稱為絕對(duì)穩(wěn)定域課件

9.4單步法的收斂性與穩(wěn)定性

9.4.1收斂性與相容性

數(shù)值解法的基本思想是，通過(guò)某種離散化手段將微分方程（1.1）轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法（2.10），即（4.1）它在處的解為，而初值問(wèn)題（1.1），（1.2）在處的精確解為，記稱為整體截?cái)嗾`差.收斂性就是討論當(dāng)固定且時(shí)

的問(wèn)題.19.4單步法的收斂性與穩(wěn)定性

定義3若一種數(shù)值方法（如單步法（4.1））對(duì)于固定的,當(dāng)時(shí)有，其中是（1.1），（1.2）的準(zhǔn)確解，則稱該方法是收斂的.顯然數(shù)值方法收斂是指，對(duì)單步法（4.1）有下述收斂性定理：

定理1假設(shè)單步法（4.1）具有階精度，且增量函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件（4.2）又設(shè)初值是準(zhǔn)確的，即，則其整體截?cái)嗾`差

（4.3）2定義3若一種數(shù)值方法（如單步法（4.1））對(duì)于固

證明設(shè)以表示取用公式（4.1）求得的結(jié)果，即（4.4）則為局部截?cái)嗾`差，由于所給方法具有階精度，按定義2，存在定數(shù)，使又由式（4.4）與（4.1），得利用假設(shè)條件（4.2），有3證明設(shè)以表示取用從而有即對(duì)整體截?cái)嗾`差成立下列遞推關(guān)系式（4.5）反復(fù)遞推，可得（4.6）4從而有即對(duì)整體截?cái)嗾`差成立下再注意到當(dāng)時(shí)最終得下列估計(jì)式（4.7）由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，即，則（4.3）式成立.依據(jù)這一定理，判斷單步法（4.1）的收斂性，歸結(jié)為驗(yàn)證增量函數(shù)能否滿足利普希茨條件（4.2）.對(duì)于歐拉方法，由于其增量函數(shù)就是，故當(dāng)關(guān)于滿足利普希茨條件時(shí)它是收斂的.5再注意到當(dāng)時(shí)最終得下列估計(jì)式再考察改進(jìn)的歐拉方法，其增量函數(shù)由（3.2）式給出，這時(shí)有假設(shè)關(guān)于滿足利普希茨條件，記利普希茨常數(shù)為，則由上式推得設(shè)限定為定數(shù)），上式表明關(guān)于的利普希茨6再考察改進(jìn)的歐拉方法，其增量函數(shù)由（3.2）式給出，常數(shù)因此改進(jìn)的歐拉方法也是收斂的.類似地，不難驗(yàn)證其他龍格-庫(kù)塔方法的收斂性.定理1表明時(shí)單步法收斂，并且當(dāng)是初值問(wèn)題（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有階精度時(shí)，則有展開(kāi)式7常數(shù)因此改進(jìn)的歐拉方法也是收斂的.類似地，不難驗(yàn)證所以的充要條件是，而，于是可給出如下定義：

定義4若單步法（4.1）的增量函數(shù)滿足則稱單步法（4.1）與初值問(wèn)題（1.1），（1.2）相容.以上討論表明階方法（4.1）當(dāng)時(shí)與(1.1)，(1.2)相容，反之相容方法至少是1階的.于是由定理1可知方法（4.1）收斂的充分必要條件是此方法是相容的.8所以的充要條件是9.4.2絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域

定義5若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值上大小為的擾動(dòng)，于以后各節(jié)點(diǎn)值上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò)，則稱該方法是穩(wěn)定的.以歐拉法為例考察計(jì)算穩(wěn)定性.

例4考察初值問(wèn)題其準(zhǔn)確解是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減得很快的函數(shù)，如圖9-3所示.用歐拉法解方程得99.4.2絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域若取，則歐拉公式的具體形式為計(jì)算結(jié)果列于表9-4的第2列.可以看到，歐拉方法的解（圖9-3中用×號(hào)標(biāo)出）在準(zhǔn)確值的上下波動(dòng)，計(jì)算過(guò)程明顯地不穩(wěn)定.但若取則計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定.圖9-310若取，則歐拉公式的計(jì)算結(jié)果列于表9-4的第再考察后退的歐拉方法，取時(shí)計(jì)算公式為計(jì)算結(jié)果列于表9-4的第3列（圖9-3中標(biāo)以·號(hào)），這時(shí)計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)定的.11再考察后退的歐拉方法，取時(shí)計(jì)算公式為計(jì)算例題表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長(zhǎng)的大小有關(guān)，當(dāng)然也與方程中的有關(guān).為了只考察數(shù)值方法本身.通常只檢驗(yàn)將數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為（4.8）其中為復(fù)數(shù)，對(duì)一般方程可以通過(guò)局部線性化化為這種形式，例如在的鄰域，可展開(kāi)為略去高階項(xiàng)，再做變換即可得到的形式.對(duì)于個(gè)方程的方程組，可線性化為，這里12例題表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長(zhǎng)的大小為的雅可比矩陣.若有個(gè)特征值，其中可能是復(fù)數(shù)，所以，為了使模型方程結(jié)果能推廣到方程組，方程（4.8）中為復(fù)數(shù).為保證微分方程本身的穩(wěn)定性，還應(yīng)假定.先研究歐拉方法的穩(wěn)定性.模型方程的歐拉公式為（4.9）設(shè)在節(jié)點(diǎn)值上有一擾動(dòng)值，它的傳播使節(jié)點(diǎn)值產(chǎn)生大小為的擾動(dòng)值，假設(shè)用按歐拉公13為的雅可比矩陣.式得出的計(jì)算過(guò)程不再有新的誤差，則擾動(dòng)值滿足可見(jiàn)擾動(dòng)值滿足原來(lái)的差分方程（4.9）.如果差分方程的解是不增長(zhǎng)的，即有則它就是穩(wěn)定的.顯然，為要保證差分方程（4.9）的解是不增長(zhǎng)的，只要選取充分小，使（4.10）在的復(fù)平面上，這是以為圓心，1為半徑的單位圓域.稱為歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定域，一般情形可由下面定義.14式得出的計(jì)算過(guò)程不再有新的誤

定義6單步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解，滿足，則稱方法（4.1）是絕對(duì)穩(wěn)定的.在的平面上，使的變量圍成的區(qū)域，稱為絕對(duì)穩(wěn)定域，它與實(shí)軸的交稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.對(duì)歐拉法，其絕對(duì)穩(wěn)定域已由（4.10）給出，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.在例5中，即為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.例4中取故它是不穩(wěn)定的，當(dāng)取時(shí)它是穩(wěn)定的.15定義6單步法（4.1）用于解模型方程（4.8），對(duì)二階R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故絕對(duì)穩(wěn)定域由得到，于是可得絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，即.類似可得三階及四階的R-K方法的分別為16對(duì)二階R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故絕由可得到相應(yīng)的絕對(duì)穩(wěn)定域.當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)則得絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.分別為三階顯式R-K方法：即四階顯式R-K方法：即從以上討論可知顯式的R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定域均為有限域，都對(duì)步長(zhǎng)有限制.如果不在所給的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，方法就不穩(wěn)定.例5分別取及用經(jīng)典的四階R-K方法（3.13）計(jì)算.17由可得到相應(yīng)的絕對(duì)穩(wěn)定域.當(dāng)

解本例分別為及，前者在絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，后者則不在，用四階R-K方法計(jì)算其誤差見(jiàn)下表：以上結(jié)果看到，如果步長(zhǎng)不滿足絕對(duì)穩(wěn)定條件，誤差增長(zhǎng)很快.對(duì)隱式單步法，可以同樣討論方法的絕對(duì)穩(wěn)定性，例如對(duì)后退歐拉法，用它解模型方程可得18解本例分別為及故由可得絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)?，它是以為圓心，1為半徑的單位圓外部，故絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，則，即對(duì)任何步長(zhǎng)均為穩(wěn)定的.對(duì)隱式梯形法，它用于解模型方程（4.8）得19故由可得絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)楣蕦?duì)有，故絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)榈淖蟀肫矫?，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，即時(shí)梯形法均是穩(wěn)定的.20故對(duì)有9.5線性多步法在逐步推進(jìn)的求解過(guò)程中，計(jì)算之前事實(shí)上已經(jīng)求出了一系列的近似值，如果充分利用前面多步的信息來(lái)預(yù)測(cè)，則可以期望會(huì)獲得較高的精度.這就是構(gòu)造所謂線性多步法的基本思想.構(gòu)造多步法的主要途徑是基于數(shù)值積分方法和基于泰勒展開(kāi)方法，前者可直接由方程（1.1）兩端積分后利用插值求積公式得到.本節(jié)主要介紹基于泰勒展開(kāi)的構(gòu)造方法.219.5線性多步法在逐步推進(jìn)9.5.1線性多步法的一般公式如果計(jì)算時(shí)，除用的值，還用到的值，則稱此方法為線性多步法.一般的線性多步法公式可表示為（5.1）其中為的近似，為常數(shù),及不全為零，則稱（5.1）為線性步法.計(jì)算時(shí)需先給出前面?zhèn)€近似值,再由（5.1）逐次求出.229.5.1線性多步法的一般公式如果，稱（5.1）為顯式步法，這時(shí)可直接由（5.1）算出；如果，則（5.1）稱為隱式步法，求解時(shí)與梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出.（5.1）中系數(shù)及可根據(jù)方法的局部截?cái)嗾`差及階確定，其定義為：

定義7設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，線性多步法（5.1）在上的局部截?cái)嗾`差為（5.2）若，則稱方法（5.1）是階的，則23如果，稱（5.1）為顯式步法，這時(shí)稱方法（5.1）與方程（1.1）是相容的.由定義7，對(duì)在處做泰勒展開(kāi)，由于代入（5.2）得（5.3）24稱方法（5.1）與方程（1.1）是相容的.由定義7，其中（5.4）若在公式（5.1）中選擇系數(shù)及，使它滿足25其中（5.4）若在公式（5.1）中選擇系數(shù)及由定義可知此時(shí)所構(gòu)造的多步法是階的，且（5.5）稱右端第一項(xiàng)為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，稱為誤差常數(shù).根據(jù)相容性定義，,即，由（5.4）得（5.6）故方法（5.1）與微分方程（1.1）相容的充分必要條件是（5.6）成立.26由定義可知此時(shí)所構(gòu)造的多步法是階的，且（5.5）稱右端當(dāng)時(shí)，若，則由（5.6）可求得此時(shí)公式（5.1）為即為歐拉法.從（5.4）可求得，故方法為1階精度，且局部截?cái)嗾`差為這和第2節(jié)給出的定義及結(jié)果是一致的.27當(dāng)時(shí)，若，則由（5.6）可求得對(duì),若，此時(shí)方法為隱式公式，為了確定系數(shù)，可由解得于是得到公式即為梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是二階方法，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)是,這與第2節(jié)中的討論也是一致的.對(duì)的多步法公式都可利用（5.4）確定系數(shù)，并由（5.5）給出局部截?cái)嗾`差.28對(duì),若，此時(shí)方法為隱式公9.5.2阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式考慮形如（5.7）的步法，稱為阿當(dāng)姆斯（Adams)方法.為顯式方法，為隱式方法，通常稱為阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式，也稱Adams-Bashforth公式與Adams-Monlton公式.這類公式可直接由方程（1.1）兩端積分（從到積分）求得.下面可利用(5.4)由推出，對(duì)比(5.7)299.5.2阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式與（5.1）可知此時(shí)系數(shù).顯然成立，下面只需確定系數(shù)，故可令，則可求得.（若，則令來(lái)求得）.以為例，由，根據(jù)（5.4）得30與（5.1）可知此時(shí)系數(shù)若，則由前三個(gè)方程解得得到的阿當(dāng)姆斯顯式公式是（5.8）由（5.4）求得，所以（5.8）是三階方法，局部31若，則由前三個(gè)方程解得得到的截?cái)嗾`差是若，則可解得于是得的阿當(dāng)姆斯隱式公式為（5.9）它是四階方法，局部截?cái)嗾`差是（5.10）32截?cái)嗾`差是若，則可解得于是得用類似的方法可求得阿當(dāng)姆斯顯式方法和隱式方法的公式，表9-5及表9-6分別列出了時(shí)的阿當(dāng)姆斯顯式公式與阿當(dāng)姆斯隱式公式，其中為步數(shù)，為方法的階，為誤差常數(shù).33用類似的方法可求得阿當(dāng)姆斯顯式方法和隱式方法的333434

例6用四階阿當(dāng)姆斯顯式和隱式方法解初值問(wèn)題取步長(zhǎng).

解本題.從四階阿當(dāng)姆斯顯式公式得到對(duì)于四階阿當(dāng)姆斯隱式公式得到35例6用四階阿當(dāng)姆斯顯式和隱式方法解初值問(wèn)題取步由此可直接解出而不用迭代，得到計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-7，其中顯式方法中的及隱式方法中的均用準(zhǔn)確解計(jì)算得到，對(duì)一般方程，可用四階R-K方法計(jì)算初始近似.36由此可直接解出而不用迭代，得到計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-7，從以上例子看到同階的阿當(dāng)姆斯方法，隱式方法要比顯式方法誤差小，這可以從兩種方法的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)的系數(shù)大小得到解釋，這里分別為及.37從以上例子看到同階的阿當(dāng)姆斯方法，隱式方法要比379.4單步法的收斂性與穩(wěn)定性

9.4.1收斂性與相容性

數(shù)值解法的基本思想是，通過(guò)某種離散化手段將微分方程（1.1）轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法（2.10），即（4.1）它在處的解為，而初值問(wèn)題（1.1），（1.2）在處的精確解為，記稱為整體截?cái)嗾`差.收斂性就是討論當(dāng)固定且時(shí)

的問(wèn)題.389.4單步法的收斂性與穩(wěn)定性

定義3若一種數(shù)值方法（如單步法（4.1））對(duì)于固定的,當(dāng)時(shí)有，其中是（1.1），（1.2）的準(zhǔn)確解，則稱該方法是收斂的.顯然數(shù)值方法收斂是指，對(duì)單步法（4.1）有下述收斂性定理：

定理1假設(shè)單步法（4.1）具有階精度，且增量函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件（4.2）又設(shè)初值是準(zhǔn)確的，即，則其整體截?cái)嗾`差

（4.3）39定義3若一種數(shù)值方法（如單步法（4.1））對(duì)于固

證明設(shè)以表示取用公式（4.1）求得的結(jié)果，即（4.4）則為局部截?cái)嗾`差，由于所給方法具有階精度，按定義2，存在定數(shù)，使又由式（4.4）與（4.1），得利用假設(shè)條件（4.2），有40證明設(shè)以表示取用從而有即對(duì)整體截?cái)嗾`差成立下列遞推關(guān)系式（4.5）反復(fù)遞推，可得（4.6）41從而有即對(duì)整體截?cái)嗾`差成立下再注意到當(dāng)時(shí)最終得下列估計(jì)式（4.7）由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，即，則（4.3）式成立.依據(jù)這一定理，判斷單步法（4.1）的收斂性，歸結(jié)為驗(yàn)證增量函數(shù)能否滿足利普希茨條件（4.2）.對(duì)于歐拉方法，由于其增量函數(shù)就是，故當(dāng)關(guān)于滿足利普希茨條件時(shí)它是收斂的.42再注意到當(dāng)時(shí)最終得下列估計(jì)式再考察改進(jìn)的歐拉方法，其增量函數(shù)由（3.2）式給出，這時(shí)有假設(shè)關(guān)于滿足利普希茨條件，記利普希茨常數(shù)為，則由上式推得設(shè)限定為定數(shù)），上式表明關(guān)于的利普希茨43再考察改進(jìn)的歐拉方法，其增量函數(shù)由（3.2）式給出，常數(shù)因此改進(jìn)的歐拉方法也是收斂的.類似地，不難驗(yàn)證其他龍格-庫(kù)塔方法的收斂性.定理1表明時(shí)單步法收斂，并且當(dāng)是初值問(wèn)題（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有階精度時(shí)，則有展開(kāi)式44常數(shù)因此改進(jìn)的歐拉方法也是收斂的.類似地，不難驗(yàn)證所以的充要條件是，而，于是可給出如下定義：

定義4若單步法（4.1）的增量函數(shù)滿足則稱單步法（4.1）與初值問(wèn)題（1.1），（1.2）相容.以上討論表明階方法（4.1）當(dāng)時(shí)與(1.1)，(1.2)相容，反之相容方法至少是1階的.于是由定理1可知方法（4.1）收斂的充分必要條件是此方法是相容的.45所以的充要條件是9.4.2絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域

定義5若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值上大小為的擾動(dòng)，于以后各節(jié)點(diǎn)值上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò)，則稱該方法是穩(wěn)定的.以歐拉法為例考察計(jì)算穩(wěn)定性.

例4考察初值問(wèn)題其準(zhǔn)確解是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減得很快的函數(shù)，如圖9-3所示.用歐拉法解方程得469.4.2絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域若取，則歐拉公式的具體形式為計(jì)算結(jié)果列于表9-4的第2列.可以看到，歐拉方法的解（圖9-3中用×號(hào)標(biāo)出）在準(zhǔn)確值的上下波動(dòng)，計(jì)算過(guò)程明顯地不穩(wěn)定.但若取則計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定.圖9-347若取，則歐拉公式的計(jì)算結(jié)果列于表9-4的第再考察后退的歐拉方法，取時(shí)計(jì)算公式為計(jì)算結(jié)果列于表9-4的第3列（圖9-3中標(biāo)以·號(hào)），這時(shí)計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)定的.48再考察后退的歐拉方法，取時(shí)計(jì)算公式為計(jì)算例題表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長(zhǎng)的大小有關(guān)，當(dāng)然也與方程中的有關(guān).為了只考察數(shù)值方法本身.通常只檢驗(yàn)將數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為（4.8）其中為復(fù)數(shù)，對(duì)一般方程可以通過(guò)局部線性化化為這種形式，例如在的鄰域，可展開(kāi)為略去高階項(xiàng)，再做變換即可得到的形式.對(duì)于個(gè)方程的方程組，可線性化為，這里49例題表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長(zhǎng)的大小為的雅可比矩陣.若有個(gè)特征值，其中可能是復(fù)數(shù)，所以，為了使模型方程結(jié)果能推廣到方程組，方程（4.8）中為復(fù)數(shù).為保證微分方程本身的穩(wěn)定性，還應(yīng)假定.先研究歐拉方法的穩(wěn)定性.模型方程的歐拉公式為（4.9）設(shè)在節(jié)點(diǎn)值上有一擾動(dòng)值，它的傳播使節(jié)點(diǎn)值產(chǎn)生大小為的擾動(dòng)值，假設(shè)用按歐拉公50為的雅可比矩陣.式得出的計(jì)算過(guò)程不再有新的誤差，則擾動(dòng)值滿足可見(jiàn)擾動(dòng)值滿足原來(lái)的差分方程（4.9）.如果差分方程的解是不增長(zhǎng)的，即有則它就是穩(wěn)定的.顯然，為要保證差分方程（4.9）的解是不增長(zhǎng)的，只要選取充分小，使（4.10）在的復(fù)平面上，這是以為圓心，1為半徑的單位圓域.稱為歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定域，一般情形可由下面定義.51式得出的計(jì)算過(guò)程不再有新的誤

定義6單步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解，滿足，則稱方法（4.1）是絕對(duì)穩(wěn)定的.在的平面上，使的變量圍成的區(qū)域，稱為絕對(duì)穩(wěn)定域，它與實(shí)軸的交稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.對(duì)歐拉法，其絕對(duì)穩(wěn)定域已由（4.10）給出，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.在例5中，即為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.例4中取故它是不穩(wěn)定的，當(dāng)取時(shí)它是穩(wěn)定的.52定義6單步法（4.1）用于解模型方程（4.8），對(duì)二階R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故絕對(duì)穩(wěn)定域由得到，于是可得絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，即.類似可得三階及四階的R-K方法的分別為53對(duì)二階R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故絕由可得到相應(yīng)的絕對(duì)穩(wěn)定域.當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)則得絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.分別為三階顯式R-K方法：即四階顯式R-K方法：即從以上討論可知顯式的R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定域均為有限域，都對(duì)步長(zhǎng)有限制.如果不在所給的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，方法就不穩(wěn)定.例5分別取及用經(jīng)典的四階R-K方法（3.13）計(jì)算.54由可得到相應(yīng)的絕對(duì)穩(wěn)定域.當(dāng)

解本例分別為及，前者在絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，后者則不在，用四階R-K方法計(jì)算其誤差見(jiàn)下表：以上結(jié)果看到，如果步長(zhǎng)不滿足絕對(duì)穩(wěn)定條件，誤差增長(zhǎng)很快.對(duì)隱式單步法，可以同樣討論方法的絕對(duì)穩(wěn)定性，例如對(duì)后退歐拉法，用它解模型方程可得55解本例分別為及故由可得絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)?，它是以為圓心，1為半徑的單位圓外部，故絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，則，即對(duì)任何步長(zhǎng)均為穩(wěn)定的.對(duì)隱式梯形法，它用于解模型方程（4.8）得56故由可得絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)楣蕦?duì)有，故絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)榈淖蟀肫矫妫^對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，即時(shí)梯形法均是穩(wěn)定的.57故對(duì)有9.5線性多步法在逐步推進(jìn)的求解過(guò)程中，計(jì)算之前事實(shí)上已經(jīng)求出了一系列的近似值，如果充分利用前面多步的信息來(lái)預(yù)測(cè)，則可以期望會(huì)獲得較高的精度.這就是構(gòu)造所謂線性多步法的基本思想.構(gòu)造多步法的主要途徑是基于數(shù)值積分方法和基于泰勒展開(kāi)方法，前者可直接由方程（1.1）兩端積分后利用插值求積公式得到.本節(jié)主要介紹基于泰勒展開(kāi)的構(gòu)造方法.589.5線性多步法在逐步推進(jìn)9.5.1線性多步法的一般公式如果計(jì)算時(shí)，除用的值，還用到的值，則稱此方法為線性多步法.一般的線性多步法公式可表示為（5.1）其中為的近似，為常數(shù),及不全為零，則稱（5.1）為線性步法.計(jì)算時(shí)需先給出前面?zhèn)€近似值,再由（5.1）逐次求出.599.5.1線性多步法的一般公式如果，稱（5.1）為顯式步法，這時(shí)可直接由（5.1）算出；如果，則（5.1）稱為隱式步法，求解時(shí)與梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出.（5.1）中系數(shù)及可根據(jù)方法的局部截?cái)嗾`差及階確定，其定義為：

定義7設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，線性多步法（5.1）在上的局部截?cái)嗾`差為（5.2）若，則稱方法（5.1）是階的，則60如果，稱（5.1）為顯式步法，這時(shí)稱方法（5.1）與方程（1.1）是相容的.由定義7，對(duì)在處做泰勒展開(kāi)，由于代入（5.2）得（5.3）61稱方法（5.1）與方程（1.1）是相容的.由定義7，其中（5.4）若在公式（5.1）中選擇系數(shù)及，使它滿足62其中（5.4）若在公式（5.1）中選擇系數(shù)及由定義可知此時(shí)所構(gòu)造的多步法是階的，且（5.5）稱右端第一項(xiàng)為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，稱為誤差常數(shù).根據(jù)相容性定義，,即，由（5.4）得（5.6）故方法（5.1）與微分方程（1.1）相容的充分必要條件是（5.6）成立.63由定義可知此時(shí)所構(gòu)造的多步法是階的，且（5.5）稱右端當(dāng)時(shí)，若，則由（5.6）可求得此時(shí)公式（5.1）為即為歐拉法.從（5.4）可求得，故方法為1階精度，且局部截?cái)嗾`差為這和第2節(jié)給出的定義及結(jié)果是一致的.64當(dāng)時(shí)，若，則由（5.6）可求得對(duì),若，此時(shí)方法為隱式公式，為了確定系數(shù)，可由解得于是得到公式即為梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是二階方法，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)是