-空間群教學講解課件

第十一講

空間群(3)：非點式空間群1、非點式空間群舉例分析2、空間群國際表舉例分析3、二維空間群(全部)第十一講空間群(3)：非點式空間群1、非點式空間群舉例分析1何種格子、何種基元？晶體結構=點陣(布拉菲格子)+基元(點群)何種格子、何種基元？晶體結構=點陣(布拉菲格子)+2空間群：結晶學空間群就是能使三維周期物體(無限大晶體)自身重復的所有幾何對稱操作的集合，它構成數學意義上的群。

晶體的宏觀外形可視作一個連續(xù)整體的有限圖形，而晶體微觀結構是不連續(xù)排列的原子在三維空間的無限展開。晶體宏觀對稱性是晶體結構(原子排列對稱性)即微觀對稱的反映。點群中對稱要素必須交于一點，只有方向的概念。微觀對稱性中對稱要素無須交于一點，要引入平移和位置的概念。第九講

空間群(I)：點式空間群空間群：結晶學空間群就是能使三維周期物體(無限大晶體)自身重3?

螺旋軸：11種，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65?

滑移面：a、b、c；n；d點對稱操作：r’=Rr

r’=x’a+y’b+z’c

r=xa+yb+zc空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)

對非點式操作t=，是單胞的分數平移，而對于點式操作t=

=0第十講

空間群(II)：非點式對稱操作?螺旋軸：11種，21；31、32；41、42、43；614點式空間群：由全部作用于同一個公共點上的對稱操作完全確定，或者說僅由點對稱操作和平移對稱操作組合而產生。?

螺旋軸或滑移面不是其基本操作。?

點式空間群在單胞中一定至少有一個位置具有與空間群點群相同的位置對稱性空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)對非點式操作t=，是單胞的分數平移對于點式操作t=

=0{R|t}、{1|tn}、{R|0}、{R|}

點式空間群：由全部作用于同一個公共點上的對稱操作完全確定，或5點對稱條件晶系點群四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)布拉菲點陣PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m

(D2d)4

(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm

(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62

(D3h)6

(C3h),23(T),m3(Th),432

(O),m3m

(Oh)43m(Td),點對稱條件晶系點群四個三次軸三斜單斜正交四方三方六6晶系點群布拉菲點陣73種點式空間群三斜單斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,晶系點群布拉菲點陣73種點式空間群三斜單斜正交四方三7Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-+P

2/m2/m2/m俯視圖(單胞)：(左)一般等效點位置(右)對稱元素分布8

1

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z.1a

mmm

0,0,0.Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-8abc++__+_+_++__+_+_++__+_+_++__+_+_螺旋軸,218p

1

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;

y,x,z;y,x,z;y,x,z;y,x,z.1a

42

0,0,0.P422(D4)1abc++__+_+_++__+_+_++__+_+_++_9Pm+,-+,-+,-+,-Pm+,-+,-+,-+,-10Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4單斜B滑移面Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/11+__+P222abc+__++__++__+紙面內二次軸+__+P222abc+__++__++__+紙面內二次軸12+__+C222abc+__++__++__++__+螺旋軸,21+__+C222abc+__++__++__++__+螺旋軸13點群各符號的順序晶系在國際符號中的位置123三斜單斜正交四方三方六方立方只用一個符號第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿<111>2或2沿<110>2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿<100>點群各符號的順序晶系在國際符號中的位置1231462m

(Li63L23P)xy6m2

(Li63P3L2)xy三方六方3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b62m(Li63L23P)xy6m2(Li63P3L2)15P3m1(C3v,No.156)1P31m(C3v,No.157)2++++,+,+,++++,+,+,++++,+,+,++++,+,+,P3m1(C3v,No.156)1P31m(C3v,16P62m(D3h,No.189)3++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,Originat62m12l1x,y,z;y,x-y,z;y-x,x,z;

x,y,z;y,x-y,z;y-x,x,z;

y,x,z;x,y-x,z;x-y,y,z;

y,x,z;x,y-x,z;x-y,y,z.1b

6m2

0,0,?.1a

6m2

0,0,0.P62m(D3h,No.189)3++,__,++,_172(C2,L2)+++_二次螺旋軸21++_++1/2++_a/2或b/2221二次旋轉軸二次螺旋軸221平行于紙面無平行于紙面c/2a/2或b/2螺旋操作：螺旋操作是一種對稱操作，它是由真旋轉與平行于旋轉軸的非初基平移結合而成的。{RI}r=Rr+2(C2,L2)+++_二次螺旋軸21++_++1/218三次螺旋軸3132三次旋轉軸三次螺旋軸三次反演軸331323無無c/32c/33(C3,L3)+++3+1/3+2/3+3132++2/3+1/3+三次螺旋軸3132三次旋轉軸三次螺旋軸三次反演軸33132319四次螺旋軸4142434(C4,L4)++++4+1/4+3/4+1/2+41+1/2+1/2++42+3/4+1/4+1/2+43四次旋轉軸4四次反演軸四次螺旋軸434無無c/441422c/43c/4四次螺旋軸4142434(C4,L4)++++4+1/20六次螺旋軸6(C6,L6)++++++61656263646+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/3+2/3++1/3+2/3++1/2++1/2++1/2++5/6+2/3+1/2+1/3+1/6++2/3+1/3++2/3+1/3+六次旋轉軸六次螺旋軸六次反演軸661656無c/65c/6626364無2c/63c/64c/6六次螺旋軸6(C6,L6)++++++6165626321滑移面：滑移面是由非真旋轉2(m)與非初基平移結合而成的新對稱操作，同樣可由賽茲算符{RI}r=Rr+描述。晶體中有三種不同的滑移面：軸滑移、對角n滑移、金剛石滑移。軸向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是單胞軸長的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。ab++，b/2b/2+ab++，a/2a/2+ab+_，b/2b/2+a/2a/2n滑移左(中，右)圖：沿b(a,c)

滑移面的a(b,n)軸滑移如

Pban滑移面：滑移面是由非真旋轉2(m)與非初基平移結合而成的新對22對稱軸符號符號對稱軸圖示符號沿軸向的右手螺旋平移特征一次旋轉軸1一個反演軸二次旋轉軸二次螺旋軸三次旋轉軸三次螺旋軸三次反演軸2213313231無無無平行于紙面無平行于紙面無無c/2a/2或b/2c/32c/3符號對稱軸圖示符號沿軸向的右手螺旋平移特征四次旋轉軸4四次反演軸四次螺旋軸六次旋轉軸六次螺旋軸六次反演軸43661654無無6無c/4c/65c/641422c/43c/4626364無2c/63c/64c/6對稱軸符號符號對稱軸圖示符號沿軸向的右手螺旋平移特征一次旋轉23對稱面符號符號對稱面反映面(鏡面)軸滑移面ma,bcnd對角滑移面(網)“金剛石”滑移面圖示符號滑移特征垂直于投影面平行于投影面沒有(如果平面在z=1/4的高度，就在符號邊標注1/4)無沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑移b/2，或沿<100>滑移沿z軸滑移c/2，或在菱形軸中沿[111]滑移(a+b+c)/2(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2,或(a+b+c)/2(四方和立方)(a±b)/4,(b±c)/4,(a±c)/4,或(a±b±c)/4(四方和立方)(a或b軸)(c軸)3/81/8對稱面符號符號對稱面反映面(鏡面)軸滑移面ma,bcnd對24Originon61P61(C6,No.169)2+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+Originon661+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+Originon61P61(C6,No.169)225P65(C6,No.170)3P62(C6,No.171)4P64(C6,No.172)5P63(C6,No.173)6+1/3+2/3++1/3+2/3++1/2++1/2++1/2++5/6+2/3+1/2+1/3+1/6++2/3+1/3++2/3+1/3+P65(C6,No.170)3P62(C6,No.261、非點式空間群舉例分析2、空間群國際表舉例分析3、二維空間群(全部)1、非點式空間群舉例分析27P4nc4mmTetragonal++++++++++++++++,,

?+

?+

?+

?+,,8c1x,y,z;x,y,z;?+x,?-y,?+z;?-x,?+y,?+z;y,x,z;y,x,z;?+y,?+x,?+z;?-y,?-x,?-z.4b

2

0,?,z;?,0,z;

0,?,?+z;

?,0,?+z.2a

4

0,0,z;?,?,?+z.Originon4Numberofpositions,Wyckoffnotation,

andpointsymmetryCo-ordinatesofequivalentpositions6C4vNo.

104P4ncConditionslimitingpossiblereflectionsGeneral:hkl:Noconditions0kl:k+l=2nhkl:l=2nSpecial:hkl:h+k=2n;l=2nhkl:h+k+l=2nP4nc4mmTetragonal+++++++++++28Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-+P

2/m2/m2/m俯視圖(單胞)：(左)一般等效點位置(右)對稱元素分布8

1

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z.1a

mmm

0,0,0.Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-29Pban(D2h,No.50)4P

2/b2/a2/n8m

1

x,y,z;x,y,z;1/2-x,1/2-y,z;1/2+x,1/2+y,z;

x,y,z;x,y,z;1/2-x,1/2+y,z;1/2+x,1/2-y,z.2a

222

0,0,0;?,?,0.+,+,-,-,--++--++--++--++Originat222,at?,?,0from1Pban(D2h,No.50)4P2/b2/a230OrthorhombicmmmP21/n21/m21/aNo.62Originat1_,_,?+++,?__,_,?+++,?___,?+,+,+?_P

nmaD2h16Numberofpositions,Wyckoffnotation,andpointsymmetryCo-ordinatesofequivalentpositions?

?

?

?

?

8d1x,y,z;?+x,?-y,?-z;x,?+y,z;?-x,y,?+z;

x,y,z;?-x,?+y,?+z;x,?-y,z;?+x,y,?-z.4c

m

x,?,z;x,?,z;?-x,?,?+z;?+x,?,?-z.4

b

1

0,0,?;0,?,?;?,0,0;?,?,0.4

a

1

0,0,0;0,?,0;?,0,?;?,?,?.OrthorhombicmmmP21/n21/m31Originat1?

?

?

?

?

P

21/n

21/m

21/aabc_,_,?+++,?__,_,?+++,?___,?+,+,+?_

21/a

21/m

21/n?

?

,–Originat1?????P21/n2132Numberofpositions,Wyckoffnotation,andpointsymmetryCo-ordinatesofequivalentpositions_,_,?+++,?__,_,?+++,?___,?+,+,+?_Numberofpositions,Wyckoffn331、非點式空間群舉例分析2、空間群國際表舉例分析3、二維空間群(全部)1、非點式空間群舉例分析34基元Basis點陣，Latticeab1234初基晶胞，primitiveunitcell晶胞，latticeunitcellOblique,a

≠b

≠

90o基元Basis點陣，Latticeab1234初基晶胞，pr35基元Basis點陣，LatticeRectangular,a

≠b

=

90o基元Basis點陣，LatticeRectangular,36Rectangular,a

≠b

=

90oRectangular,a≠b=9037Square,a

=b

=

90oSquare,a=b=90o3860oanglerhombus,Hexagonal,a

=b

=

120o60oanglerhombus,39Oblique,a

≠b

≠

90oRectangular,a

≠b

=

90oSquare,a

=b

=

90o60oanglerhombus,Hexagonal,a

=b

=

120o斜方長方有心長方正方六角Oblique,a≠b≠90oRec40對稱條件晶系特點四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠c,≠≠a≠b≠c,==90o≠

a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,

=120oa=b=c,===90oa=b=

c,==菱形a=b≠c,==90o,

=120o全對稱點群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m對稱條件晶系特點四個三次軸三斜單斜正交四方三方411(C1)m(C1h)1(Ci)42m

(D2d)2(C2)2/m(C2h)222(D2)mm2(C2v)mmm(D2h)4

(S4)422(D4)4/mmm(D4h)4mm

(C4v)4/m(C4h)4(C4)62

(D3h)6

(C3h)622(D6)6/mmm

(D6h)6mm

(C6v)6/m(C6h)6(C6)23(T)m3(Th)432

(O)m3m

(Oh)3m(D3d)3(C3)3m(C3v)32(D3)43m(Td)3(S6)32種點群符號1(C1)m(C1h)1(Ci)42m(D2d)2(C242點對稱條件晶系點群四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)布拉菲點陣PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m

(D2d)4

(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm

(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62

(D3h)6

(C3h),23(T),m3(Th),432

(O),m3m

(Oh)43m(Td),點對稱條件晶系點群四個三次軸三斜單斜正交四方三方六43晶系點群布拉菲點陣73種點式空間群三斜單斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,晶系點群布拉菲點陣73種點式空間群三斜單斜正交四方三44十七種二維空間群點陣點群空間群序號斜形1p11對應圖像p矩形p,c正方形p六方形p2p211p4433m66mmp3p3m1p31mp6p6mm2p2mmp2mgp2ggc2mm2mm678910p4mmc4gm4mm11121314151617p1m1p1g1c1m1m345十七種二維空間群點陣點群空間群序號斜形1p11對應圖像p矩形45The17Two-dimensionalSpaceGroupsEquivalentpositions,Symmetry,andPossiblereflectionsp1p2

p2111a1x,y.Originon1Numberofpositions,Wyckoffnotation,andpointsymmetryOriginat22e1x,y,x,y.1d21/2,1/2.1c21/2,0.1b20,1/2.1a20,0.The17Two-dimensionalSpaceG46pm

p1m1pg

p1g1cm

c1m1,,,,Originonm2c1x,y;x,y.1bm1/2,y.1am0,y.Originonm4b1x,y;x,y.2am0,y.,,,,,Co-ordinatesofequivalentpositions(0,0;1/2,1/2)+,,Originong2a1x,y;x,1/2+y.pmp1m1pgp1g1cmc1m1,,47pmmp2mmpmgp2mgOriginat2mmOriginat24i

1

x,y;x,y;x,y;x,y.2h

m?,y;

?,y.2gm0,y;0,y.2f

mx,1/2;x,1/2.2e

m

x,0;x,0.1dmm1/2,

1/2.1cmm1/2,

0.1bmm0,

1/2.1a

mm

0,0.,,,,,,,,,,,,4d

1

x,y;x,y;?+x,y;?-x,y.2cm?;y;?,y.

2b20,?;?,?.

2a

2

0,0;?,0.pmmp2mmpmgp2mgOriginat2m48pggp2ggOriginat2,,4c

1

x,y;x,y;?+x,?-y;?-x,?+y.2b2?,0;

0,?.2a

2

0,0;?,?.cmmc2mmOriginat2mm,,,,,,,,,,Co-ordinatesofequivalentpositions(0,0;1/2,1/2)+8f

1

x,y;x,y;x,y;x,y.4em0,y;0,y.4d

m

x,0;x,0.4c

2

?,?;?,?.2bmm0,?.2a

mm

0,0.pggp2ggOriginat2,,4c49p4p4p4mp4mmOriginat44d

1

x,y;x,y;y,x;y,x.2c2?,0;0,?.1b4?,?.1a

4

0,0.Originat4mm,,,,,,,,,,,,,,,,8g

1

x,y;x,y;y,x;y,x;

x,y;x,y;y,x;y,x.4f

mx,x;x,x;x,x;x,x.4emx,?;x,?;?,x;?,x.4d

m

x,0;x,0;0,x;0,x.2cmm?,0;0,?.1b4mm?,?.1a

4mm

0,0.p4p4p4mp4mmOriginat4450abcP4mm+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,P4bmabcP4mm+++,+,++,++,+++,+,++,++51p4g

p4gmOriginat4,,,,8d

1

x,y;y,x;?-x,?+y;?-y,?-x;

x,y;y,x;?+x,?-y;?+y,?+x.4cmx,?+x;x,?-x;?+x,x;?-x,x.2bmm?,0;0,?.2a

4

0,0;

?,?.P4bm,Plus+,andzp4gp4gmOriginat4,,,,8d52p3p3Originat33d

1

x,y;y,x-y;y-x,x.

1c

32/3,1/3.1b31/3,2/3.1a

3

0,0.p3p3Originat33d153p3m1p3m1p31mp31m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Originat3m1Originat31m6e

1

x,y;y,x-y;y-x,x;

y,x;x,x-y;y-x,y.3dmx,x;x,2x;2x,x.1c

3m2/3,1/3.

1b3m1/3,2/3.1a

3m

0,0.6d

1

x,y;y,x-y;y-x,x;

y,x;x,y-x;x-y,y.3cmx,0;0,x;x,x.

2b31/3,2/3;2/3,1/31a

3m

0,0.p3m1p3m1p31mp31m,,,,,,,,,,54p6p66d

1

x,y;y,x-y;y-x,x;x,y;y,y-x;x-y,x.

3c

2?,0;0,?;?,?.2b31/3,2/3;2/3,1/3.1a

6

0,0.Originat6p6p66d1x,y;55p6m

p6mmOriginat6mm,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12f

1

x,y;y,x-y;y-x,x;y,x;x,y-x;x-y,y;

x,y;y,y-x;x-y,x;y,x;x,x-y;y-x,y.6emx,x;x,2x;2x,x;x,x;x,2x;2x,x.6

dmx,0;0,x;x,x;x,0;0,x;x,x.

3c

mm1/2,0;0,1/2;1/2,1/2.

2b3m1/3,2/3;2/3,1/3.1a

6mm

0,0.p6mp6mmOriginat6mm,,,,,,,,56作業(yè)：

作下面二維空間群的俯視圖（一般等效位置和對稱操作）：用賽茲算符推導；并給出位置數、Wyckoff表示、位置對稱性和等效位置：p6,p6m,pgg,p4g作業(yè)：作下面二維空間群的俯視圖（一般等效位置和57P

21/n

21/m

21/aabccaP21/n21/m21/aabcca58第十一講

空間群(3)：非點式空間群1、非點式空間群舉例分析2、空間群國際表舉例分析3、二維空間群(全部)第十一講空間群(3)：非點式空間群1、非點式空間群舉例分析59何種格子、何種基元？晶體結構=點陣(布拉菲格子)+基元(點群)何種格子、何種基元？晶體結構=點陣(布拉菲格子)+60空間群：結晶學空間群就是能使三維周期物體(無限大晶體)自身重復的所有幾何對稱操作的集合，它構成數學意義上的群。

晶體的宏觀外形可視作一個連續(xù)整體的有限圖形，而晶體微觀結構是不連續(xù)排列的原子在三維空間的無限展開。晶體宏觀對稱性是晶體結構(原子排列對稱性)即微觀對稱的反映。點群中對稱要素必須交于一點，只有方向的概念。微觀對稱性中對稱要素無須交于一點，要引入平移和位置的概念。第九講

空間群(I)：點式空間群空間群：結晶學空間群就是能使三維周期物體(無限大晶體)自身重61?

螺旋軸：11種，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65?

滑移面：a、b、c；n；d點對稱操作：r’=Rr

r’=x’a+y’b+z’c

r=xa+yb+zc空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)

對非點式操作t=，是單胞的分數平移，而對于點式操作t=

=0第十講

空間群(II)：非點式對稱操作?螺旋軸：11種，21；31、32；41、42、43；6162點式空間群：由全部作用于同一個公共點上的對稱操作完全確定，或者說僅由點對稱操作和平移對稱操作組合而產生。?

螺旋軸或滑移面不是其基本操作。?

點式空間群在單胞中一定至少有一個位置具有與空間群點群相同的位置對稱性空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)對非點式操作t=，是單胞的分數平移對于點式操作t=

=0{R|t}、{1|tn}、{R|0}、{R|}

點式空間群：由全部作用于同一個公共點上的對稱操作完全確定，或63點對稱條件晶系點群四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)布拉菲點陣PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m

(D2d)4

(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm

(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62

(D3h)6

(C3h),23(T),m3(Th),432

(O),m3m

(Oh)43m(Td),點對稱條件晶系點群四個三次軸三斜單斜正交四方三方六64晶系點群布拉菲點陣73種點式空間群三斜單斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,晶系點群布拉菲點陣73種點式空間群三斜單斜正交四方三65Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-+P

2/m2/m2/m俯視圖(單胞)：(左)一般等效點位置(右)對稱元素分布8

1

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z.1a

mmm

0,0,0.Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-66abc++__+_+_++__+_+_++__+_+_++__+_+_螺旋軸,218p

1

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;

y,x,z;y,x,z;y,x,z;y,x,z.1a

42

0,0,0.P422(D4)1abc++__+_+_++__+_+_++__+_+_++_67Pm+,-+,-+,-+,-Pm+,-+,-+,-+,-68Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4單斜B滑移面Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/69+__+P222abc+__++__++__+紙面內二次軸+__+P222abc+__++__++__+紙面內二次軸70+__+C222abc+__++__++__++__+螺旋軸,21+__+C222abc+__++__++__++__+螺旋軸71點群各符號的順序晶系在國際符號中的位置123三斜單斜正交四方三方六方立方只用一個符號第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿<111>2或2沿<110>2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿<100>點群各符號的順序晶系在國際符號中的位置1237262m

(Li63L23P)xy6m2

(Li63P3L2)xy三方六方3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b62m(Li63L23P)xy6m2(Li63P3L2)73P3m1(C3v,No.156)1P31m(C3v,No.157)2++++,+,+,++++,+,+,++++,+,+,++++,+,+,P3m1(C3v,No.156)1P31m(C3v,74P62m(D3h,No.189)3++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,++,__,Originat62m12l1x,y,z;y,x-y,z;y-x,x,z;

x,y,z;y,x-y,z;y-x,x,z;

y,x,z;x,y-x,z;x-y,y,z;

y,x,z;x,y-x,z;x-y,y,z.1b

6m2

0,0,?.1a

6m2

0,0,0.P62m(D3h,No.189)3++,__,++,_752(C2,L2)+++_二次螺旋軸21++_++1/2++_a/2或b/2221二次旋轉軸二次螺旋軸221平行于紙面無平行于紙面c/2a/2或b/2螺旋操作：螺旋操作是一種對稱操作，它是由真旋轉與平行于旋轉軸的非初基平移結合而成的。{RI}r=Rr+2(C2,L2)+++_二次螺旋軸21++_++1/276三次螺旋軸3132三次旋轉軸三次螺旋軸三次反演軸331323無無c/32c/33(C3,L3)+++3+1/3+2/3+3132++2/3+1/3+三次螺旋軸3132三次旋轉軸三次螺旋軸三次反演軸33132377四次螺旋軸4142434(C4,L4)++++4+1/4+3/4+1/2+41+1/2+1/2++42+3/4+1/4+1/2+43四次旋轉軸4四次反演軸四次螺旋軸434無無c/441422c/43c/4四次螺旋軸4142434(C4,L4)++++4+1/78六次螺旋軸6(C6,L6)++++++61656263646+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/3+2/3++1/3+2/3++1/2++1/2++1/2++5/6+2/3+1/2+1/3+1/6++2/3+1/3++2/3+1/3+六次旋轉軸六次螺旋軸六次反演軸661656無c/65c/6626364無2c/63c/64c/6六次螺旋軸6(C6,L6)++++++6165626379滑移面：滑移面是由非真旋轉2(m)與非初基平移結合而成的新對稱操作，同樣可由賽茲算符{RI}r=Rr+描述。晶體中有三種不同的滑移面：軸滑移、對角n滑移、金剛石滑移。軸向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是單胞軸長的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。ab++，b/2b/2+ab++，a/2a/2+ab+_，b/2b/2+a/2a/2n滑移左(中，右)圖：沿b(a,c)

滑移面的a(b,n)軸滑移如

Pban滑移面：滑移面是由非真旋轉2(m)與非初基平移結合而成的新對80對稱軸符號符號對稱軸圖示符號沿軸向的右手螺旋平移特征一次旋轉軸1一個反演軸二次旋轉軸二次螺旋軸三次旋轉軸三次螺旋軸三次反演軸2213313231無無無平行于紙面無平行于紙面無無c/2a/2或b/2c/32c/3符號對稱軸圖示符號沿軸向的右手螺旋平移特征四次旋轉軸4四次反演軸四次螺旋軸六次旋轉軸六次螺旋軸六次反演軸43661654無無6無c/4c/65c/641422c/43c/4626364無2c/63c/64c/6對稱軸符號符號對稱軸圖示符號沿軸向的右手螺旋平移特征一次旋轉81對稱面符號符號對稱面反映面(鏡面)軸滑移面ma,bcnd對角滑移面(網)“金剛石”滑移面圖示符號滑移特征垂直于投影面平行于投影面沒有(如果平面在z=1/4的高度，就在符號邊標注1/4)無沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑移b/2，或沿<100>滑移沿z軸滑移c/2，或在菱形軸中沿[111]滑移(a+b+c)/2(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2,或(a+b+c)/2(四方和立方)(a±b)/4,(b±c)/4,(a±c)/4,或(a±b±c)/4(四方和立方)(a或b軸)(c軸)3/81/8對稱面符號符號對稱面反映面(鏡面)軸滑移面ma,bcnd對82Originon61P61(C6,No.169)2+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+Originon661+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+Originon61P61(C6,No.169)283P65(C6,No.170)3P62(C6,No.171)4P64(C6,No.172)5P63(C6,No.173)6+1/3+2/3++1/3+2/3++1/2++1/2++1/2++5/6+2/3+1/2+1/3+1/6++2/3+1/3++2/3+1/3+P65(C6,No.170)3P62(C6,No.841、非點式空間群舉例分析2、空間群國際表舉例分析3、二維空間群(全部)1、非點式空間群舉例分析85P4nc4mmTetragonal++++++++++++++++,,

?+

?+

?+

?+,,8c1x,y,z;x,y,z;?+x,?-y,?+z;?-x,?+y,?+z;y,x,z;y,x,z;?+y,?+x,?+z;?-y,?-x,?-z.4b

2

0,?,z;?,0,z;

0,?,?+z;

?,0,?+z.2a

4

0,0,z;?,?,?+z.Originon4Numberofpositions,Wyckoffnotation,

andpointsymmetryCo-ordinatesofequivalentpositions6C4vNo.

104P4ncConditionslimitingpossiblereflectionsGeneral:hkl:Noconditions0kl:k+l=2nhkl:l=2nSpecial:hkl:h+k=2n;l=2nhkl:h+k+l=2nP4nc4mmTetragonal+++++++++++86Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-++,-+,--,+,-+P

2/m2/m2/m俯視圖(單胞)：(左)一般等效點位置(右)對稱元素分布8

1

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;

x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z.1a

mmm

0,0,0.Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,--,+,-87Pban(D2h,No.50)4P

2/b2/a2/n8m

1

x,y,z;x,y,z;1/2-x,1/2-y,z;1/2+x,1/2+y,z;

x,y,z;x,y,z;1/2-x,1/2+y,z;1/2+x,1/2-y,z.2a

222

0,0,0;?,?,0.+,+,-,-,--++--++--++--++Originat222,at?,?,0from1Pban(D2h,No.50)4P2/b2/a288OrthorhombicmmmP21/n21/m21/aNo.62Originat1_,_,?+++,?__,_,?+++,?___,?+,+,+?_P

nmaD2h16Numberofpositions,Wyckoffnotation,andpointsymmetryCo-ordinatesofequivalentpositions?

?

?

?

?

8d1x,y,z;?+x,?-y,?-z;x,?+y,z;?-x,y,?+z;

x,y,z;?-x,?+y,?+z;x,?-y,z;?+x,y,?-z.4c

m

x,?,z;x,?,z;?-x,?,?+z;?+x,?,?-z.4

b

1

0,0,?;0,?,?;?,0,0;?,?,0.4

a

1

0,0,0;0,?,0;?,0,?;?,?,?.OrthorhombicmmmP21/n21/m89Originat1?

?

?

?

?

P

21/n

21/m

21/aabc_,_,?+++