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第二節(jié)可分離變量的微分方程解分離變量方程可分離變量方程微分方程分離變量是否可分離變量

y2xy

3x25xy0

(x2y2)dxxydy=0

y1xy2xy2

y10xy

如果一個一階微分方程能寫成g(y)dyf(x)dx

(或?qū)懗蓎(x)(y))的形式那么原方程就稱為可分離變量的微分方程

可分離變量的微分方程討論下列方程那些是可分離變量的微分方程:

是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10xdx————————可分離變量的微分方程的解法兩端積分

方程G(y)F(x)CyF(x)或xY(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C稱為隱式(通)解

求顯式解

求方程由G(y)F(x)C所確定的隱函數(shù)yF(x)或xY(y)如果一個一階微分方程能寫成g(y)dyf(x)dx

(或?qū)懗蓎(x)(y))的形式那么原方程就稱為可分離變量的微分方程

可分離變量的微分方程分離變量

將方程寫成g(y)dy

f(x)dx的形式例1.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0

)例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:練習:解法1

分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:例4.

子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)

隨時間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原例5.成正比,求解:

根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系.t

足夠大時作業(yè)：P-

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