單元二-常用控制系統的數學描述

單元二

常用控制系統的數學描述教材編寫組11．理解控制系統數學模型的基本概念2．掌握傳遞函數的概念和求法3．掌握系統結構圖的變換教材編寫組2學習目標：1．建立控制系統的傳遞函數2．由各環(huán)節(jié)的傳遞函數，求系統的動態(tài)結構圖知識重點：1．根據實際系統建立控制系統的傳遞函數2．求復雜系統的動態(tài)結構圖知識難點：教材編寫組3單元結構圖：控制系統的數學模型通常是指該系統輸入和輸出之間動態(tài)關系的數學表達式。它具有與實際系統相似的特性，可采用不同的形式表示出系統的內外部性能特點。建立自動控制系統的數學模型是分析和研究系統的基礎。應用自動控制理論來分析和設計控制系統:把具體的自動控制系統抽象為數學模型；根據自動控制理論所提供的方法，分析系統的性能和指標，或對系統進行改進。教材編寫組4一、任務導入任務一

建立控制系統的時域數學模型圖2.1所示的RLC串聯電路教材編寫組5圖2.1RLC串聯電路設輸入量為輸出量為？如何建系統的數學模型任務一

建立控制系統的時域數學模型1、控制系統的微分方程教材編寫組6經典控制現代控制控制系統數學模型具體形式用時間t為變量,描述系統輸入量和輸出量之間的關系，適用于單輸入、單輸出的系統，是經典控制理論最基本的數學模型。微分方程的解就是系統在輸入作用下的輸出響應。任務一

建立控制系統的時域數學模型二、相關知識點2、系統微分方程的建立步驟一般來說，建立系統微分方程的步驟是：（1）分析系統工作原理，確定系統的輸入、輸出變量。（2）從系統的輸入端開始，根據支配系統的動態(tài)特性的物理（或化學）定律，依次列寫系統各部件的動態(tài)方程組。（3）消去中間變量，并將方程化成標準形式，將輸出量的有關項放在方程左邊，輸入量的有關項放在右邊，將各導數項降冪排列，并使有關系數化成具有一定物理意義的系數。（4）對于由多個環(huán)節(jié)組成的各類控制系統的微分方程，其建立過程可由原理圖畫出功能框圖（方塊圖），并列寫各環(huán)節(jié)微分方程，再消去中間變量，即可得到描述該系統的輸入量和輸出量之間的關系。教材編寫組7任務一

建立控制系統的時域數學模型3、系統微分方程建立舉例例2-1

圖所示為一有源RC網絡，設電路輸入電壓為

，輸出電壓

。圖中A為理想運算放大器，試列寫其微分方程。教材編寫組8i2(t)i1(t)uc(t)Cui(t)RR++––++–Aa+–解：根據理想運放“虛短”、“虛斷”的概念得（2）（1）又因（3）由式(1)到(3)列系統微分方程為:任務一

建立控制系統的時域數學模型可見，該RC網絡的數學模型為一階常系數線性微分方程，這是由于該網絡中的含有一個儲能元件所致。例2-2

圖示為一個由彈簧、質量、阻尼器組成的機械系統，若外力F(t)作用于質量m的物體，其輸出量y(t)為質量m的位移，試列出F(t)與y(t)之間的關系方程。教材編寫組9解：設初始狀態(tài)時彈簧K不受任何壓力或拉力，此時系統處于靜止狀態(tài)，即初始條件為

。根據牛頓第二定律（1）式中:為阻尼器的粘性阻力；

為彈簧的彈性力。

負號表示彈簧力的方向和位移的方向相反。任務一

建立控制系統的時域數學模型教材編寫組10將式(2)、(3)代入(1)，可得微分方程：（2）又有（3）式中:為阻尼器的粘性阻力系數；

為彈簧的彈性系數。移項整理得：彈簧-質量-阻尼系統為二階常系數線性微分方程任務一

建立控制系統的時域數學模型4、非線性微分方程的線性化將控制系統某些元件的非線性特性在一定的工作范圍內，用線性系統模型近似，稱為非線性模型的線性化。工程上常用的方法是將非線性函數在平衡點附近展開成泰勒級數，然后去掉高次項以得到線性函數。該方法是基于如下假設：（1）系統中的變量在某一額定工作點附近做微小變化。（2）非線性特性在此工作點可導，也就是曲線光滑。教材編寫組11任務一

建立控制系統的時域數學模型教材編寫組12增量較小時略去其高次冪項，則有用圖所示函數

來說明線性化過程。令小偏差線性化示意圖將連續(xù)變化的非線性函數y=f(x)在平衡工作點展開為泰勒級數：平衡工作點將(x0,y0)作為參考零點，去掉增量符號△，得線性函數K為f(x)在點(x0,y0)的切線斜率任務一

建立控制系統的時域數學模型例2-3

如圖所示的單擺運動。教材編寫組13解：根據牛頓運動定律可以直接導出此系統的動態(tài)方程為這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當控制系統處在自動調節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運行時，可應用小偏差線性化方法將非線性系統線性化。平衡狀態(tài)為lMgsinθMgθ非線性項將

作為參考零點，去掉增量符號△，得線性二階微分方程任務一

建立控制系統的時域數學模型訓練任務

根據本節(jié)任務的要求，應用前面所學知識，分析怎樣建立圖示RLC串聯電路的微分方程。教材編寫組14LRCUi(t)Uo(t)i(t)任務一

建立控制系統的時域數學模型三、任務分析與實施分析與實施

根據電路理論中的基爾霍夫定律和元件的電壓與電流的關系有教材編寫組15LRCUi(t)Uo(t)i(t)消去中間變量i(t)，并整理得二階常系數線性微分方程任務一

建立控制系統的時域數學模型建立系統或環(huán)節(jié)的微分方程，目的是為了對系統進行定量分析。在已知初始條件下，給定輸入量，使用數學方法對微分方程求解，得到系統在給定輸入激勵下的響應。線性常微分方程經過拉氏變換，可得到系統在復數域中的數學模型，稱之為傳遞函數。傳遞函數不僅可表征系統的動態(tài)特性，而且可以用來研究系統的結構或參數變化對性能的影響，從而使分析和設計工作大為簡化。在經典控制理論中廣泛應用的頻率法和根軌跡法，都是建立在傳遞函數基礎之上的，其已成為經典控制理論中應用最廣泛的數學模型。怎么建立控制系統的傳遞函數呢？怎么求圖2.1RLC串聯電路的傳遞函數呢？教材編寫組16任務二

建立控制系統的傳遞函數一、任務導入1、傳遞函數的定義教材編寫組17一般控制系統（或環(huán)節(jié)）可用

階線性常系數微分方程描述，常寫成（n>m）式中：c(t)為系統的輸出量，r(t)為系統的輸入量；和為系統的常系數。零初始條件下的拉氏變換（n>m）傳遞函數：任務二

建立控制系統的傳遞函數二、相關知識點教材編寫組18令傳遞函數的分母多項式為零:可知，控制系統（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數，就是在零初始條件下，系統（或環(huán)節(jié)）的輸出量c(t)的拉氏變換C(s)與輸入量r(t)的拉氏變換R(s)之比，記作:特征方程轉換傳函：特征方程為n階時，則傳遞函數也為n階，稱該系統為n階系統。傳函框圖尾1型系統增益任務二

建立控制系統的傳遞函數教材編寫組19還可將傳函轉換成：系統的根軌跡增益：首1型任務二

建立控制系統的傳遞函數2、傳遞函數的性質（1）傳遞函數與微分方程之間的對應關系是惟一的，是同一系統的兩種不同的數學描述方式。教材編寫組20微分方程和傳遞函數之間的關系如下：拉氏反變換拉氏變換任務二

建立控制系統的傳遞函數2、傳遞函數的性質（2）傳遞函數表征系統和元件本身的特性，而與輸出信號等外部因素無關，它反映了系統本身的內在的運動特征，但不能反映系統或元件的物理結構。也就是說，對于許多物理性質截然不同的系統或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數。（3）傳遞函數是關于復變量s的一個有理分式，它代表對應系統固有特性，稱為該系統的復數域數學模型。與時間域模型(微分方程)相比，它無明顯的物理意義。

傳遞函數概念只適用于線性定常系統。（Laplace變換是線性變換）（4）傳遞函數的零點與極點。教材編寫組21任務二

建立控制系統的傳遞函數

和

可為實數，也可復數。教材編寫組22將傳遞函數中的分子、分母多項式進行因式分解，可表示為如下形式：ReIm表示極點表示零點：分子式等于0的根，是傳函的零點，共m個。：分母式等于0的根，是傳函的極點，共n個。圖2.8零、極點的表示方法如圖2.8所示，傳遞函數的零點、極點可分別用“

”和“

”在復平面S上表示出來。任務二

建立控制系統的傳遞函數例2-4

請在圖中標出下列傳函零、極點。

教材編寫組23解：根據題目中所給傳遞函數，可知，零、極點的復域圖表示如右圖所示ReIm-3-112-1-2-2該系統有一個零點：三個極點：表示極點表示零點任務二

建立控制系統的傳遞函數訓練任務

根據本節(jié)任務的要求，現在應用前面所學知識，求圖所示RLC無源網絡的傳遞函數。分析與實施教材編寫組24LRCUi(t)Uo(t)i(t)根據知：

和

及其各階導數在

時均為零方程兩邊進行拉氏變換：任務二

建立控制系統的傳遞函數三、任務分析與實施我們研究的機電控制系統主要是線性系統，線性系統有一個重要特點是滿足疊加原理。當外界有一輸入作用于系統，要求它的輸出，而這輸入是隨機的，那我們怎么去求系統的輸出呢？任何一個復雜線性系統都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的，所以，先研究這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性，然后，再運用疊加原理來求解整個系統的傳遞函數。常用的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。教材編寫組25任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性一、任務導入帶轉速負反饋的單閉環(huán)電機調速系統在生產中應用非常廣泛，系統原理圖如圖2.10所示。該系統又是有哪些典型環(huán)節(jié)組成的？我們該怎么通過典型環(huán)節(jié)的分析來分析整個系統呢？教材編寫組26圖2.10轉速負反饋閉環(huán)直流調速系統任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性一、任務導入1、比例環(huán)節(jié)教材編寫組271）該環(huán)節(jié)的微分方程輸出量與輸入量成比例的環(huán)節(jié)2）將式兩邊取拉氏變換，得：典型環(huán)節(jié)除了可以用傳遞函數表示外，還可以用功能框圖來表示，如圖：比例環(huán)節(jié)框圖K為放大系數任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性二、相關知識點1、比例環(huán)節(jié)教材編寫組283）比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應可見:比例環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線常見的比例環(huán)節(jié)如：電子放大器、齒輪、感應式變送器、測速發(fā)電機的電壓與轉速的關系等。K10比例環(huán)節(jié)的輸出能立即響應輸入量，輸入與輸出量成比例，無失真和時間延遲。任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性2、積分環(huán)節(jié)教材編寫組291）該環(huán)節(jié)的微分方程為該環(huán)節(jié)的功能框圖如圖所示：輸出量與輸入量對時間的積分成正比的環(huán)節(jié)2）將式拉氏變換，整理得傳函：T為積分時間常數任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性2、積分環(huán)節(jié)教材編寫組303）積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應可見:積分環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線凡是輸出量對輸入量有存儲和積累特點的元件一般都具有積分特性。例如電容的電荷量與電流、水箱的水位與水流量等。10T積分環(huán)節(jié)的輸出量隨時間變化而不斷增加。任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性3、微分環(huán)節(jié)教材編寫組311）該環(huán)節(jié)的微分方程為該環(huán)節(jié)的功能框圖如圖所示：輸出量與輸入量的導數成正比的環(huán)節(jié)T為微分時間常數2）將式拉氏變換，整理得傳函：任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性103、微分環(huán)節(jié)教材編寫組323）微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應微分環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線

是寬度為零、幅度無窮大的理想脈沖。單位脈沖函數任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性3、微分環(huán)節(jié)教材編寫組33實際的微分環(huán)節(jié)的微分方程為：傳遞函數為：單位階躍響應：實際上微分特性總是含有慣性的。微分環(huán)節(jié)的性質正好與積分環(huán)節(jié)相反，因此，常見的微分環(huán)節(jié)可看成是積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的逆過程。任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性4、慣性環(huán)節(jié)教材編寫組341）其微分方程為該環(huán)節(jié)的功能框圖如圖所示：含有一個儲能元件和一個耗能元件的環(huán)節(jié)2）將式拉氏變換，整理得傳函：T為時間常數K為放大系數任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性104、慣性環(huán)節(jié)教材編寫組353）慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線可見:常見的慣性環(huán)節(jié):RC串聯電路、直流電機的勵磁電路等。慣性環(huán)節(jié)在輸入量突變時，輸出量不能突變，只能隨時間的推移，按指數規(guī)律變化。任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性T：時間常數

：阻尼系數5、振蕩環(huán)節(jié)教材編寫組361）其微分方程為該環(huán)節(jié)的功能框圖如圖所示：2）將式拉氏變換，得：無阻尼振蕩頻率任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性5、振蕩環(huán)節(jié)教材編寫組373）振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線其中：實際振蕩頻率，輸出、輸入相移任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性

為純延遲時間6、延遲環(huán)節(jié)（純滯后環(huán)節(jié)）教材編寫組381）其微分方程為該環(huán)節(jié)的功能框圖如圖所示：2）將式拉氏變換，得：任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性6、延遲環(huán)節(jié)（又稱純滯后環(huán)節(jié)）教材編寫組393）延遲環(huán)節(jié)的單位階躍響應延遲環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線延遲環(huán)節(jié)的特點：管道壓力、流量、溫度等物理量的控制，其數學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。在延遲時間很小的情況下，延遲環(huán)節(jié)可用一個小慣性環(huán)節(jié)來代替：10輸出量能準確復現輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性訓練任務

根據本節(jié)任務的要求，我們現在應用前面所學知識，來分析圖示轉速負反饋閉環(huán)直流調速系統是由哪些典型環(huán)節(jié)組成。教材編寫組40比列放大環(huán)節(jié)觸發(fā)整流環(huán)節(jié)執(zhí)行環(huán)節(jié)測量反饋環(huán)節(jié)任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性三、任務分析與實施分析與實施1、系統輸入、輸出量教材編寫組41輸入量為給定電壓：輸出量為電動機轉速：2、各典型環(huán)節(jié)的微分方程1）比例放大環(huán)節(jié)2）晶閘管觸發(fā)和整流裝置傳函傳函電壓放大系數任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性教材編寫組424）轉速檢測環(huán)節(jié)速度反饋系數3）直流電動機其中：機電時間常數電動機飛輪慣量電樞回路電磁時間常數勵磁、電樞電路電感之和電阻之和傳函：傳函任務三

控制系統典型環(huán)節(jié)的傳遞函數及其特性結構圖（框圖）在控制系統中常被用來描述各元件（環(huán)節(jié)）之間、各作用量之間的相互關系。結構圖又分動態(tài)結構圖（描述動態(tài)關系）和靜態(tài)結構圖（描述靜態(tài)關系）。我們在分析系統時，關注的是它的動態(tài)過程，所以動態(tài)結構圖是我們學習的重點。動態(tài)結構圖不僅可以用來求取系統的傳遞函數，而且可直觀地表明系統各信號之間的傳遞過程，使研究和分析系統更為便利。本節(jié)的任務就是學習怎樣建立自動控制系統的動態(tài)結構圖，怎樣根據動態(tài)結構圖來求解傳遞函數？教材編寫組43任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖一、任務導入1、動態(tài)結構圖的概念教材編寫組44系統的動態(tài)結構圖（簡稱結構圖或方塊圖）是一種動態(tài)數學模型，由組成系統的各環(huán)節(jié)功能框圖按照信號傳遞的關系組合而成。

一般由四種基本符號構成，即信號線、功能框、比較點和引出點。其常用符號如圖所示。功能框信號線比較點引出線任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖二、相關知識點2、控制系統結構圖的繪制教材編寫組45例2-5

請對如圖所示的RC電路建立其動態(tài)結構圖。解：根據電路定律，可得其微分方程為：拉氏變換拉氏變換（a）（b）任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖2、控制系統結構圖的繪制教材編寫組46連接（a）、（b）圖中的同信號將兩圖合并，得到RC電路的動態(tài)結構圖。從上述例子，可得到繪制控制系統動態(tài)結構圖的步驟：

（1）理解系統結構和原理，寫出各環(huán)節(jié)微分方程，并求其傳函。

（2）依據各傳函，畫出對應功能框圖，并標明其傳函和各個變量。

（3）按照輸入量放在最左邊，輸出量放在最右的原則，并根據信號傳遞的次序，將各功能框圖依次連接，就構成系統的動態(tài)結構圖。一般可以先畫前向通路，再畫反饋通路。（a）（b）任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖3、結構圖的等效變換教材編寫組47取得系統動態(tài)結構圖后，為進一步分析系統性能，就需求出系統總的傳遞函數，那就要對動態(tài)結構圖進行等效變換。所謂等效變換，就是變換前、后系統的總輸入量、總輸出量之間數學關系保持不變。對結構圖進行等效變換的基本原則:1）結構圖串聯的等效變換等效變換(a)(b)任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組48證明:1）結構圖串聯的等效變換等效變換(a)(b)由圖（a）得將上述兩方程聯立，消去中間變量

得：兩串聯環(huán)節(jié)的等效傳函，圖（b）為其結構圖。結論：兩個環(huán)節(jié)相串聯，其等效傳遞函數等于該串聯環(huán)節(jié)的傳遞函數之積。該結論可以推廣到多個環(huán)節(jié)相串聯的形式。任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組49可得總傳遞函數為：連接如圖示：結構圖為推廣：

有n個環(huán)節(jié)串聯，每個環(huán)節(jié)的傳遞函數分別是任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組50證明:2）結構圖并聯的等效變換等效變換(b)由圖（a），不難看出則結論：兩個環(huán)節(jié)相并聯，其等效傳遞函數等于兩傳遞函數的代數和。該結論可以推廣到多個環(huán)節(jié)相并聯的形式。(a)：兩并聯環(huán)節(jié)的等效傳函，圖（b）為其結構圖。任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組51可得總傳遞函數為：連接如圖示：結構圖為推廣：

有n個環(huán)節(jié)并聯，每個環(huán)節(jié)的傳遞函數分別是任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組52證明:3）反饋連接的等效傳遞函數等效變換由圖（a），可得則(a)(b)上述方程聯立，消去中間變量

或在使用該式對反饋控制進行簡化時，其反饋環(huán)路必須是獨立的。若單位負反饋前向通道傳函反向通道傳函閉環(huán)傳遞函數開環(huán)傳遞函數反饋量任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組53閉環(huán)傳遞函數可寫成：開環(huán)傳遞函數：系統的特征方程：推廣：

若

的形式為

，

的形式為,如圖：

任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖4、比較點和引出點的變位教材編寫組54在化簡系統結構圖時，若有些閉環(huán)回路相互交錯在一起，為進行框圖的串聯、并聯或反饋連接的運算，就必須將某些比較點或引出點的位置進行移動，以消除閉環(huán)回路之間的交叉。點的移動原則：使移動前后必須保持信號的等效性。任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組551）同類性質點的移動及合并（1）比較點之間的移動及合并根據圖，可得相鄰比較點之間的位置可以相互交換或合并，這不改變輸入、輸出的關系。位置交換比較點(b)合并(c)(a)任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組561）同類性質點的移動及合并（2）引出點之間的移動位置交換引出點(a)(b)注意：比較點和引出點是兩個不同性質的符號，它們之間不能相互移動，否則，將不等效。相鄰引出點之間的位置可以相互交換，這不改變輸入、輸出的關系。任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組572）比較點移動（1）比較點前移若將比較點從環(huán)節(jié)G(s)后移動到環(huán)節(jié)前，要保持C(s)不變，移動后的支路上應乘以

。如圖所示:(a)(b)(a)移動前:(b)移動后:從上可以看到，比較點移動前后，C(s)

保持不變。任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組582）比較點移動（2）比較點后移若將比較點從環(huán)節(jié)G(s)前移動到G(s)后，要保持C(s)不變，移動后的支路上應乘以G(s)。如圖所示:(a)移動前:(b)移動后:(a)(b)任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組59（3）引出點前移若將環(huán)節(jié)G(s)后的引出點移動到G(s)前，要保持等效變換，被移動支路上應乘以傳遞函數G(s)。如圖所示:(a)(b)任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組60（4）引出點后移若將環(huán)節(jié)G(s)前的引出點移動到G(s)后，要保持等效變換，被移動支路上應乘以傳遞函數

。如圖所示:(a)(b)任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組61（5）交換比較點和引出點(一般不交換)若將引出點和比較點相互交換，則需要在引出處加入比較環(huán)節(jié)，但應注意加入比較環(huán)節(jié)的方向。如圖所示:比較點在前、引出點在后引出點在前、比較點在后任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖教材編寫組62（6）等效的單位反饋如圖所示:(a)(b)變換前，由圖(a)得:單位反饋的傳遞函數任務四

建立自動控制系統的動態(tài)結構圖訓練任務

求圖