布函數(shù)都是F,所以(X1,X2,...,Xn)的分布函數(shù)為又若X具有概率密度f,則(X1,X2,...,Xn)的概率密度為樣本是我們進(jìn)行分析和推斷的起點，但實際上我們往往并不直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來。為此我們引進(jìn)統(tǒng)計量的概念。三、統(tǒng)計量定義

設(shè)X1,X2,...,Xn是來自總體X的一個樣本,g(X1,X2,...,Xn)是X1,X2,...,Xn的函數(shù),若g中不含未知參數(shù),則g(X1,X2,...,Xn)稱是一統(tǒng)計量.

因為X1,X2,...,Xn都是隨機變量,而統(tǒng)計量g(X1,X2,...,Xn)是隨機變量的函數(shù),因此統(tǒng)計量是一個隨機變量.設(shè)x1,x2,...,xn是相應(yīng)于樣本的樣本值,則稱g(x1,x2,...,xn)是g(X1,X2,...,Xn)的觀察值.幾個常用的統(tǒng)計量:

樣本平均值:樣本方差:樣本標(biāo)準(zhǔn)差:樣本k階(原點)矩:樣本k階中心矩:它們的觀察值分別為這些觀察值仍分別稱為樣本均值,樣本方差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本k階(原點)矩以及樣本k階中心矩.理論上，若總體的分布已知，統(tǒng)計量的分布總是確定的。但對一般的總體分布，統(tǒng)計量的分布計算往往很復(fù)雜，甚至不能求出。這里我們考慮正態(tài)總體分布的抽樣分布。一方面是因為其抽樣分布較容易求出，另一方面是正態(tài)分布可以作為很多統(tǒng)計問題中總體分布的近似。四、正態(tài)總體的常用樣本函數(shù)的分布設(shè)總體X(不管服從什么分布,只要均值和方差存在)的均值為m,方差為s2,X1,X2,...,Xn是來自四、c2分布,t分布,F分布

設(shè)隨機變量X具有概率密度fX(x),-<x<,求Y=X2的概率密度.1.c2分布解分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).由于Y=X20,故當(dāng)y0時FY(y)=0.當(dāng)y>0時有例1將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),即得Y的概率密度為例如設(shè)X~N(0,1),其概率密度為則Y=X2的概率密度為此時稱Y服從自由度為1的c2分布.定義1

設(shè)X1,X2,...,Xn是相互獨立的隨機變量，且~N(0,1)則稱隨機變量服從自由度為n的c2分布,記為c2~c2(n).此處,自由度是指(2.1)式右端包含的獨立變量的個數(shù).

c2(n)分布的概率密度為

f(x)的圖形如下:c2分布的可加性

設(shè)c12~c2(n1),c22~c2(n2),并且c12,c22獨立,則有

c12+c22~c2(n1+n2).2.t分布

定義2

設(shè)X~N(0,1),Y~c2(n),且X,Y獨立,則稱隨機變量服從自由度為n的t分布,記為T~t(n).t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布,t(n)分布的概率密度函數(shù)為

f(t)的圖形為3.F分布

定義3設(shè)U~c2(n1),V~c2(n2),且U,V獨立,則稱隨機變量服從自由度為(n1,n2)的F分布,記為F~F(n1,n2).F分布的概率密度為f(x)的圖形(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O由定義可知,若F~F(n1,n2),則定理一

設(shè)X1,X2,...,Xn是來自總體N(m,s2)的樣本,`X是樣本均值,則有

定理二設(shè)X1,X2,...,Xn是來自總體N(m,s2)的樣本,`X和S2是樣本均值和樣本方差,則有定理三設(shè)X1,X2,...,Xn是來自總體N(m,s2)的樣本,`X和S2是樣本均值和樣本方差,則有證由定理一,定理二且兩者獨立,由t分布定義知定理四則有證

(1)由定理二由假設(shè)S12,S22獨立,則由F分布的定義知易知則按t分布的定義可知五、概率分布的分位點定義3

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),對給定的(0<<1),稱滿足條件的實數(shù)為X的上分位點.定義4

稱滿足的值，為X的概率分布的雙側(cè)分位點。定義1

設(shè)X1,X2,...,Xn是相互獨立的隨機變量，且~N(0,1)則稱隨機變量服從自由度為n的c2分布,記為c2~c2(n).此處,自由度是指(2.1)式右端包含的獨立變量的個數(shù).

c2(n)分布的概率密度為1、c2分布

f(x)的圖形如下:c2分布的可加性

設(shè)c12~c2(n1),c22~c2(n2),并且c12,c22獨立,則有

c12+c22~c2(n1+n2).c2分布的分位點

對于給定的正數(shù)a,0<a<1,稱滿足aca2(n)6.262

幻燈片37附表4-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912分布表6.262=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表27.4882.t分布

定義2

設(shè)X~N(0,1),Y~c2(n),且X,Y獨立,則稱隨機變量服從自由度為n的t分布,記為T~t(n).t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布,t(n)分布的概率密度函數(shù)為

f(t)的圖形為t分布的分位點

對于給定的a,0<a<1,稱滿足條件的點ta(n)為t(n)分布的上a分位點ta(n)a由t分布上a分位點的定義及f(t)圖形的對稱性知

t1-a(n)=-ta(n)

t分布的上a分位點可自附表3查得,在n>45時,對于常用的a的值,就用正態(tài)近似:

ta(n)za. 2.1315

附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.13153.F分布

定義3設(shè)U~c2(n1),V~c2(n2),且U,V獨立,則稱隨機變量服從自由度為(n1,n2)的F分布,記為F~F(n1,n2).F分布的概率密度為f(x)的圖形(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O由定義可知,若F~F(n1,n2),則F分布的分位點對于給定的a,0<a<1,稱滿足條件的點Fa(n1,n2)為F(n1,n2)分布的上a分位點,此分位點有表格可查(見附表5).在Excel軟件中的函數(shù)FINV可以查出F分布的分布函數(shù)逆函數(shù),也就容易查出上a分位點.F-分布的上a分布的示意圖OFa(n1,n2)a若F~F(n1,n2),按定義由(1),(2)式可得F分布的上a分位點滿足:上式常用來求F分布表中未列出的常用的上a分位點,例如4.90

分布表附表5-1分布表

1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.018.818.077.577.216.946.726.556.416.306.206.126.045.955.92799.539.0016.0410.658.437.266.546.065.715.465.265.104.974.864.774.694.624.564.51864.239.1715.449.987.766.605.895.425.084.834.634.474.354.244.154.084.013.953.90899.639.2515.109.607.396.235.525.504.724.474.284.124.003.893.803.733.663.613.56921.839.3014.889.367.155.995.294.824.484.244.043.893.773.663.583.503.443.383.33937.139.3314.739.206.985.825.124.654.234.073.883.733.603.503.413.343.283.223.17948.239.3614.629.076.855.704.994.534.203.953.763.613.483.383.293.223.163.103.05956.739.3714.548.986.765.604.904.434.103.853.663.513.393.293.203.123.063.012.96963.339.3914.478.906.685.524.824.364.033.783.593.443.313.213.123.052.982.932.88968.639.4014.428.846.625.464.764.303.963.723.533.373.253.153.062.992.922.872.82976.739.4114.348.756.525.374.674.203.873.623.433.283.153.052.962.892.822.772.72984.939.4314.258.666.435.274.574.103.773.523.333.183.052.952.862.792.722.672.62993.139.4514.178.566.335.174.474.003.673.423.233.072.952.842.762.682.622.562.51997.239.4614.128.516.285.124.423.593.613.373.173.022.892.792.702.632.562.502.45100139.4614.088.466.235.074.363.893.563.313.122.962.842.732.642.572.502.442.39100639.4714.048.416.185.014.313.843.513.263.062.912.782.672.592.512.442.382.33101439.4913.958.316.074.904.203.733.393.142.942.792.662.552.462.382.322.262.20101839.5013.908.266.024.854.143.673.333.082.882.722.602.492.402.322.252.192.134.90

1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.137.716.615.995.595.323.124.964.844.754.674.604.544.494.454.414.38199.519.009.556.945.795.144.744.464.264.103.983.893.813.743.683.633.595.553.52215.719.169.286.595.414.764.354.073.813.713.593.493.413.343.293.243.203.163.13224.619.259.126.395.194.534.123.843.633.483.363.263.183.113.063.012.962.932.90230.219.309.016.265.054.393.973.693.48

3.333.203.113.032.962.902.852.812.772.74234.019.338.946.164.954.283.873.583.373.223.093.002.922.852.792.742.702.662.63236.819.358.896.094.884.213.793.503.293.143.012.912.832.762.712.662.612.582.54238.919.378.856.044.824.153.733.443.233.072.952.852.772.702.642.592.552.512.4824.0519.388.816.004.774.103.683.393.183.022.902.802.712.652.592.542.492.462.42241.919.408.795.964.744.063.643.353.142.982.852.752.672.602.542.492.452.412.38245.919.438.705.864.623.942.513.223.012.852.722.622.532.462.402.352.312.272.23248.019.458.665.804.563.873.443.152.942.772.652.542.462.392.332.282.232.192.16249.119.458.645.774.533.843.413.122.902.742.612.512.422.352.292.242.192.152.11250.119.468.625.754.503.813.383.082.86

2.702.575.472.382.312.252.192.152.112.07151.119.478.595.724.463.773.343.042.832.662.532.432.342.272.202.152.102.062.03252.219.488.575.694.433.743.303.012.792.622.492.382.302.22

2.162.112.062.021.98253.319.498.555.664.403.703.272.972.752.582.452.342.252.182.112.062.011.971.93254.319.508.535.634.363.673.232.932.712.542.402.302.212.132.072.011.961.921.882.31附表5-2分布表從正態(tài)總體中抽取容量為16的樣本，試求：(1)已知；(2)未知，但已知樣本方差的情況下，樣本均值與總體均值m之差的絕對值小于2的概率。解(1)由于統(tǒng)計量因此在s

2已知時，,1.96例1附表2-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96(2)由于s

2未知，但S2=20.8，這時統(tǒng)計量因此查t分布表得t

0.05(16-1)=1.753，P(t>1.753)=0.05。2.1315由此可得設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于90%，則樣本容量應(yīng)取多少?解設(shè)所需樣本容量為n，由于則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得1.645即n>41.6025，故樣本容量至少為42，才能使樣本均值不大于90%例2在總體N（52，6.32）中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。解例3在總體N（12，4）中隨機抽一容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求樣本均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率。（2）求概率P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}.（3）求概率P{min(X1，X2，X3，X4，X5)﹤10}.解：（1）例4設(shè)X1，X2…，X10為N（0，0.32）的一個樣本,求（2）P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P{max(X1，X2，X3，X4，X5)≤15}=（3）P{min(X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－

P{min(X1，X2，X3，X4，X5)≥10}=例56.262

幻燈片37一、點估計問題的提法設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知,但它的一個或多個參數(shù)為未知,借助于總體X的一個樣本來估計總體未知參數(shù)的值的問題稱為點估計問題.例1解用樣本均值來估計總體的均值E(X).點估計問題的一般提法解例2二、估計量的求法由于估計量是樣本的函數(shù),是隨機變量,故對不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,如何求估計量是關(guān)鍵問題.常用構(gòu)造估計量的方法:(兩種)矩估計法和最大似然估計法.1.

矩估計法(X為連續(xù)型)(X為離散型)矩估計法的定義用樣本矩來估計總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù),這種估計法稱為矩估計法.矩估計法的具體做法:矩估計量的觀察值稱為矩估計值.例3解例4解方程組得到a,b的矩估計量分別為例5解解方程組得到矩估計量分別為例6上例表明:總體均值與方差的矩估計量的表達(dá)式不因不同的總體分布而異.一般地,2.

最大似然估計法似然函數(shù)的定義最大似然估計法似然函數(shù)的定義求最大似然估計量的步驟:費舍爾最大似然估計法是由費舍爾引進(jìn)的.最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只需令對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程解似然函數(shù)例7這一估計量與矩估計量是相同的.解例8這一估計量與矩估計量是相同的.解X的似然函數(shù)為例9它們與相應(yīng)的矩估計量相同.解例10最大似然估計的性質(zhì).證明此性質(zhì)可以推廣到總體分布中含有多個未知參數(shù)的情況.如例9中,兩種求點估計的方法:矩估計法最大似然估計法在統(tǒng)計問題中往往先使用最大似然估計法,在最大似然估計法使用不方便時,再用矩估計法.作業(yè)P1731,2,6P1812,5,7第二節(jié)基于截尾樣本的最大似然估計一、基本概念二、基于截尾樣本的最大似然估計三、小結(jié)一、基本概念1.

壽命分布的定義產(chǎn)品壽命T是一個隨機變量,它的分布稱為壽命分布.2.

完全樣本的定義(一種典型的壽命試驗)如果不能得到完全樣本,就考慮截尾壽命試驗.3.

兩種常見的截尾壽命試驗(1)定時截尾壽命試驗(2)定數(shù)截尾壽命試驗二、基于截尾樣本的最大似然估計1.

定數(shù)截尾樣本的最大似然估計設(shè)產(chǎn)品的壽命分布是指數(shù)分布,其概率密度是設(shè)有n個產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗,截尾數(shù)為m,得定數(shù)截尾樣本為了確定似然函數(shù),觀察上述結(jié)果出現(xiàn)的概率.上述觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率近似地為取似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為2.

定時截尾樣本的最大似然估計設(shè)定時截尾樣本與上面討論類似,得似然函數(shù)為例設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布,其概率密度為隨機地取50只電池投入壽命試驗,規(guī)定試驗進(jìn)行到其中有15只失效時結(jié)束試驗,測得失效時間(小時)為115,119,131,138,142,147,148,155,158,159,163,166,167,170,172.解三、小結(jié)兩種常見的截尾壽命試驗定時截尾壽命試驗定數(shù)截尾壽命試驗定時截尾樣本的最大似然估計:定數(shù)截尾樣本的最大似然估計:第三節(jié)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出二、無偏性三、有效性四、相合性五、小結(jié)一、問題的提出從前一節(jié)可以看到,對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同,如第一節(jié)的例4和例10.而且,很明顯,原則上任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量.問題(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?(2)評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個常用標(biāo)準(zhǔn).二、無偏性無偏估計的實際意義:無系統(tǒng)誤差.證例1特別的:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,證例2(這種方法稱為無偏化).解由第六章第二節(jié)定理二知例3證例4證明例5由以上兩例可知,一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量.三、有效性由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,所以無偏估計以方差小者為好.證明例6

(續(xù)例5)證明例7

(續(xù)例4)四、相合性例如證明由大數(shù)定律知,例8由大數(shù)定律知,五、小結(jié)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn)無偏性有效性相合性相合性是對估計量的一個基本要求,不具備相合性的估計量是不予以考慮的.由最大似然估計法得到的估計量,在一定條件下也具有相合性.估計量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時,才能顯示出優(yōu)越性,這在實際中往往難以做到,因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標(biāo)準(zhǔn).第四節(jié)區(qū)間估計一、區(qū)間估計的基本概念二、典型例題三、小結(jié)一、區(qū)間估計的基本概念1.

置信區(qū)間的定義關(guān)于定義的說明若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,例如2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出例1二、典型例題這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長度為由一個樣本值算得樣本均值的觀察值則置信區(qū)間為其置信區(qū)間的長度為比較兩個置信區(qū)間的長度置信區(qū)間短表示估計的精度高.說明:

對于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)軸對稱的情況,易證取a和b關(guān)于原點對稱時,能使置信區(qū)間長度最小.今抽9件測量其長度,得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例3三、小結(jié)點估計不能反映估計的精度,故而本節(jié)引入了區(qū)間估計.求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).第五節(jié)正態(tài)總體均值與方差的

區(qū)間估計一、單個總體的情況二、兩個總體的情況三、小結(jié)一、單個總體的情況由上節(jié)例2可知:1.包糖機某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解附表2-1例1附表2-2查表得推導(dǎo)過程如下:解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例2就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.這個誤差的可信度為95%.解附表3-2例3(續(xù)例1)如果只假設(shè)糖包的重量服從正態(tài)分布解例4推導(dǎo)過程如下:根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知2.進(jìn)一步可得:注意:在密度函數(shù)不對稱時,習(xí)慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).

(續(xù)例2)求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例5解例6

(續(xù)例1)二、兩個總體的情況討論兩個整體總體均值差和方差比的估計問題.推導(dǎo)過程如下:1.例7為比較?,??兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機地取?型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為隨機地取??型子彈20發(fā),得槍口速度平均值為假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等,求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知),解由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知),例8為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率,試圖采用一種新的催化劑,為慎重起見,在試驗工廠先進(jìn)行體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且方差相等,求兩總體均值差試驗.設(shè)采用原來的催化劑進(jìn)行了次試驗,得到得率的平均值又采用新的催化劑進(jìn)行了次試驗,得到得率的平均值假設(shè)兩總推導(dǎo)過程如下:2.根據(jù)F分布的定義,知解例9研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只,測得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨抽取機器B生產(chǎn)的管子13只,測得樣本方差為立,且設(shè)由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信解例10甲、乙兩臺機床加工同一種零件,在機床甲加工的零件中抽取9個樣品,在機床乙加工的零件信區(qū)間.假定測量值都服從正態(tài)分布,方差分別為的置在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺機床加工精度之比中抽取6個樣品,并分別測得它們的長度(單位:mm),單側(cè)置信區(qū)間二、基本概念三、典型例題一、問題的引入四、小結(jié)一、問題的引入但在某些實際問題中,例如,對于設(shè)備、元件的壽命來說,平均壽命長是我們希望的,我們關(guān)心的是平均壽命的“下限”;與之相反,在考慮產(chǎn)品的廢品率

p時,我們常關(guān)心參數(shù)

p的“上限”,這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念.二、基本概念1.

單側(cè)置信區(qū)間的定義2.

正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間三、典型例題設(shè)從一批燈泡中,隨機地取5只作壽命試驗,測得壽命(以小時計)為1050,1100,1120,1250,1280,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布,求燈泡壽命平均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.解例1四、小結(jié)三、小結(jié)附表2-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624