《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案1

讀書破萬卷讀書破萬卷下筆如有神《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題解答一、填空題1、用最速下降法求f(X尸10032?江)2+(1'1)2的最優(yōu)解時(shí),設(shè)=[-0.5,0.5『，第一步迭代的搜索方向?yàn)閇-47,-50]Tq2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向,二是計(jì)算最優(yōu)步長。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下,任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高一低一高趨勢。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為11維優(yōu)化問題。6、函數(shù)；XTHX+BTX+C的梯度為坦。7、設(shè)G為nxn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d°,d1,滿足武尸6，=0,則d°、d】之間存在共吊關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù)f(%,X2),若在XoGo,xQ點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是Vf(X]c,X2c)=0,充分條件是一〉2f(X]0，X2c)=0正定°10、K-T條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=x2-10x+36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間[a,b]=[-10,10],經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為〔23610]。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk=一耳',其計(jì)算量上，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)附近位置。14、將函數(shù)f(X尸x/+x/?XiX)-10x「4x)+60表示成』xThX+bTx+C的形式-一--2泗X21*/閔+[-1。-4]晨]+60。15、存在矩陣H,向量di，向量d2,當(dāng)滿足djHdz=O,向量由和向量d?是關(guān)于H共穎。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu)步長。二、選擇題1、下面￡方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共枕梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題millf(X)=xf+X；-4當(dāng)+4gl(X)=^-x；-l>0g2(X)=3-x1>0§3(X)=x2>0根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為，x(2)=[-,i]T22為oDA.內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C.內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解顯優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a,b],中間插入兩個(gè)點(diǎn)a】、bi，ai<bi，計(jì)算出f(ai)<f(bi),則縮短后的搜索區(qū)間為D。A[aPbi]B[bi，b]C[ai，b]D[a,bj5、D_不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長6、變尺度法的迭代公式為x-gk必H^f(xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是CoA.為之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對稱正定7、函數(shù)f(x)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，》在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處BoA正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間［a,b］插入兩點(diǎn)cti、的，且。.產(chǎn)012。A、其縮短率為0.618ai=b-X(b-a)C、ai=a+X(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值a方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值上方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值c方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是上。A、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和d-i必為B向量。A相切B正交C成銳角D共甄14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是分。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問答題（看講義）1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別？2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義,并說明迭代公式的意義。6、什么是共規(guī)方向？滿足什么關(guān)系？共枕與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X尸L5X12+O.5X22?X1X2?2X]的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(°)=[24]\選代精度S=O.O2(迭代一步)。解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)Vf=『*x,x'—2]Lx2-xl」計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的梯度向量值Vf(X(o))=「3*2-4-21=F-121梯度法的搜索方向?yàn)閟(k)=-Vf,因此在迭代點(diǎn)x(°)的搜索方向?yàn)閇12,-6]t在此方向上新的迭代點(diǎn)為：X(k+1)=X(k)+aS<k)=X<0)+aS(0)r—21r12r—2+12ct=[41+。1一6卜I4-6a.把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量a的函數(shù)F(a)f(X(k+1))=fQ-2+12aj^=i5(_2+12a)2+0.5(4-6a)2-(-2+12a)(4-6a)-2(-2+12a)=F(a)令竽=_i80+612a=0,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長daa=-?0.294117新的迭代點(diǎn)為X⑹+aS⑹=博[既Lz.z當(dāng)前梯度向量的長度IlVfll=V12X12+6x6=13.4164>￡,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f(X)=(x】-2)2+(xi?2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(°)=[2,1]T。解1：(注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向?yàn)镾%)=⑴-”⑴，因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(°)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣v(f)=[4*xl-4*x2-4

J18*x2-4*xlv(f(xW))=[°]—=HiJ]S(k)=_\72⑴-"⑴=[2不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x（°）=[l,2『作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)镾3=-V2⑴-卬⑴，因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x（0）的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：V⑴=『*xl-4*x2-4

iJI8*x2-4*xl初始點(diǎn)梯度向量：V（f（x（。）））=[；?LJL乙?

海色矩陣：V2?=[-4fl海色矩陣逆矩陣:當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋簊（。=.V2（f）-iv（D=-.m=i"1新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上：

X(k+1)=X(k)+aS(k)=X(0)+aS(0)12.12.1.把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量a的函數(shù)F(a)f(X(k+】))=f([；；*)=(a+l)2+(3a+3)2=F(a)令竽=20a+20=0,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長daa=-1新的迭代點(diǎn)為乂⑴=X(0)+aS<0)=-[71=[?L/」L，」LJL當(dāng)前梯度向量的長度IlVfll=712x12+8x8=14.4222>￡,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步:v⑴=[4*xl-4*x2-4]IJI8*x2-4*xlJv(f(X⑴))=[：

uVJl|Vf||=0<￡因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f(X)=xr+2X22-2X1X2-4X1,試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解：首先利用極值必要條件▽⑴=[2找出可能的極值點(diǎn)：令V⑴=[2*xl-2*x2-41F01i'I4*x2-2*xlloJ求得圜=機(jī)是可能的極值點(diǎn)。再利用充分條件可⑴正定(或負(fù)定)確認(rèn)極值點(diǎn)。~4|2|=2>02-2|=8-4=4>0

-24?因此V2⑴正定，X*=圜=/是極小點(diǎn)，極值為f(X)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f(X尸xJ+x^+Zx??+4X1+6X2+IO的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)1'(*尸2*/+5*22+*32+2*3*2+2*3*「6*2+3在點(diǎn)［1,1,?2『處具有極小值。解：必要條件：4*xl+2*x3V(f)=10*x2+2*x3-6.2*xl+2*x2+2*x3.將點(diǎn)［1,1,?2『帶入上式，可得0V(f)=0.0.充分條件［402V2(f)=0102.222.|4|=4>0￡￡=40>00104020102=80-40-16=24>0222U⑴正定。因此函數(shù)在點(diǎn)［1,1,?2］丁處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題minf(X)=(Xi-3)2+(X2-2)2s.t.gi(X)=—Xi2—X22+55:Og2(X)=-Xi—2x2+420gs(X)=xi》Og4(X)=x2^0驗(yàn)證在點(diǎn)x=[2,1]TKului-Tucker條件成立。解：首先，找出在點(diǎn)X=[2,Ip起作用約束:gi(X)=0g2(X)=0g3(X)=2型(X)=1因此起作用約束為gi(X)、g2(X)o然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。一尸[二渭Wg2)=口]求解線性組合系數(shù)V⑴=AlV(gl)+A2V(g2)一二項(xiàng)"國得到入1=j入2=[,均大;0因此在點(diǎn)X=⑵1]TKulm-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問題minf(X)=(x1-2)2+x；s.t.gi(X)=Q。g2(X)=x2>0g3(X)=xf-x；+l>0用K-T條件驗(yàn)證X*=[1,0『為其約束最優(yōu)點(diǎn)。讀書破萬卷讀書破萬卷下筆如有神速1遮4遴___E1幺喳翅解法同上8、己知目標(biāo)函數(shù)為f（X尸xi+x2,受約束于:gi（X）=-Xi2+x2>0g2（X）=Xi>0寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為.mine（x,〃））=方（x）+〃）2—1—“=】g“（x）其中：]0）>的）>].（3）…>心）...>o是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r（k）—Cr（k-l）>0<C<l因此罰函數(shù)為：0(X,r(k))=xl+x24-件)(——l——+_L)—xl2+x2XL9、己知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=(Xi-1)2+(x2+2)2受約束于：gi(X)=-x2-Xi-l>0g2(X)=2-Xi-X2^0g3(X)=Xi>0g4(X)=x2>0試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。

11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長1的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽」，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c,高度為h,面積A=64516nmi2,斜邊與底邊的夾角為仇見圖lo管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例